NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTALES

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

Fractales

 

Débutant

Introduction

Réflexions

 

 

 


 

 

Réflexions

 

Les fractales sont des objets bien étranges et source d'émerveillement pour beaucoup de gens, c'est vrai.

Les fractales: un paradigme? Une construction de l'esprit, utile pour comprendre un réel beaucoup plus compliqué. Voyons cela … 

 

Pour l'artiste, c'est une source impressionnante d'images colorées et esthétiques, diversifiées au gré du créateur. Il suffit de naviguer sur Internet pour s'en rendre compte. Avec un logiciel très simple à télécharger (Fracint) dont l'adresse est dans Wikipédia à fractale, chacun peut jouer à l'artiste et produire ses dessins avec délectation et sans fin.

Il y a une quinzaine d'années, je m'adonnais au dessin sur ordinateur, genre Vasarely. J'ai eu aussi ma période fractale et j'ai écrit mes propres logiciels pour les créer. C'est avec ce genre d'expérience que la profondeur des fractales se révèle. Ce sont effectivement de jolis dessins d'allure complexe mais bien ordonnés, mais la mathématique derrière est pourtant des plus rustiques. Comment une telle simplicité peut-elle engendrer une telle complexité? Mystère!

 

 

 

Explication de leur fabrication en bref, et pourtant tout est là:

-      Le plan est divisé en 1000 x 1000 points, par exemple.

-      Pour chaque point le programme calcule une fonction (le carré d'un nombre, par exemple). Le résultat sera réinjecté dans la fonction et cela re-mouliné des dizaines, des centaines de fois.

-      De deux choses l'une: ou la valeur croit sans cesse (alors la couleur du point sera noire) ou alors la valeur se stabilise à une valeur (alors la couleur du point sera fonction de cette valeur).

-      Petit détail pour que cela marche, les valeurs utilisées sont des nombres complexes (un duo de deux nombres qui se traitent ensemble dans les calculs).

Voir Programmation des fractales

 

 

 

Le dessin qui sort de l'imprimante, suite à cette simple programmation, est magique; difficile d'en croire ses yeux. C'est moi qui ai fait cela! Le ravissement se prolonge en zoomant sur une petite zone du plan de départ. En recalculant 1000 x 1000 points dans cette petite zone, le même type de dessin refait surface. Et cela sans fin en zoomant de plus en plus! Un peu comme la boite de vache-qui-rit comme boucle d'oreille d'une vache-qui-rit. Impossible d'imaginer la fin ce cette autosimilarité.

L'ingénieur va s'emparer de ces objets semi-complexes (complexes, mais il sait les décrire, les manipuler) pour modéliser les situations compliquées de la nature: montagnes, nuages, vagues, lignes de côté, écoulement de lave, tressautements du robinet qui fuit …). Et ça marche pas mal. Ces objets sont effectivement très utilisés en simulation.

L'humanité a passé des siècles à ne pas connaître les fractales. Cependant ce sont des objets géométriques par nature, du moins à travers un des types de leur matérialisation à nos sens. Et, la géométrie est l'une des rares disciplines à avoir été pleinement explorée par les Anciens. En fait, le principe d'autosimilarité des fractales fut identifié par Henri Poincaré au début du siècle dernier. Il a été pleinement révélé dès que la masse des calculs a pu être réalisée par les ordinateurs.

 

Plaisir du commun des mortels face à de telles toiles aux images ordonnées, fines et rondes. Plaisir extatique du matheux qui découvre la démultiplication de l'effet sur la cause. Nouvel outil pour l'ingénieur qui croit avoir enfin maitrisé les situations irrégulières de la nature, le chaos. Sujet de passion pour le philosophe qui, appréciant tous ces bénéfices, se pose la question de leur fondement. Comment la nature nous donne-t-elle à voir un tel spectacle? Est-ce que les fractales existent ou est-ce une construction de l'esprit humain? Et même, une fois admise, comment imaginer la fin d'une image fractale, celle-là même qui se reconstruit à chaque fois que l'on veut la saisir dans sa plus fine intimité.

 

 

 


 

Suite

*    Fractales – Propriétés

*    Trait de côte et sa mesure

*    FractalesIndex

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*    Complexité et Chaos

*    Géométrie

*    Jeux

*      Lunules en fractales

*    Paradoxes

*    Sauts de grenouille

*      Transformation du Boulanger

Aussi le billet coup de cœur

*      Horizon et coup de cœur de Marcel Thiriet sur les fascinantes fractales.