NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Rectangles magiques

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Rectangles

Rectangles pairs

Rectangles impairs

Rectangles 3 x 5

Rectangle de Kotzig

Rectangles premiers

Pavé magique

Rectangle à répétitions

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Rectangle 2 x 3

>>> Rectangle 2 x 4

>>> Moyenne et existence

>>> Anglais

 

 

 

 

Rectangles magiques

 

Moins connus que les carrés magiques, le rectangle magique présente quelques intérêts en combinatoire. Notamment, est-il possible de construire n'importe quel rectangle magique d'ordre m.n.

Avec eux, la constante magique est la moyenne magique, identique sur chaque ligne et chaque colonne, et elle vaut M = (m.n + 1) / 2. De sorte que la somme en ligne est égale à m.M et la somme en colonne vaut n.M. Ce sont les deux constantes magiques.

Les rectangles sont semi-magiques avec deux constantes.

 

Anglais: Magic rectangle

 

 

Approche

 

Définition

Un rectangle est magique si les sommes sur les lignes sont égales et les sommes sur les colonnes le sont aussi.

Ou: si la moyenne des nombres sur chaque ligne et chaque colonne est constante.

 

Le rectangle magique est normal si les nombres de la grille vont de 1 à m.n.

Il est associatif si les sommes des deux nombres opposés à la périphérie sont égales.

 

Questions

Pourquoi pas une seule somme magique? La réponse est donnée par le calcul ci-contre montrant comment calculer la somme totale dans le rectangle et les deux sommes magiques.

 

Et les diagonales? À l'évidence, impossible de définir les diagonales.

 

 

Exemple de rectangle 3 x 7

 

Ce rectangle est normal (nombres de 1 à 21).

Présentation avec le nombre 1 dans le coin haut-gauche.

 

Celui-ci est normal et associatif (10 + 12 = 22 …).

 

La somme de tous les nombres étant

 1 + 2 + 3 + … + 21 = ½ x 21 x 22 = 231,

la somme des lignes est 231/3 = 77

et celle sur les colonnes est: 231/7 = 33 

Voir Somme des entiers

Moyenne magique

Moyenne ligne:             77 / 7 = 11

Moyenne colonne:         33 / 3 = 11

Moyenne magique: 231 / (3x7) = 11

 

 

 

Rectangle 2 x 3

 

Le plus petit rectangle magique.

Dimension: 2 x 3

Nombres: de – 3 = + 3

 

L'utilisation des nombres négatifs n'est pas l'usage et, de plus, sans beaucoup d'intérêt.

Les sommes comme la moyenne sont nulles.

 

 

Par contre le carré du bas utilise des nombres positifs mais n'est pas normal.

La moyenne magique est:

12/ 3 = 4 et 8/2 = 4.

 

Comme les diagonales n'interviennent pas, les lignes et colonnes peuvent être permutées à loisir. Il plus simple de donner un des représentants en plaçant le 1 en haut à gauche.

 

 

Rectangle 2 x 3

 

Rectangle générique 2 x 3

 

Rectangle 2 x 3 positif

Ce rectangle est le représentant de 12 autres obtenus par permutations.

Nombres utilisés: de 1 à 7, avec la 4 exclu.

 

 

Rectangle 2 x 3 normal

Il n'existe aucun rectangle 2 x 3 normal.

 

 

Somme des nombres de 1 à 6: ½ x 6 x 7 = 21

Moyenne ligne: 11 / 2 = 5,5

Moyenne colonne: 11 / 3 = 3,66…

Pas compatible avec un rectangle normal 2 x 3.

 

 

 

Rectangle 2 x 4 normal

 

Ils sont 48 obtenus par permutations de celui présentée ci-contre.

 

Pour le composer, on calcule les paramètres (ou, on les lit dans le tableau ci-dessus)

S = 36, SL = 18, SC = 9.

M = 4,5

On place immédiatement le 1 et 8 en colonne de gauche.

Les couples de somme 9 sont (2, 7), (3,6) et (4,5).

Seul triplet sommant en 10:  (2, 3, 5), nombres qu'il suffit de placer sur la ligne du bas.

 

 

Rectangle 2 x 4 normal

Ce rectangle est le représentant de 48 autres obtenus par permutations (isomorphisme). Il est le plus petit rectangle normal.

 

Principe de construction

 

 

 

Moyenne magique

et existence des rectangles normaux

 

Tableau

Toutes les possibilités pour m et n jusqu'à 15 pour lesquelles les sommes sur les lignes ou les colonnes sont des valeurs entières. Ex: 3 x 7 vu ci-dessus.

Ce qui veut dire que pour toutes les autres possibilités, il n'existe pas de rectangle magique. Ex: 2x3 ou 2x5, etc.

 

Données magiques d'un rectangle n . m

Nombres utilisés:

de 1 à    m.n

Somme totale

Somme ligne

Somme colonne

Moyenne magique

 

Parité

Remarquez que m et n sont toujours de même parité.

Théorème prouvé par Hamuth en 1881. Thomas Hagedom a proposé une méthode de construction.

 

Légende: L = quantité de lignes; C = quantité de colonnes; S = somme totale; SL = somme sur chaque ligne; SC = somme sur chaque colonne.

 

Selon la parité de chacun

m et n doivent être même parité.

Pas de rectangle magique avec m et n de parités différents.

 

Remarque

Ce tableau donne la condition nécessaire pour l'existence d'un rectangle magique. Mais est-elle suffisante?

 

 

Théorèmes sur l'existence des rectangles magiques (RM)

 

 

Un rectangle magique RM(a,b) existe si et seulement si

 a, b > 1, a.b > 4 et a  b mod 2

 

Divers auteurs dont Rivora, Trenkler, Pebody

Voir Référence

 

Pas de RM si dimensions m et n sont de parités opposées.

Les RM 3x5, 3x7, 5x7 existent >>>

Il existe des algorithmes relativement simples pour:

*      R 2 x 2k        avec k 2

*      R 2h x 2k      avec h>2  et k 2 (ou inverse) >>>

*      R m x (m+2) avec m impair >>>

*      R n x n²        avec n > 2

*      R a.n x b.n    avec a.b = n et n > 2

*      R m.p, n.q     si R m.n, p.q existe

*      R 4k x 2h

*      R m x n         si R 2m x 2n existe

*      R m x n         si R   m x km existe
 

 

 

English corner

Magic rectangle

Normal rectangle

Associated rectangle

Row, column

 

A magic rectangle is a rectangle array of numbers whose row totals are all the same. as well as the column totals.

Magic rectangles are well-known for their very interesting and entertaining combinatorics. In a magic rectangle, the integers 1 to mn are arranged in an array of m rows and n columns so that each row adds to the same total M and each column to the same total N.

(…) therefore, an odd by even magic rectangle is not possible.

 

 

 

 

 

Suite

*         Rectangles 3 x 5

*         Construction des rectangles magiques (pair-pair)

Voir

*         Tous les carrés plus que parfaits 4x4

*         Carré plus que parfait 8x8

*         Carrés magiquesIndex

*         JeuxIndex

Sites

*         Rectangle magiqueRécréomath

*         Magic RectanglesMitsutoshi Nakamura

*         Puzzle 266 – Magic rectangles – Prime puzzle.net –Carlos Rivera

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaCMag/RecMag.htm