NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 5 x 5

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Carré 5 x 5

Construction

Diaboliques

Générique

Propriétés

Premiers

Pheru

 

Sommaire de cette page

>>> Caractérisation

>>> Construction avec le cavalier

>>> Principe de l'enroulement

>>> Construction géométrique

>>> Construction par addition de deux carrés latins

>>> Bilan sur les règes de construction – Carrés magique associatif d'ordre impair

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Voir approche en Observation sur carré d'ordre 3 /  Truc de B. Franklin

 

 

 

Carré magique d'ordre impair – Caractérisation

Ordre

n

5

Dernier nombre

Nn,n = n²

25

Nombre central

13

Somme magique

65

Nombre en rangée I

et colonne J

Rappel: les deux crochets bas signifient valeur plancher.

I = 1, J = 1

N1,1 = 17

Voir Explications et programmation

 

 

 

CONSTRUCTION avec le cavalier

 

 

Les deux règles toutes simples

 

Règle 1

 

*    Mouvement du cavalier : 1 pas vers le haut et 2 pas vers la droite.

*    Sauf un écart tous les 5 pas (pour un carré magique d'ordre 5)

On notera que l'écart est nécessaire car la case suivante est déjà occupée !

 

 

Règle 2

 

*    On enroule le tableau comme si les côtés du carré étaient collés :

 

*     le haut sur le bas,

 

et

 

 

*    la gauche sur la droite.

 

 

Bilan

 

*    Nous avons "enroulé" les nombres à l'intérieur du carré.

 

 

Illustration

 

 

8

Etc.

5

7

4

6

3

2

1

 

 

8

Etc.

5

7

4

6

3

2

1

8

5

7

4

6

3

2

 

1

8

8

7

5

5

7

44

4

6

4

6

3

2

 

1

8

7

5

44

4

6

3

2

 

Mouvements du cavalier

 

Sur les 8 mouvements possibles, seuls 6 donnent lieu à des carrés magiques.

 

 

Principe de l'enroulement

*    Nous avons commencé le carré avec le 1 placé en haut à gauche.

*    Avec le mouvement du cavalier, le 2 va se retrouver à l'extérieur du carré magique.

*    La façon de s'en sortir consiste à imaginer que le carré est enroulé sur un tube et que le bas rejoint le haut. Alors le 2 trouve sa place automatiquement.

*    En déroulant un carré magique en horizontal et en vertical, on forme un tapis sur lequel  le carré magique initial est répété.

*    Le résultat est nommé tapis magique.

 

Exemple de tapis magique formé avec le carré 3 x 3.

 

6

1

8

6

1

8

6

1

8

7

5

3

7

5

3

7

5

3

2

9

4

2

9

4

2

9

4

6

1

8

6

1

8

6

1

8

7

5

3

7

5

3

7

5

3

2

9

4

2

9

4

2

9

4

6

1

8

6

1

8

6

1

8

7

5

3

7

5

3

7

5

3

2

9

4

2

9

4

2

9

4

 

*    Voir la propriété du tapis magique des carrés magique pandiagonaux

Voir Procédé similaire pour résoudre les énigmes de transvasement

 

 

 

Suite de la construction

 

 

*    En bleu, les nombre que nous avons déjà placés.

 

*      En rouge les nouveaux, en appliquant nos deux règles.

 

 

 

*      On poursuit et on termine

 

*      On obtient le carré

*      magique

*      panmagique et

*      associatif soit

*      diabolique

donné en exemple en première page.

1

15

 

8

 

 

7

 

5

14

 

4

13

 

6

12

 

10

 

3

9

 

2

11

 

 

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

9

18

2

11

 25

Carré magique diabolique

 

 

Généralisation

 

Méthode

*    Cette méthode marche quelle que soit la position du 1 au départ. Et, aussi, quelle que soit la plupart des règles de mouvement que vous prenez pour décrire le carré.

*    En conséquence, vous pouvez construire quantité de carrés magiques. Un passage sur tableur vous permettra de vérifier si le carré construit est bien magique.

 

Un peu de théorie

*    La méthode du cavalier est un cas particulier de la construction siamoise généralisée.

*    La progression régulière est spécifiée par un vecteur et l'écart est déterminé par un deuxième vecteur.

*    Les vecteurs sur le premier exemple sont (1, 1) et (0, -1).

*    Sur le celui du dessous, on a (2, 1) et (1, -1).

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

Carré magique associatif

 

 

 

8

17

1

15

24

5

14

23

7

16

22

6

20

4

13

19

3

12

21

10

11

25

9

18

2

Carré magique panmagique

 

 

 

CONSTRUCTION géométrique

Le principe consiste à placer les nombres dans un losange et de le replier en carré.

 

*    On pose les nombres successifs dans le losange, en diagonale, comme indiqué.

 

*    On enroule les cases qui dépassent dans le carré magique.

 

On peut aussi imaginer que l'on pousse les nombres jusqu'au fond du tableau

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

11

 

7

 

3

 

 

16

 

12

 

8

 

4

21

 

17

 

13

 

9

 

5

 

22

 

18

 

14

 

10

 

 

23

 

19

 

15

 

 

 

 

24

 

20

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

11

24

7

20

3

 

 

16

4

12

25

8

16

4

21

 

17

5

13

21

9

 

5

 

22

10

18

1

14

22

10

 

 

23

6

19

2

15

 

 

 

 

24

 

20

 

 

 

 

 

25

 

 

 

Voir Magie du carré magique pour autres exemples

 

 

 

 CONSTRUCTION additive

 

*    Le principe consiste à sommer les cases de deux carrés latins.

 

*    Le premier avec les chiffres de 1 à 5

*    Pour le construire, on pose cinq fois le 1 en exécutant le mouvement du cavalier.

*    Même chose pour les autres chiffres.

*    Le second carré est construit de la même manière en prenant la précaution de ne pas faire le mouvement du cavalier dans la même direction.
 

*    On remarquera qu'avec les nombres de 5 en 5 de 0 à 20, ajoutés aux nombres de 1 à 5  du premier tableau, il est possible de former toutes les sommes de 1 à 25.

 

*    Pour construire le carré magique, on somme les nombres des cellules deux à deux de chaque tableau.

1

2

3

4

5

4

5

1

2

3

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

3

4

5

1

2

 

0

15

5

20

10

5

20

10

0

15

10

0

15

5

20

15

5

20

10

0

20

10

0

15

5

 

1

17

8

24

15

9

25

11

2

18

12

3

19

10

21

20

6

22

13

4

23

14

5

16

7

Voir Suite

 

Bilan sur les règes de construction

Carrés magique associatif d'ordre impair

 

Le 1 est placé n'importe où, sauf au centre. Lequel est occupé par le nombre (n² + 1) / 2.

Le mouvement principal (installation des nombres successifs) s'effectue soit selon la diagonale montante droite ou gauche, soit selon le mouvement du cavalier, soit tout autre espacement.

La rupture aux multiples de l'ordre du carré magique devra également s'appliquer pour passer du dernier nombre (n²) au premier (1). Pour un carré associatif, ces deux nombres seront symétriques par rapport à la case centrale (Voir illustration).

La méthode est nécessaire mais pas suffisante pour l'obtention d'un carré magique associatif. On vérifiera au tableur le résultat obtenu. Par exemple en plaçant le 1 dans un des coins et en progressant en diagonale, le carré sera imparfait.

 

Exemples avec 1 en coin

Mouvement diagonal            &             Mouvement du cavalier

 

Voir Exemples d'ordre 9

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

*    Algorithms.

*    Solutions for the nth order magic square.

*    You can construct any magic square.

*    Put the first number in the middle column of the top row.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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