NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 28/11/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique         Brèves de Maths    

            

ITÉRATIONS

 

Débutants

Général

TRIANGLE de PASCAL

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Itérations

 

Dénombrement

 

Approche

Formules

Propriétés

Historique

Triangle

Valeurs

Fractal

Puissance 11

Angle en Pi / n

Binôme

Divisibilité

Programmation

 

Sommaire de cette page

>>> Notation et numérotation

>>> Formule

>>> Calculs

>>> Somme sur une ligne du triangle = 2k

 

 

 

 

 

TRIANGLE DE PASCAL

 

Formules

 

 

Notation et numérotation

 

Construction et baptême des lignes et colonnes

 

 

Colonne = rang

Ligne = puissance

p = 0

p = 1

p = 2

p = 3

p = 4

p = 5

p = 6

n = 0

1

 

 

 

 

 

 

n = 1

1

1

 

 

 

 

 

n = 2

1

2

1

 

 

 

 

n = 3

1

3

3

1

 

 

 

n = 4

1

4

6

4

1

 

 

n = 5

1

5

10

10

5

1

 

n = 6

1

6

15

20

15

6

1

n = 7

1

7

21

35

35

21

7

 

Notez: la numérotation commence par 0. Remarque importante pour p.

 

 

*      Le nombre situé à l'intersection de la ligne n et de la colonne p

représente le coefficient de rang p

dans le développement de (x + y) n.

 

*      Ce nombre, appelé coefficient binomial, est noté:

C(n,k) ou  ou  Notation moderne (et anglaise)

 

Exemple:

 

 

 

 

  

Formule de calcul du coefficient

 

Formulation

 

*      Le coefficient binomial, s'exprime par la formule :

 

 

Remarque: la notation moderne est plus logique: le nombre le plus grand est en haut, et il est au même niveau (numérateur) dans la formule.

Voir Factorielle

 

Exemple:

 

*      Valeur qui figure bien à l'intersection n = 4 et p = 2 du triangle de Pascal.

 

Formulation pratique

 

*      Cette formulation est basée sur les simplifications évidentes à faire durant le calcul des factorielles:

 

 

Exemple:

 

 

Formulation combinatoire

 

*      Cette formulation indique que le nombre de combinaison (ordre) est égale au nombre d'arrangement (sans ordre) divisée par la quantité de configuration ordonnées dans chaque arragement:

 

 

*      Notez que les indices pour les arrangements correspondent à ceux de la notation classique des combinaisons

Voir Combinaisons

 

 

Calcul des coefficients à partir de la formule en factorielles:

 

Rappel

 

Tableau

 

k =

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k! =

1

1

2

6

24

120

720

5040

40320

362880

3628800

n =

n! =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6

1

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

4

24

1

4

6

4

1

 

 

 

 

 

 

5

120

1

5

10

10

5

1

 

 

 

 

 

6

720

1

6

15

20

15

6

1

 

 

 

 

7

5040

1

7

21

35

35

21

7

1

 

 

 

8

40320

1

8

28

56

70

56

28

8

1

 

 

9

362880

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

 

10

3628800

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

 

Exemple de calcul

*      Pour n = 5 et p = 2, le coefficient lu dans le tableau est 10.
Or 5! = 120 et 2! = 2; leur division donne 120/2 = 60.
Il faut encore diviser par (n-p)! = 3! = 6.
Soit 60 / 6 = 10.

 

   

 

Somme des combinaisons

Somme des coefficients du binôme

Somme sur une ligne du triangle de Pascal

 

Exemple pratique avec quatre éléments

Je dispose de n éléments. Disons: (a, b, c, d), soit n = 4.

 

Je cherche à savoir quelle est la totalité des combinaisons de ces éléments pris 1 par 1, puis 2 par 2, puis 3 par 3 et enfin 4 par 4. L'ordre est sans importance.

 

La quantité de combinaisons se calcule comme suit, par exemple pour 2 éléments pris  parmi 4:

En pratique: 2 termes au numérateur comme au dénominateur.

En haut, on part du plus grand (ici:4) et en bas de 1.

 

J'en choisis 0
(trivial, on y reviendra)

1 possibilité

J'en choisis 1 parmi 4

4 possibilités: a, b ,c, d

J'en choisis 2 parmi 4

6 possibilités: ab, ac, ad, bc, bd, cd

J'en choisis 3 parmi 4

4 possibilités: abc, abd, acd, bcd

J'en choisis 4 parmi 4

1 possibilité: abcd

 

Analogie avec le développement du binôme

On reconnait naturellement les coefficients du binôme, lesquels nous donnent le développement de (a + b) à la puissance 4:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

 

La formule générale du développement du binôme est la suivante:

On lit: a plus b à la puissance k est égal à la somme pour chacune des valeurs de i depuis 0 et jusqu'à k du produit des coefficients du binôme (k, i) de a à la puissance k moins i et de b à la puissance k.

 

Nous cherchons à connaitre la somme de ces coefficients

Pour faire disparaitre les a et b, il suffit de leur donner la valeur 1:

(1 + 1)4 = 1 + 4  + 6  + 4  + 1 = 24  = 16

 

Cas général

Rien n'empêche de généraliser à n'importe quelle puissance:

 

On retrouve la propriété connue: la somme des nombres sur la ligne k du triangle de Pascal vaut 2k.

 

La somme des combinaisons de k éléments pris 1 par 1, puis 2 par 2, puis… k par k est égale à 2k. Si j'élimine le cas trivial où je ne prends rien, la somme devient 2k – 1

 

La somme des combinaisons à partir de k éléments est égale à 2k.

 

Exemple

Par exemple avec k = 16, il y a un total de combinaisons égale à 216 = 65 536

Et, 65 535 en éliminant le cas où on ne prend rien.

 

Quantité selon les cas:

Il y a, par exemple, 8 008 possibilités de prendre 6 éléments parmi 16, même quantité pour 10 éléments parmi 16. La ligne est symétrique.

 

Voir Triangle de Pascal pour autres cas

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle de Pascal – Propriétés

*    Combinaisons – Toutes les formules

Voir

*    Combinaisons

*    Formule du binôme

*    Petit théorème de Fermat

Aussi

*    GéométrieIndex

*    Récurrence

*    Théorie des nombres

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/TrgPasc1.htm