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Carrés magiques 4 x 4

Pandiagonaux ou Panmagiques

Toutes les diagonales – principales et partielles – forment des sommes magiques.

Anglais: Panmagic square, Pandiagonal square, Nasik square

CARRÉ PANDIAGONAL

Imaginons le carré imprimé sur rouleau d'un tampon encreur. Son impression forme un tapis magique:

La diagonale bleue est une diagonale reconstituée ou diagonale cassée (broken diagonal) ou pan-diagonale.

Autre manière de voir: l'enroulement du carré sur lui-même, forme un cylindre vertical. L'enroulement en reliant le haut et le bas forme un cylindre horizontal. L'enroulement complet forme une sphère.

Anglais: The broken diagonals are the diagonals that wrap round at the edges of the square.

Si ces nouvelles diagonales produisent également la constante magique, le carré magique et dit pandiagonal ou panmagique.

Ce carré magique est bien pandiagonal, car nous avons:

6 + 16 + 11 + 1 = 9 + 2 + 8 + 15 = 7 + 13 + 10 + 4 = 12 + 3 + 5 + 14 = 34

7 + 16 + 10 + 1 = 9 + 3 + 8 + 14 = 6 + 13 + 11 + 4 = 12 + 2 + 5 + 15 = 34

Lorsque le carré magique est pandiagonal, un carré 4 x 4 choisi n'importe où sur le tapis est magique, soit 16 varaintes pour le carré magique d'ordre 4.

Par exemple, le carré bleu est magique:

6	9	7	12	6	9	7	12
3	16	2	13	3	16	2	13
10	5	11	8	10	5	11	8
15	4	14	1	15	4	14	1
6	9	7	12	6	9	7	12
3	16	2	13	3	16	2	13
10	5	11	8	10	5	11	8
15	4	14	1	15	4	14	1

Autres sommes (avec un carré pandiagonal)

Égalités remarquables

S = Somme algébrique 

N = Quantité de combinaisons 

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

S = 17 0 0 17

N = 8 12 12 8

Forme chapeau

Exemple avec la forme chapeau

13	2	7	12
3	16	9	6
10	5	4	15
8	11	14	1

Toutes les formes du chapeau donnent une égalité:

2 + 7 = 3 + 6

16 + 9 = 10 + 15

5 + 4 = 8 + 1

11 + 14 = 13 + 12

3 + 10 = 2 + 11

Etc.

On retrouve facilement toutes les sommes et égalités possibles à partir des formules génériques du carré magique pandiagonal.

Tous les carrés PANDIAGONAUX 4 x 4

24 fondamentaux, 48 par permutations

Ces carrés sont également plus que parfaits

6	9	7	12	11	5	10	8	10	5	11	8	7	9	6	12	5	11	8	10
3	16	2	13	2	16	3	13	3	16	2	13	2	16	3	13	16	2	13	3
10	5	11	8	7	9	6	12	6	9	7	12	11	5	10	8	9	7	12	6
15	4	14	1	14	4	15	1	15	4	14	1	14	4	15	1	4	14	1	15
9	7	12	6	5	10	8	11	9	6	12	7	4	9	7	14	13	3	10	8
16	2	13	3	16	3	13	2	16	3	13	2	5	16	2	11	2	16	5	11
5	11	8	10	9	6	12	7	5	10	8	11	10	3	13	8	7	9	4	14
4	14	1	15	4	15	1	14	4	15	1	14	15	6	12	1	12	6	15	1
10	3	13	8	7	9	4	14	3	13	8	10	9	7	14	4	3	10	8	13
5	16	2	11	2	16	5	11	16	2	11	5	16	2	11	5	16	5	11	2
4	9	7	14	13	3	10	8	9	7	14	4	3	13	8	10	9	4	14	7
15	6	12	1	12	6	15	1	6	12	1	15	6	12	1	15	6	15	1	12
9	4	14	7	1	12	7	14	1	14	7	12	1	14	7	12	1	12	7	14
16	5	11	2	8	13	2	11	15	4	9	6	8	11	2	13	15	6	9	4
3	10	8	13	10	3	16	5	10	5	16	3	10	5	16	3	10	3	16	5
6	15	1	12	15	6	9	4	8	11	2	13	15	4	9	6	8	13	2	11
14	1	12	7	12	1	14	7	14	1	12	7	12	1	14	7
4	15	6	9	6	15	4	9	11	8	13	2	13	8	11	2
5	10	3	16	3	10	5	16	5	10	3	16	3	10	5	16
11	8	13	2	13	8	11	2	4	15	6	9	6	15	4	9

Carré magique 4x4 plus que parfait (ou enchanté)
On forme ce carré en deux temps: les nombres de 1 à 8 sont placé en sorte de serpentin, comme indiqué; et chacun de ces nombres est complémenté à 17 puis envoyé deux pas plus loin en diagonale bas-droite. Le 1 devient 16 en ligne 3, colonne 3. Ce carré magique est panmagique : magique sur toutes les diagonales principales et secondaires, soit 2 x 16 = 32 fois la somme magique 34. Il n'est pas associatif (somme de deux nombres opposés par le centre). Un carré magique plus que parfait est tel que les carrés 2x2 présentent la même somme, la somme magique: 34. De même pour tous les carrés3x3, les quatre sommets donnent la somme magique.	Formation du carré magique Somme magique sur carré 2x2 et sommets du 3x3

Voir Carré plus que parfait d'ordre 4 – Développements

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