NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Le tour de magie – Carré 5x5

>>> Construction

>>> Explication

>>> Carré magique pandiagonal seulement

>>> Degré de liberté - Généralisation

>>> Carré 7x7

 

 

 

 

Carrés magiques

Tour de magie

Je devine la somme

 

Tour de magie par sélection de nombres dans un carré magique. Je suis capable de deviner la somme des nombres qui restent.

 

 

Le tour de magie

 

Avec ce carré, tu proposes un tour de magie.

 

Tu demandes à un ami de choisir un des nombre du carré magique. Tu barres tous les nombres de la même ligne et de la même colonne.

Tu demandes de choisir un autre nombre parmi ceux qui restent. Tu barres les autres de la même ligne et la même colonne.

Tu recommences jusqu'à ce qu'il ne reste plus de nombres.

 

Le carré montre en jaune un exemple des cinq nombres choisis.

Tu calcules la somme: 10 + 5 + 6 + 5 + 4 = 30

 

Tu paries que si on recommence, ton carré est si magique que la somme sera la même. C'est une somme magique cachée dans le carré.

 

 

Construction

 

Le carré magique en question est un cousin de celui-ci. Il a été "mélangé" en inversant des lignes et des colonnes pour ne pas montrer cette structure très simple.

Quelle est cette structure?

*       sur la première ligne on a les nombres: 0, 1, 2, 3 et 4; Leur somme est 10.

*       sur la première colonne, on a: 0, 3, 4, 6 et 7; leur somme est 20.

*       sur les colonnes suivantes, on ajoute 1 à chaque nombre précédent.

Les deux sommes ajoutées donnent 10 + 20 = 30, le nombre magique.

 

Carré original simple. Le carré magique ci-dessus est obtenu en permutant des lignes et des colonnes pour cacher la simplicité de la construction.

 

 

Explications

 

Le tableau générique se présente comme indiqué à droite.

On remarque que: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + a + b + c + d = SM (la somme magique, 30 pour le tour ci-dessus). On a bien un nombre de chaque.

 

Le tour de magie revient à choisir un nombre dans chaque ligne et dans chaque colonne. Chaque nombre est la somme de deux termes:

*       sur chaque ligne, on a un nombre différent: 0, a, b, c ou d; mais ils y sont tous et leur somme est constante (20 dans le tour de magie)

*       sur chaque colonne, on a un nombre différent: 0, 1, 2, 3 ou 4; mais ils y sont tous et leur somme est constante (10 dans notre tour.

*       Si bien que la somme totale est toujours 20 + 10 = 30

 

 

Les nombres a, b, c et d sont répartis sur chacune des lignes; de même, les nombres 1, 2, 3, 4 sont répartis sur chaque colonne.

Ici en jaune, en ligne nous avons: 0, 3, 1, 4, 2; et en colonne 0, b, d, a , c. Ils sont tous là et une seule fois. leur somme est la somme magique.

 

 

Carré magique pandiagonal seulement

 

Il se trouve que de tels carrés adaptés à ce tour de magie sont pandiagonaux.

Toutes les diagonales montantes et descendantes de ce tapis (quatre fois le carré originel) produisent la somme magique. L'une d'elle est mise en évidence pour montrer la structure du calcul sur tableur.
 

Diagonales descendantes      et              diagonales montantes

 

 

 

Degré de liberté

 

Degrés de liberté

Vous pouvez réaliser la somme SM que vous voulez!  

 

Connaissant le truc, vous pouvez faire des carrés de la taille que vous voulez.

 

 

Avec la ligne 0, 1, 2, 3, 4 de somme 10

Le choix de a, b, c, d est vaste, il suffit que leur somme fasse SM – 10. 

Par exemple: SM = 28, alors a + b + c + d = 18; une possibilité: a = 3, b = 4; c = 5; d = 6.

 

Avec autre somme sur la ligne

Vous pouvez choisir une autre somme. Par exemple 13, avec 0, 1, 3, 4, 5.

Attention: si les nombres ne sont consécutifs, la construction est plus délicate.

La somme a + b + c+ d  sera alors: SM – 13. 

 

 

Exemple d'un carré 7 x 7

Somme magique: 111 = 21 + 90

 

 

 

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