NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Algèbre

Fonctions GÉNÉRATRICES

 

Glossaire

Partition

 

 

INDEX

 

Suites

 

Partition

 

Introduction

Nombres entiers

Diviseurs

Principales FG

Partitions

K termes

Distincts = Impairs

 

Sommaire de cette page

>>> Quelques partitions en exemples

>>> Quantité de partitions distinctes ou impaires

>>> Partitions particulières

>>> Démonstration du théorème

 

 

 

 

Quantité  de PARTITIONS

Qté DISTINCTS = Qté IMPAIRS

 

Extraordinaire ! Il y a autant de partitions en nombres distincts (partitions strictes) que de partitions en nombres impairs (odd en anglais):

 

QD(n) = QI(n)   autre notation: pd(n) = po(n)

 

Les fonctions génératrices sont appelées pour réaliser le démonstration.

Cette propriété exceptionnelle a été trouvée par Euler.

Voir Partitions strictes et partitions impaires – Approche et programmation

 

 

 

Quelques partitions

Partitions avec

des nombres IMPAIRS

des nombres DISTINCTS

Définition

 

Les termes de la partition ne sont que des nombres impairs, même répétés.

 

Les termes de la partition sont tous différents (donc non répétés).

Nombre 7

5 partitions

dans les deux cas

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

[1, 1, 1, 1, 3]

[1, 3, 3]

[1, 1, 5]

[7]

[1, 2, 4]

[3, 4]

[2, 5]

[1, 6]

[7]

Nombre 8

6 partitions

dans les deux cas

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

[1, 1, 1, 1, 1, 3]

[1, 1, 3, 3]

[1, 1, 1, 5]

[3, 5]

[1, 7

[1, 3, 4]

[1, 2, 5]

[3, 5]

[2, 6]

[1, 7]

[8]

Nombre 11

12 partitions

dans les deux cas

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3]

[1, 1, 1, 1, 1, 3, 3]

[1, 1, 3, 3, 3]

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 5]

[1, 1, 1, 3, 5]

[3, 3, 5]

[1, 5, 5]

[1, 1, 1, 1, 7]

[1, 3, 7]

[1, 1, 9]

[11]

[1, 2, 3, 5]

[2, 4, 5]

[2, 3, 6]

[1, 4, 6]

[5, 6]

[1, 3, 7]

[4, 7]

[1, 2, 8]

[3, 8]

[2, 9]

[1, 10]

[11]

Voir Table des partitions distinctes

 

 

 

Quantité de partitions distinctes ou impaires des nombres n de 1 à 30

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

1

2

2

3

4

5

6

8

10

12

15

18

22

27

32

38

 

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

46

54

64

76

89

104

122

142

165

192

222

256

296

 

Liste des quantités de partitions jusqu'à n = 120 (en rouge valeur pour les multiples de 10)

1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864, 982, 1113, 1260, 1426, 1610, 1816, 2048, 2304, 2590, 2910, 3264, 3658, 4097, 4582, 5120, 5718, 6378, 7108, 7917, 8808, 9792, 10880, 12076, 13394, 14848, 16444, 18200, 20132, 22250, 24576, 27130, 29927, 32992, 36352, 40026, 44046, 48446, 53250, 58499, 64234, 70488,  77312, 84756, 92864, 101698, 111322, 121792, 133184, 145578, 159046, 173682, 189586, 206848, 225585, 245920, 267968, 291874, 317788, 345856, 376256, 409174, 444793, 483330, 525016, 570078, 618784, 671418, 728260, 789640, 855906, 927406, 1004544, 1087744, 1177438, 1274118, 1378304, 1490528, 1611388, 1741521, 1881578, 2032290, 2194432, ….

   Suite jusqu'à n = 5000

 

 

 

Partitions particulières

 

Avec que des "1"

Il n'existe qu'une partition du nombre n avec que des "1". C'est la somme 1 + 1 + 1 + … + 1 avec n fois le nombre 1.

 

 

1x0 + 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + …

 

Chaque coefficient indique la quantité de partitions du nombre mis en exposant.

On simplifie:

 

 

Avec que des "2"

C'est la même chose: qu'une seule présentation pour chaque nombre, à condition qu'il soit pair:
Ex: 6  = 2 + 2 + 2

 

 

1x0 + 0x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + …

 

Chaque coefficient indique la quantité de partitions du nombre mis en exposant.

On simplifie:

 

  

Avec que des "k"

C'est le même principe

1 + xk + x2k + x3k  

 

Avec que des "1" et des  "2"

C'est le produit des deux polynômes.

Ex: pour le nombre 4, il existe trois partitions avec "1" et "2".
Ce sont:  4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 2 + 2.

 

 

(1 + x + x2 + x3 + x4 + … )  
. (1 + x2 + x4 + x6  … )

= 1 + x + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 + …

 

Avec que des nombres impairs

C'est le produit des deux polynômes de rang impair.

 

(1 + x + …) (1 + x3 +…) (1 + x5 +…) …

 

Avec que des nombres distincts

La contribution de chaque nombre à la partition d'un nombre n est nulle ou unique.

 

(1 + x) (1 + x2) (1 + x3) (1 + x4) …

 

Chaque binôme indique la contribution du nombre en exposant.

Voir Brève 518

 

 

 

 

Démonstration du théorème

 

Théorème

Pour tout nombre entier, la quantité de partitions distinctes est égale à celle des partitions en nombres impairs.

 

 

QD(n) = QI(n)

 

ou (avec o pour odd, impair en anglais)

pd(n) = po(n)

 

Mise en évidence de QD(n)

Prenons ce produit infini

En le développant

 

 

Les coefficients sont égaux aux QD(n)

Mise en évidence de QI(n)

Prenons ce produit infini

En le développant

 

Les coefficients sont égaux aux QI(n)

Les mêmes que QD(n)

Rappel

pour x < 1

Preuve de l'égalité

Reprise de l'expression pour Qi(n).

 

On intercale des fractions unité avec puissances paires.

 

Puis expansion des numérateurs

 

Après simplification, les dénominateurs sont éliminés et on retrouve l'expression de QD(n)

 

CQFD.

 

 

 

 


 

 

 

 

Suite

*         Partitions – Quantité fonction du nombre de sommants

*         Fonctions génératrices – Nombres entiers

*         Tables des FG classiques

Voir

*         Diviseurs – Introduction

*         Diviseurs – Théorie

*         Suites

*         Fractales

Sites

*         OEIS A000009 - Expansion of Product_{m >= 1} (1 + x^m); number of partitions of n into distinct parts; number of partitions of n into odd parts

*           Euler Gem: Distinct versus Odd Partitions (Tanton Mathematics) – Video

*         Partition Function - Sarbajit Mazumdar, Jyotishka Ray Choudhury (Mettre tout ce texte dans la fen^tre de recherche)

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