NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

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Carrés magiques

 

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Sommaire de cette page

>>> Calcul de la somme magique

>>> Valeurs de la somme magique

>>> Constante selon la dimension

>>> Carré magique généralisé (décalé)

>>> Rappel  sur le calcul de la somme des entiers

>>> Somme des extrémités des diamètres

>>> Propriétés

>>> Anglais

 

 

 

 

CONSTANTE MAGIQUE

selon l'ordre du carré magique

 

Il s'agit de faire la somme S de tous les nombres de 1 à n²

si n est l'ordre du carré magique.

Cette somme est répartie à égalité sur n rangées.

 

Alors, la somme magique N est égale à S / n.

 

 

Calcul

*  Si n est

*    la quantité de lignes ou

*    la quantité de colonnes ou

*    le côté du carré magique

appelé ordre du carré magique.

*  Un carré magique normal utilise tous les nombres de 1 à n².

*  La somme de tous ces nombres placés dans le carré magique vaut S.

*  Or, ces nombres sont répartis sur n lignes, donc, la somme N sur chaque ligne vaut S / n.

 

Nombres de 1 à n² dans le carré: leur somme S = n x N.

 

Somme des nombres de 1 à n²:
S = ½ (n²) (n²+ 1).

 

Somme sur la ligne: N = S / n
N = ½ n (n² + 1) = ½ (n3 + n)

 

 

 

Valeurs de la constante magique

 Ordre   Somme magique

  3        15

  4        34

  5        65

  6      111

  7      175

  8      260

  9      369

 

10      505

11      671

12      870

13   1105

14   1379

15   1695

16   2056

17   2465

18   2925

19   3439

20   4010

 

Notation mathématiques de la somme magique:

Soit, le demi-produit de n par la somme des nombres k pour tous les k de 1 à n au carré.

 

Petite analyse de la progression de cette somme

 

*  La progression de la constant magique d'un ordre au suivant n'est pas simple.

2Nn               = n (n² + 1)

2Nn+1            = (n + 1) ((n + 1)² + 1)

2Nn+1 – 2Nn = (n + 1) ((n + 1)² + 1) – n (n² + 1)

  Nn+1   Nn  = ½ (3n² + 3n + 2)

 

*  Progression de deux en deux

2Nn+1 – 2Nn-1 = (n + 1) ((n + 1)² + 1) – (n - 1) ((n - 1)² + 1)

  Nn+1   Nn-1 = 3n² + 2

 

 

*   Somme de trois constantes magiques consécutives

2S = (n - 1) ((n - 1)² + 1) + n (n² + 1) + (n + 1) ((n + 1)² + 1)

  S3 = ½ (3n3 + 9n)

 

 

Voir Somme magique de l'hexagone

 

   

 

Constantes selon la dimension

 

*    Carré:                  S  = ½ n (n2 + 1)

*    Cube                   S  = ½ n (n3 + 1)

*    Hypercube         S  = ½ n (n4 + 1)

*    Dimension d      S  = ½ n (nd + 1)

 

 

 

Carré magique généralisé (décalé)

 

Carrés magiques avec

*    un premier nombre égal au premier nombre classique (1) et un supplément de a, soit 1 + a , et

*    une progression régulière de r pour les suivants.

 

Rappel: le A inversé veut dire quelconque.

 

Exemple 1: a  = 10 et r  = 3 pour un carré 3x3

 

6

1

8

15

 

 

16

11

18

45

7

5

3

15

+10

 

17

15

13

45

2

9

4

15

 

 

12

19

14

45

15

15

15

15

15

 

45

45

45

45

45

 

 

+10

 

28

13

34

75

x 3

 

31

25

19

75

 

 

16

37

22

75

 

75

75

75

75

75

 

*    Départ: carré magique d'ordre 3, constante 15

*    Plus 10 sur chaque terme, constante 15 + 3 x 10 = 45

*    Trois fois chaque terme plus 10, constante 3 x 15 + 3 x 10 = 75

 

Exemple 3: a  = 3 et r  = 5

Chaque nombre t du carré classique devient T = 5t + 3 (fonction linéaire)

 

6

1

8

33

8

43

7

5

3

38

28

18

2

9

4

13

48

23

 

*    Départ: carré magique d'ordre 3, constante 15.

*    n fois 5 sur chaque terme, plus 3.

*    Nouveau carré magique avec les nombres allant

de 8 = 1 x 5  + 3
à 48 = 9 x 5 +  3

*    Sa somme magique vaut: 84, trois fois le terme central 28.

*    Il reste associatif de somme 56, deux fois le terme central.

 

Calcul

*    Les nombres sont en progression arithmétique.

*    Ils commencent par D = r + a Ici: 5 + 3 = 8, et

*    Ils finissent par r. n² + a  Ici: 5 x 9 + 3 = 48.

*    La somme des nombres d'une progression arithmétique vaut le demi-produit de la quantité de termes Rappel: c'est n² par la somme des extrémités, début et fin: S = ½ n² (D + F).

*    Cette somme est répartie à égalité sur n rangées, soit la somme magique pour une rangée: N = S / n.

*    D'où la formule finale:

         N = ½ n [ r + a  + r . n² + a ]

         N = ½ n [ 2a + r (n² + 1) ]

         N = ½ r.n(n² + 1) + n.a

        Ici: ½ 3 (2 x 3 + 5 (3² + 1) ) = ½ 3 (6 + 50) = 84.

 

 

 

2016 – Exemple d'application

Comment trouver un carré magique 3x3 avec des nombres successifs dont la constante magique est 2016.

La somme vaut: 2016 = ½ 3 (9 + 1) + 3a = 3a + 15

Ou encore: 2016 = 3 x 672 = 3a + 3 x 5

Soit la valeur: a = 672 – 5 = 667.

Et le nombre initial: a + 1 = 668

Voir Nombre et année 2016

 

 

Rappel

Calcul de la somme des nombres

 

*  Pour calculer cette somme simplement, on procède comme Gauss lorsqu'il était encore enfant, on ajoute les chiffres deux par deux de la manière indiquée.

*  Voici l'exemple pour les nombres de 1 à 9:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

+9

= 10

 

+2

 

 

 

 

 

+8

 

= 10

 

 

+3

 

 

 

+7

 

 

= 10

 

 

 

+4

 

+6

 

 

 

= 10

 

 

 

 

+5

 

 

 

 

=   5

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

= 45

 

 

Voir Nombre triangulaires

 

 

 

Somme des extrémités des diamètres

 

*  Pour certains carrés magiques, la somme des deux nombres à l'extrémité d'une ligne, colonne ou diagonale est constante.

 

*  Elle est égale au double du nombre central, qui est aussi la somme des plus petits et plus grands nombres utilisés (n² + 1).

 

*  Ces carrés sont dits ASSOCIATIFS.

 

 

 

Cas du carré classique d'ordre 3

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

6

+

4

=

10

7

+

3

=

10

8

+

2

=

10

1

+

9

=

10

5

x

2

=

10

 

 

Propriétés

 

Carré associatif d'ordre impair

 

*  La somme de deux termes diamétralement opposés vaut  la somme des deux nombres extrêmes: n² + 1.

*  Le terme central vaut la moitié de cette somme.

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Magic constant or magic sum: the sum produced by addition of all numbers on a row, or a column or a diagonal.

 

 

 

 

 

 

 

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