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Réflexions |
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Les
fractales sont des objets bien étranges et source d'émerveillement pour
beaucoup de gens, c'est vrai. Les
fractales: un paradigme? Une
construction de l'esprit, utile pour comprendre un réel beaucoup plus
compliqué. Voyons cela … Pour
l'artiste, c'est une source impressionnante d'images colorées et esthétiques,
diversifiées au gré du créateur. Il suffit de naviguer sur Internet pour s'en
rendre compte. Avec un logiciel très simple à télécharger (Fracint) dont
l'adresse est dans Wikipédia à fractale, chacun peut jouer à l'artiste et
produire ses dessins avec délectation et sans fin. Il
y a une quinzaine d'années, je m'adonnais au dessin sur ordinateur, genre Vasarely.
J'ai eu aussi ma période fractale et j'ai écrit mes propres logiciels pour
les créer. C'est avec ce genre d'expérience que la profondeur des fractales
se révèle. Ce sont effectivement de jolis dessins d'allure complexe mais bien
ordonnés, mais la mathématique derrière est pourtant des plus rustiques.
Comment une telle simplicité peut-elle engendrer une telle complexité?
Mystère! |
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Explication
de leur fabrication
en bref, et pourtant tout est là: -
Le plan est divisé en 1000 x 1000 points, par exemple. -
Pour chaque point le programme calcule une fonction (le
carré d'un nombre, par exemple). Le résultat sera réinjecté dans la fonction
et cela re-mouliné des dizaines, des centaines de fois. -
De deux choses l'une: ou la valeur croit sans cesse
(alors la couleur du point sera noire) ou alors la valeur se stabilise à une
valeur (alors la couleur du point sera fonction de cette valeur). -
Petit détail pour que cela marche, les valeurs
utilisées sont des nombres complexes (un
duo de deux nombres qui se traitent ensemble dans les calculs). Voir Programmation
des fractales |
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Le
dessin qui sort de l'imprimante, suite à cette simple programmation, est
magique; difficile d'en croire ses yeux. C'est moi qui ai fait cela! Le ravissement
se prolonge en zoomant sur une petite zone du plan de départ. En recalculant
1000 x 1000 points dans cette petite zone, le même type de dessin refait
surface. Et cela sans fin en zoomant de plus en plus! Un peu comme la boite
de vache-qui-rit comme boucle d'oreille d'une vache-qui-rit. Impossible
d'imaginer la fin ce cette autosimilarité. L'ingénieur
va s'emparer de ces objets semi-complexes (complexes, mais il sait les
décrire, les manipuler) pour modéliser les situations compliquées de la nature:
montagnes, nuages, vagues, lignes de côté, écoulement de lave, tressautements
du robinet qui fuit …). Et ça marche pas mal. Ces objets sont effectivement
très utilisés en simulation. L'humanité
a passé des siècles à ne pas connaître les fractales. Cependant ce sont des
objets géométriques par nature, du moins à travers un des types de leur
matérialisation à nos sens. Et, la géométrie est l'une des rares disciplines
à avoir été pleinement explorée par les Anciens. En fait, le principe
d'autosimilarité des fractales fut identifié par Henri Poincaré au début du siècle dernier. Il a été pleinement
révélé dès que la masse des calculs a pu être réalisée par les ordinateurs. Plaisir
du commun des mortels face à de telles toiles aux images ordonnées, fines et
rondes. Plaisir extatique du matheux qui découvre la démultiplication de
l'effet sur la cause. Nouvel outil pour l'ingénieur qui croit avoir enfin
maitrisé les situations irrégulières de la nature, le chaos. Sujet de passion
pour le philosophe qui, appréciant tous ces bénéfices, se pose la question de
leur fondement. Comment la nature nous donne-t-elle à voir un tel spectacle?
Est-ce que les fractales existent ou est-ce une construction de l'esprit
humain? Et même, une fois admise, comment imaginer la fin d'une image
fractale, celle-là même qui se reconstruit à chaque fois que l'on veut la
saisir dans sa plus fine intimité. |
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Aussi le billet coup de
cœur |
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