Suite de Fibonacci généralisée

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Suite de Fibonacci généralisée

Nombre métallique de Fibonacci

Cousine de la suite de Fibonacci avec des chiffres différents au départ et un calcul de somme pondérée. La suite simple donne naissance au nombre d'or, la suite généralisée à la famille des nombres métalliques (de Fibonacci).

Les premiers nombres métalliques

F.C. = Fraction continue

Voir Nombre d'or et nombre d'argent (introduction et définition)

SUITE de FIBONACCI généralisée {A, B, R, S}

Suite de nombres telle que:

U₀ = A

U₁ = B

U_n = R.U_n-1 + S.U_n-2

avec A, B, R, S des entiers donnés

Notez bien les valeurs de départ en 0 et 1. Avec la suite classique, il est égal de donner (U₁ = U₂ = 1) ou (U₀ = 0; U₁ = 1). Ce n'est pas le cas pour les suites généralisées.

Avec A = B = R = S = 1
Nous avons la suite de Fibonacci dont le rapport de deux termes consécutifs converge vers le nombre d'or

Quelles que soient les valeurs de A et de B, le rapport de deux termes consécutifs converge vers une valeur cousine du nombre d'or donné par cette formule:

Anglais: Generalized Secondary Fibonacci Sequence (GSFS)

Tableau de convergence pour A = 0; B = S = 1; selon R

Formation des cinq premiers nombres métalliques

En ocre, la valeur de dernière fraction avec U(15)/U(14).

En bleu, la valeur exacte calculée à partir de la formule indiquée en-dessous.

Voir Calcul de ces suites avec la formule de Binet

Dénominations

Colonne 1 : Nombres de Fibonacci – Convergence du rapport vers le Nombre d'or

Colonne 2 : Nombres de Pell – Convergence du rapport vers le Nombre d'argent

Colonne 3 : Suite des nombres de Fibonacci généralisé d'ordre 3 – Convergence du rapport vers le Nombre métallique d'ordre 3, dit de bronze.

Etc.

Propriétés

Les nombres métalliques d'ordre n avec S = 1 sont les fractions continues en n.

Exemple

Les nombres métalliques sont solutions des équations:

Le nombre de Cuivre (#4) est le cube du nombre d'or.

D'autres relations du même type existent.

Tous les nombres métalliques en S = 1 possèdent les mêmes décimales que leur inverse.

Avec ces cas particuliers, l'inverse du nombre est son conjugué (signe plus devient moins).

R, S, M, 1/M

1, 1, 1,61803, 0,61803

2, 1, 2,41421, 0,41421

3, 1, 3,30277, 0,30277

4, 1, 4,23606, 0,23606

5, 1, 5,19258, 0,19258

6, 1, 6,16227, 0,16227

7, 1, 7,14005, 0,14005

8, 1, 8,12310, 0,12310

9, 1, 9,10977, 0,10977

10, 1, 10,0990, 0,0990

11, 1, 11,0901, 0,0901

12, 1, 12,0827, 0,0827

13, 1, 13,0764, 0,0764

14, 1, 14,0710, 0,0710

15, 1, 15,0663, 0,0663

16, 1, 16,0622, 0,0622

17, 1, 17,0586, 0,0586

18, 1, 18,0553, 0,0553

19, 1, 19,0524, 0,0524

20, 1, 20,0498, 0,0498

…

Exemples de calcul de l'inverse

Nombre métallique d'ordre 20 = 20,0498…

Nombre métallique d'ordre 7 = 7,1400…

Les nombres de Fibonacci d'ordre 4 sont la moitié des de Fibonacci de rang 3n.

Exemple: le Fibonacci d'ordre 4 de rang 5 (305) est la moitié de 610, le Fibonacci classique de rang 3 x 5 = 15

Nombres métalliques

Pour R et S de 1 à 6

Pour R et S de 1 à 10, ordonnée par valeur numérique [N, R, S]

{[1.618033988, 1, 1], [2., 1, 2], [2.302775638, 1, 3], [2.414213562, 2, 1], [2.561552813, 1, 4], [2.732050808, 2, 2], [2.791287848, 1, 5], [3., 1, 6], [3., 2, 3], [3.192582404, 1, 7], [3.236067977, 2, 4], [3.302775638, 3, 1], [3.372281324, 1, 8], [3.449489743, 2, 5], [3.541381265, 1, 9], [3.561552813, 3, 2], [3.645751311, 2, 6], [3.701562118, 1, 10], [3.791287848, 3, 3], [3.828427124, 2, 7], [4., 2, 8], [4., 3, 4], [4.162277660, 2, 9], [4.192582404, 3, 5], [4.236067977, 4, 1], [4.316624790, 2, 10], [4.372281324, 3, 6], [4.449489743, 4, 2], [4.541381265, 3, 7], [4.645751311, 4, 3], [4.701562118, 3, 8], [4.828427124, 4, 4], [4.854101966, 3, 9], [5., 3, 10], [5., 4, 5], [5.162277660, 4, 6], [5.192582404, 5, 1], [5.316624790, 4, 7], [5.372281324, 5, 2], [5.464101616, 4, 8], [5.541381265, 5, 3], [5.605551275, 4, 9], [5.701562118, 5, 4], [5.741657387, 4, 10], [5.854101966, 5, 5], [6., 5, 6], [6.140054944, 5, 7], [6.162277660, 6, 1], [6.274917218, 5, 8], [6.316624790, 6, 2], [6.405124838, 5, 9], [6.464101616, 6, 3], [6.531128874, 5, 10], [6.605551275, 6, 4], [6.741657387, 6, 5], [6.872983346, 6, 6], [7., 6, 7], [7.123105626, 6, 8], [7.140054944, 7, 1], [7.242640686, 6, 9], [7.274917218, 7, 2], [7.358898944, 6, 10], [7.405124838, 7, 3], [7.531128874, 7, 4], [7.653311932, 7, 5], [7.772001872, 7, 6], [7.887482194, 7, 7], [8., 7, 8], [8.109772228, 7, 9], [8.123105626, 8, 1], [8.216990566, 7, 10], [8.242640686, 8, 2], [8.358898944, 8, 3], [8.472135954, 8, 4], [8.582575695, 8, 5], [8.690415760, 8, 6], [8.795831523, 8, 7], [8.898979486, 8, 8], [9., 8, 9], [9.099019514, 8, 10], [9.109772228, 9, 1], [9.216990566, 9, 2], [9.321825380, 9, 3], [9.424428901, 9, 4], [9.524937810, 9, 5], [9.623475385, 9, 6], [9.720153255, 9, 7], [9.815072905, 9, 8], [9.908326912, 9, 9], [10., 9, 10], [10.09901951, 10, 1], [10.19615242, 10, 2], [10.29150262, 10, 3], [10.38516481, 10, 4], [10.47722558, 10, 5], [10.56776436, 10, 6], [10.65685425, 10, 7], [10.74456265, 10, 8], [10.83095190, 10, 9], [10.91607978, 10, 10]}

Formules donnant les nombres métalliques
Définition de la suite
En divisant par U(n)
S'il y a convergence en x
Limite

Une preuve formelle devrait établir que la convergence existe.

Fonctions génératrices des FG (Fibonacci généralisés)

On donne la fonction génératrice d'ordre k (rouge) et son développement pour k donné:

Pour info, en tête, le programme qui calcule ces fonctions.

Voir Fonctions génératrices

Programmation Maple
		Calcul de la suite de Fibonacci généralisée d'ordre 5 par programme classique puis avec instruction dédiée. Commentaires Valeur de n-1 (nm1) et n au départ et leur impression. Boucle de calcul de F pondéré par R et S. Impression du rang et de F. Impression finale du rapport et de sa valeur théorique. La dernière ligne exploite l'instruction fibonacci qui donne directement les valeurs cherchée.
	Résultat du traitement À gauche, la liste des nombres de Fibonacci d'ordre 5 Ci-dessous, la même liste calculée avec l'instruction dédiée. 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, 51872282415, 269351100901, 1398627786920, 7262490035501, 37711077964425, 195817879857626, 1016800477252555, 5279820266120401, 27415901807854560, 142359329305393201, 739212548334820565, 3838422070979496026, 19931322903232300695, 103495036587140999501, 537406505838937298200

Voir Programmation – Index

Suite	Suite de Lucas Suite de Padovan Tables de ces nombres
Voir	Boucle infernale en carrés Calcul mental – Index Chaîne d'Or Fraction continue Géométrie – Index	Nombre d'or Nombres en cercle Récurrence Théorie des nombres
Sites	M2: OEIS A000129 – Pell numbers: a(0) = 0, a(1) = 1; for n > 1, a(n) = 2a(n-1) + a(n-2) M3: OEIS A006190* – a(n) = 3a(n-1) + a(n-2), with a(0)=0, a(1)=1 – Bronze Fibonacci Numbers* M4: OEIS A001076 – Denominators of continued fraction convergents to sqrt(5) M5: OEIS A052918 – a(0) = 1, a(1) = 5, a(n+1) = 5*a(n) + a(n-1) The family of metallic means – Vera W. de Spinadel Metallic numbers: Fibonacci and more – Gokul Rajiv and Yong Zheng Yew
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