NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Partition

 

Calculs

 

Approche

En bref et Index

S'y retrouver

Formules de récurrence

Quantité de partitions

Partielles (1/2)     (2 / 2)

Fonction génératrice

P(1) à P(6)

P(7) à P15)

K-Bonacci

Digi-P

Diff-P

Bi-P

Tri-P

Pri-Bi-P

Pri-Tri-P

 

Sommaire de cette page

>>> Additions

>>> Partitions – SIX TYPES principaux

>>> Partitions

>>> Types de partitions

>>> Propriétés des partitions

 

>>> Partitions – Index 

 

 

 

 

 

PARTITIONS en bref

Portail – Index – Table des matières

 

Petit texte d'orientation dans le monde des partitions.

 

 

Additions

L'addition est la plus simple des opérations arithmétiques. Elle est notée avec le signe + (plus). Le résultat s'appelle la somme.

Addition – Initiation

Une addition consiste à ajouter une quantité (M) à une quantité de départ (B). Notation:  S = A + B.

*      Ajouter 0 ne change par le nombre: A + 0 = A

*      Ajouter 1 incrémente la valeur de une unité. 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; etc. Cette suite d'incrémentations produit tous les nombres, aussi grands que l'on veut.

*      Ajouter successivement tous les nombres d'une liste aboutit à la somme cumulée de ces nombres.

La somme cumulée des entiers successifs à partir de 0 forme les nombres triangulaires.

Somme des entiers

 

Nombres triangulaires

 

Une soustraction consiste à retirer (retrancher) un nombre B à une quantité de départ (A). Notation D = A – B. 

*      Ajouter ou soustraire des nombres entiers positifs ou négatifs constitue une addition algébrique.

Soustraction - initiation

 

Addition algébrique

 

 

 

Partitions – 6 TYPES & 3 NIVEAUX

 

En jaune foncé, les PARTITIONS du nombre 5. Il y en a 7.  Ce sont toutes les additions ayant 5 pour somme. L'ordre des termes est indiffèrent.

 

On distingue:

*      les partitions à k sommants (k termes), et

*      les partitions à k nombres, les nombres de 1 à k.

 

 

En jaune clair, les COMPOSITIONS (ou décompositions) du nombre 5. Ce sont les partitions avec toutes les permutations possibles des termes. Il y en a 14.

 

On distingue:

*      les compositions  à k sommants, et

*      les compositions  à k nombres, les nombres de 1 à k.

 

 

Notes

Les nombres ajoutés sont les termes de l'addition. Pour les partitions, on parle de sommants ou de parts.

Les partitions sont généralement ordonnées des plus grands nombres aux plus petits, notamment lors des recherches sur les partitions à k nombres.

D'autres partitions sont parfois étudiées: partition avec nombres tous différents, partitions avec seulement les chiffres de 1 à 9, etc.

 

Propriété des partitions partielles

La quantité de partitions à k sommants est égale à la quantité de partitions avec le nombre. Ex: 5 = 4 + 1 = 3  + 2  (2 sommants ) & 5 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 (nombre 2 dans la partition, mais pas plus grand) >>>

 

 

NIVEAUX

Pour s'y retrouver, on peut classer les partitions en trois niveaux de profondeur:

*    Partitions classiques telles qu'exposées ci-dessus: un nombre  =  somme de nombres.

*    Partitions spécifiques: un nombre = sommes de nombres particuliers, comme premiers, carrés, cubes, Fibonacci, etc

*    Partitions doublement spécifiques: un nombre spécifique (carré …) =  somme de nombres spécifiques (carré, premiers …)

 

Dans ces deux derniers cas, on cherche également à savoir si l'égalité se présente une fois ou plusieurs fois, comme, par exemple, un cube somme deux fois de trois cubes.

La foison des cas possibles est si grande qu'une page spéciale permet de d'y retrouver.

 

 

 Orientation vers les pages traitant des diverses possibilités exposées ci-dessus

 

Partitions – Orientation

Tout nombre est la somme d'autres nombres et avec de nombreuses possibilités de sommes. Comme:
15 = 5 + 5 + 5 = 1 + 1 + 1 + 13 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =  etc.

*      Sauf peut-être le 0: 0 = 0 + 0 n'est pas très original;

*      Sauf également le 1: 1 = 1 + 0 pas très excitant non plus!

Partition - introduction

Le fait de couper en morceaux (en parts) un nombre de cette façon se nomme partition.

Lorsque vous avez trouvé une partition, il est possible d'en déduire d'autres par permutation des nombres. La première est dite permutation propre ou simplement permutation. Les autres présentations sont des permutations induites ou compositions (parfois nommées: décompositions).
10 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 4 + 3 = 1 + 3 + 2 + 4 = …

Partition des nombres de 1 à 15

 

Compositions

 

La première idée avec les partitions consiste à essayer de les dénombrer: combien de possibilités de sommes pour arriver à un nombre donné?

Pour 10, il y a 42 partitions propres et 512 partitions induites. Pour 100, il y a presque deux cent millions de partitions propres. La quantité de partitions croît à une vitesse vertigineuse.

Partitions - quantité

 

Étude de cas avec 67

La quantité de partitions d'un nombre n avec les nombres de 1 à k exclusivement est égale au nombre k-bonacci de rang n.

Partitions et k-bonacci

Quelles sont les formules qui s'appliquent aux quantités de partitions:

*    Déduire les une des autres

*    Les engendrer toute

Formule de récurrence

 

Fonctions génératrices

 

 

 

Types de partitions – Orientation

On peut s'intéresser à des partitions particulières:

*      selon la quantité de termes de la somme;

*      selon la nature des nombres sommés;

*      selon la nature du nombre lui-même; et

*      selon la quantité de partitions de même nature.

Bipartition

 

Tripartition

 

Quantité de termes:

*      avec 2 termes, il s'agit d'une bipartition;

*      avec 3 termes, il s'agit d'une tripartition;

*      avec n termes, il s'agit d'une n-partition.

Nombres différents

Partition avec uniquement les chiffres de 1 à 9:

Digipartition

Selon la nature des termes sommé, il existe des partitions avec:

*      des nombres entiers

*    quelconques;

*    tous différents

*    chiffres de 1 à 9 seulement (digipartition);

*    premiers;

*      des carrés;

*      des cubes;

*      des puissances d'ordre n;

*      etc.

Carrés distincts

 

Selon la nature du nombre:

*      entier de forme particulière (repunit, repdigit …);

*      carré, cube, puissance nième.

 

Selon la quantité de partitions

*      Nombre n fois somme de p puissance n.

Multi somme

Évidemment, toutes les combinaisons sont possibles, notamment avec les sommes de puissances d'un nombre lui-même une puissance.
Voir la page spéciale à ce sujet.

S'y retrouver >>>

 

 

 

Propriétés des partitions – Orientation

Conjecture de Goldbach: tout nombre est la somme de 3 nombres premiers.

Goldbach

Fermat: tout nombre est la somme de 3 nombres triangulaires et plus généralement tout nombre est décomposable en n nombre n-gulaires.

Fermat

Théorème de Waring: tout nombre est la somme de:

*      4 nombres carrés (Lagrange);

*      9 nombres cubes;

*      etc.

et plus généralement, un nombre est toujours la somme d'au plus r puissances k.

Lagrange

 

Waring

Il existe une infinité de triplets de Pythagore: a² + b² = c².

 

Il n'existe aucun triplet de Fermat: an + bn = cn   avec n>2.

Pythagore

 

Fermat-Wiles

La somme des nombres successifs au carré est égale à la somme de chacun de ces nombres au cube.

Carré = somme cubes

Nombres égaux à la sommes des entiers de 1 à k

Somme des entiers

 

 

 PARTITIONSIndex

 

*          Addition - Glossaire

*          Addition – Initiation

*          Addition algébrique

*          Addition des carrés

*          Addition des entiers

*          Addition des puissances (Théorème de Waring)

*          Bipartition

*          Carré = somme cubes

*          Carrés distincts

*          Carrés magiques

*          Compositions

*          Compositions avec nombres de 1 à k

*          Compter les marches d'escalier (décomposition sous contrainte)

*          Conjecture ABC

*          Conjecture de Goldbach (n = p + p + p)

*          Digipartition (partition avec les chiffres)

*          Fermat   (n = T + T + T)

*          Fermat-Wiles (ak + bk jamais ck)

*          Fonctions génératrices des partitions

*          Fonctions génératrices en général

*          Formule de récurrence

*          Goldbach (conjecture)

*          Lagrange (n = a² + b² + c² + d²)

*          Multi somme  (n = somme de puissances k fois)

*          Nombre 6 – Diagramme de Ferrers

*          Nombre 67 – Études de cas

*          Nombres partitionnés avec des uns

*          Nombres triangulaires

*          Partition - introduction

*          Partition (coloration) des nombres

*          Partition avec des nombres consécutifs

*          Partition avec des nombres différents

*          Partition avec k sommants

*          Partition avec nombres de 1 à k

*          Partition des ensembles

*          Partition des nombres de 1 à 15 – Explications

*          Partition et analogie de l'escalier

*          Partitions – Initiation

*          Partitions – Nombres différents

*          Partitions – Quantité

*          Partitions et k-bonacci

*          Partitions spécifiques – S'y retrouver

*          Polynômes générateurs des partitions

*          Pythagore – Triplets

*          Rectangles magiques à répétitions

*          Répartition de n balles en k boites

*          Somme des entiers

*          Soustraction – Initiation

*          Table – Partition des nombres de 1 à 10

*          Totient d'Euler

*          Tripartition

*          Waring (Théorème de – )

 

 

 

 

 

 

Retour

*    Partition – Introduction

Suite

*    Partition – S'y retrouver 

*    Partitions – Formules de récurrence

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Multi-somme de puissances

Sites

*    Partition d'un entier – Wikipédia

*    Integer Partition Table (de 0 à 34) – Wikipedia

*    Table des quantités de partitions de 0 à 4096

*    OEIS A000041 – Quantité de partitions

*    OEIS A046063 – Quantité de partitions premières

Sites niveau avancé

*    Lectures of Integer partitions – Herbert Wilf – niveau avancé

*    Partitions – A surveyHansraj Gupta – 1969

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/PttNara.htm