NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Complexes

Nombres complexes

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Introduction

Complexes

Quaternions

Octavions

Historique

Factorisation

Trois Algèbres

Cyclotomique

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres complexes

>>> Levier mathématique

>>> Interprétation géométrique

>>> Représentation

>>> Définitions

>>> Bilan

>>> Anglais

 

 

 

 

 

NOMBRES COMPLEXES

 

Est-ce que l'imaginaire est complexe?

Pour vous faire une idée, allez voir sur cette page:

 

*    Interprétation de l'imaginaire

*    Puissance de l'imaginaire

 

 

 

Je vous ai mis zéro; mais pourquoi m'avoir rendu une page blanche? – Mais, M'sieur ce sont des nombres imaginaires ...

Voir Pensées & humour

 

 

 

NOMBRES COMPLEXES

 

Définition

 

*    Nombres complexes: expression de la forme z = a + ib

a et b sont des nombres réels,

et i un "nombre imaginaire" tel que: i² = – 1 soit:  i =

 

*    a est la partie réelle du nombre complexe;
b est la partie imaginaire du nombre complexe.

 

Intérêt

 

*    Les équations du deuxième degré ax² + bx + c = 0 ont toujours deux racines qui, si elles ne sont pas réelles, sont imaginaires.

*    Historiquement, les nombres complexes furent imaginés pour résoudre les équations du troisième degré, en toute généralité.

 

Applications

 

*    Les nombres complexes créent un pont avec la géométrie, notamment dans le domaine des rotations et similitudes.

*    En mathématiques pure, le passage au monde des complexes permet la résolution de problèmes pratiquement insoluble sinon. C'est le cas pour le calcul de certaines intégrales. Le cas aussi de l'analyse complexe à l'aide du théorème des résidus.

*    D'une manière générale, les complexes font partie de la boîte à outils des ingénieurs. Ils facilitent les calculs des formes d'onde (électronique, acoustique …), des flux (aérodynamique, hydrodynamique …). Ils sont utiles en théorie du signal (radar, sonar imagerie), en automatique (régulation, servomécanismes …).

*    Les électroniciens font grand usage des nombres complexes pour décrire le comportement des circuits électroniques en régime permanent comme en régime transitoire.

*    Deux outils typiques:

*           Le calcul de la transformée de Fourier rapide (FFT: Fast Fourier Transform).

*           La transformation de Joukovsky (Z = z + 1/z: transformation conforme) est utilisée pour calculer le profil des ailes d'avions.

 

*    En sciences, la mécanique quantique fait usage des complexes. Équation de Schrödinger, matrice d'Heisenberg, espace complexe de Hilbert …

 

 

 

LEVIER MATHÉMATIQUE

 

 

 

*    Il est très pratique de passer dans le monde des complexes, momentanément, pour calculer et résoudre un problème. Même s'il faut  traiter deux parties (réelles et imaginaires) – donc une de plus! – le calcul dans le monde des complexes est plus productif.

*    En final, le retour dans le monde des réels donne la solution cherchée.

*    Ce cas de changement de monde est fréquent en mathématiques: passage aux logarithmes pour simplifier des calculs complexes, par exemple.

 

 

 

 

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

 

Rappel fondamental

 

Le nombre i est le nombre complexe dont le carré est égal à –1:   .

Il est racine du polynôme   + 1 = 0.

On le note symboliquement:   >>>

 

Illustration graphique

 

 

*    Le triangle ABC en rouge est rectangle, car: l'un des côtés (BC) est un diamètre du cercle et le sommet opposé (A) est sur le cercle.

 

*    Propriété fondamentale du triangle rectangle:

Ici, cette relation est évidente puisque a, b et c ont pour longueur le rayon du cercle:

 

*    En osant utiliser les "longueurs relatives", cette relation donnerait une longueur bien étrange:  

 

*    Le nombre imaginaire i se trouve être le nombre complexe dont le carré est égal à -1. Son image dans le plan complexe se trouve effectivement au point A d'ordonnée y = 1, ou selon notre calcul relatif, en racine de moins 1, représentant le nombre imaginaire i.

 

Intuitivement

 

*    On peut comprendre pourquoi, du monde purement imaginaire (axe vertical y),  on peut se retrouver dans le monde purement réel (axe horizontal x), car avec i, on réalise une rotation de 90° vers le monde imaginaire (axe des y) et avec une nouvelle application de i (au total ), on repasse au monde réel (axe des x). En fait: i² = – 1 correspond à une rotation de 180°.

 

 

Notation  symbolique de i = racine de -1

 

Racine des nombres négatifs: il semblerait que la notation   ne soit pas recommandée dans l'enseignement supérieur en France, alors qu'elle est largement en usage dans les textes anglo-saxons ou même … indiens. En fait, i² = -1 ou  sont des abstractions absolument équivalentes. De mon expérience, la seconde étant souvent plus facile à comprendre et à retenir que la première.

 

Par exemple: la racine de +4 est soit +2 soit -2, bien! Par contre, comment calculer la racine de – 4? Elle n'existe pas dans le monde réel. Par contre, dans le monde des complexes, elle s'écrit simplement: .

 

Autres notations: en électronique le i est remplacé par j pour ne pas confondre avec i comme intensité. En calcul symbolique sur ordinateur, le i devient majuscule I.

 

Définition anglaise: a complex number is a number of the form a + ib where a, b , the set of real numbers, and  , is called a complex number.

 

Quelques définitions sur Internet

 

Encyclopédie de référence américaine: The complex numbers are the field  of numbers of the form x + iy, where x and y are real numbers and i is the imaginary unit equal to the square root of -1, sqrt(-1).  Wolfram MathWorld

 

Conclusion: on ne se privera pas d'employer cette notation , notamment lors de l'abord des nombres complexes. Après tout, c'est comme cela que les nombres complexes ont été introduits pour la résolution des équations du troisième degré. Je laisse le soin aux élèves des classes supérieures de mathématiques d'aborder les cas où cet usage pourrait être gênant. (Voir la référence en pied de cette case)

  

Quel est le problème? Le travers d'une telle notation est le non-respect de la définition du symbole "racine carrée de a" qui désigne le seul nombre POSITIF dont le carré est a. Or i n’a pas de signe « naturel ». i et –i ont tous les deux -1 comme carré. Votre définition concerne donc deux nombres que l’on ne peut pas distinguer ou bien donne l’impression que i est positif.

Que les anglo-saxons emploient la notation "racine de -1" me surprend beaucoup. Le nombre i est largement utilisé en traitement du signal via les transformées ou séries de Fourier (voir par exemple http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html  ou http://www.thefouriertransform.com/transform/fourier.php et sûrement bien d’autres). Cette fameuse "racine" était la notation historique utilisée par Cardan et on la trouve encore au début du XIXième siècle chez certains auteurs, même si Euler avait déjà proposé la notation i au siècle précédent. 

Merci à Vincent P. Professeur de mathématique en PSI

 

Ma note fut écrite avant la lecture de la page "est-ce que i =", de Mickaël Launay.

Je rejoins assez bien le point de vue de cet auteur

 

 

REPRÉSENTATION

 

Le plan complexe (de Gauss)

 

*    Un nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan.

*      La partie réelle a donne l'abscisse; et

*      La partie imaginaire b, l'ordonnée. 

 

*    La longueur de OM est appelée: module   ;

L'angle          est l'argument

 

*    On apprécie le côté pratique des nombres complexes du fait de leurs multiples représentations:

*      géométrie,

*      trigonométrie, et

*      exponentielle.

 

 

Voir Nombres de Gauss: entiers sur le plan complexe / Abscisse angulaire

 

 

Résumé

 Voir Forme des complexes: cartésienne, polaire et exponentielle

 

 

Définition des nombres complexes

 

Actuelle (due à Hamilton)

 

*    Le corps des nombres complexes  est l'ensemble des couples a + i b = (a, b) de nombres réels muni de deux opérations, l'addition membre à membre et la multiplication définie par (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc)


 
Matricielle (adoptée par la commission Lichnérowicz)

 

*    Un nombre complexe est défini par une matrice carrée d'ordre deux:

 

Polynômiale (attribuée à Cauchy: 1789-1857)

 

*    Les nombres complexes a + i b sont constitués de l'ensemble des polynômes réels  de la forme: P(x) = a  + bx + (x² + 1) Q(x) où Q est un polynôme arbitraire.

 

 

 

 

Bilan et observation

 

Trouvaille du "nombre" i qui permet la création du nouveau monde des nombres complexes aux applications multiples.

Vous allez découvrir comme effectuer les quatre opérations classiques, effectuer des calculs en utilisant de identités remarquables, etc.

 

Remarquez que: i = -1,  alors i² = -1  mais aussi (-i)² = -1,
car (-i)² = (-1 x i)(-1 x i) = +1 x i² = -1. >>>

 

Vous n'imaginez pas la puissance de l'imaginaire

 

Voir Portail des nombres complexes

 

 

 

English corner

 

*    Complex Numbers: a combination of a real and an imaginary number in the form a + bi, where a and b are real, and i is imaginary.

 

*    The values a and b can be zero, so the set of real numbers and the set of imaginary numbers are subsets of the set of complex numbers.

 

 

 

 

Suite

*         Opérations sur les complexes

*         Nombre complexe conjugué

*         Théorème de Moivre et applications aux puissances

*         Exemple de calcul avec les complexes et les radicaux

*         Quaternions

*         Carré magique avec des complexes

*         ComplexesIndex

Terminale

*         ComplexesRésumé du cours de terminale

Voir

*         Constantes

*         Construction de l'heptagone

*         Inventaire des types de nombres

*         Nombre de Gauss

*         NombresGlossaire et index

*         Nombres d'Eisenstein

*         Nombres périodiques

*         Nombres réels

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagComp.htm

 

 

 

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