NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

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de Nombres

TYPES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Entiers

Rationnels

Algébriques

Décimaux

Relatifs

Irrationnels

Transcendants

Réels

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Historique

>>> Propriétés

>>> Quelques nombres transcendants

>>> Exemples particuliers

 

 

 

 

 

Les nombres algébriques sont comme les étoiles sur le fond du ciel, et l'obscurité épaisse est le firmament des nombres complexes.

M. Boll – Cité par A. Moatti

Voir Pensées & humour

 

 

 

NOMBRES TRANSCENDANTS

 

Certains nombres irrationnels ne peuvent pas s'exprimer par une relation simple (équation à coefficients entiers, par exemple).

Ce sont les nombres transcendants (comme  ).

C'est Joseph Liouville qui prouva leur existence.

 

Les nombres transcendants sont des nombres irrationnels qui ne sont pas algébriques

Autrement dit: ni exprimables par une fraction (ratio) ni par une équation

Les décimales sont en nombre infini et elles sont totalement imprévisibles.

 

Quelques transcendants

 

Nombres construits

0, 1101001000100001….

0, 12345678910111213…

0, 248163264128256…

 

Constantes classiques

 est le plus connu de tous  >>>

e   est un autre exemple      >>>

Anglais: transcendental numbers

 

 

 

 

APPROCHE

 

Nombre transcendant de Liouville

 

0,11 000 1 00000 000000000000 1 000000000....

= 10-1! + 10-2! + 10-3! + 10-4! +...

 

 

Les "1" se trouvent en position 1, 2, 6, 24, 120 … = k!

Soit, une multiplication de chacune par 2, 3, 4, 5 …

Suite >>>

 

 

 

  

HISTORIQUE

 

 

*         C'est seulement au XVIIe siècle que l'on commence à faire la distinction entre les nombres algébriques, racine de polynômes à coefficients entiers, et les autres réels qui sont qualifiés de transcendants. Leur existence n'a été prouvée qu'au XIXe siècle.

 

*         Liouville démontra en 1844 l'existence de nombres transcendants et en construisit plusieurs, dont celui-ci, le plus simple.

C'est le premier exemple historique de nombre transcendant.

 

*         Cantor en 1873, déduit l'existence des nombres transcendants de son théorème prouvant que l'ensemble de tous les nombres réels est non dénombrable.

 

Ce qui veut dire qu'un nombre pris au hasard

(en se donnant, par exemple, son développement décimal illimité) n'a aucune chance d'être algébrique.

 

 

*    Après Charles Hermite (1873) et Ferdinand von Lindemann (1882), démontrant que e et  sont transcendants. Il faut attendre 1929 pour de nouveaux résultats dans le domaine de la transcendance.

Hermite démontre la transcendance de e. Il pense que pour , il faudra déployer de gros efforts.

 

*    Lindemann réussit  l'exploit, 9 ans plus tard. Il utilise la même méthode qu'Hermine, en s'appuyant sur la formule d'Euler.

 

 

 

 

Propriétés

 

*    Les transcendants s'écrivent sous la forme de décimales infinies et non répétitives.

*    Tous les nombres transcendants sont irrationnels.
 

*    La plupart des irrationnels sont transcendants.

*    Alors que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, celui des nombres transcendants (expressions équivalentes):

*    est largement "plus grand",

*    est indénombrable,

*    a la puissance du continu,

*    a un cardinal   transfini.

 

 

*    Théorème de Hermite-Lindemann

 

Pour tout nombre algébrique a, ea est transcendant.

Voir Constante de Ramanujan avec 163

 

 

*    Théorème de Gelfond - Schneider

 

Si a est un nombre algébrique distinct de 0 et de 1,

et si b est algébrique irrationnel (Cad : n'est pas rationnel),

alors ab est transcendant.

Voir Principe des tiroirs

 

Exemple

  est donc transcendant

Voir ce nombre / R2R2

 

*    Excellent moyen pour créer des nombres transcendantaux.

Résout le septième problème de Hilbert.

 

 

 

*    Généralisation: Théorème de Baker

ea . nb . mc …. est transcendant

a, b, c … n, m … nombres algébriques non nuls.

 

ln (a) est transcendant

a, algébrique positif supérieur à 1.

 

 

*    Les fonctions trigonométriques comme sinus ou cosinus sont des fonctions transcendantales

 

 

 

 

Quelques nombres TRANSCENDANTS

,     e

 ,  ln 2 

*    Sont des nombres TRANSCENDANTS

 

ln 2 = 0, 693 147 …

*    Constante de Mercator ou de Grégory.

ln 2 =  log 2 en base e

= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

La série harmonique alternée.

Voir Valeur de ln 2 / Diconombre

e = 2, 718 281 …

*    Transcendance démontrée en 1872 par C. Hermite.

Méthode reposant sur des approximations de la fonction ez par des fonctions rationnelles.

Premier nombre, non construit pour la circonstance, à être reconnu comme transcendant.

Voir Constante e / Diconombre

 = 3, 141 592 …

*    Transcendance démontrée en 1882 par Lindemann par généralisation de la méthode de Hermite.

Prouve définitivement l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Voir Constante Pi / Diconombre

e .

    = 8, 539 734 22 ...

e +  

   = 5, 859 874 482 ...

*    L'un des deux est transcendant, peut-être les deux.

Voir Nombres e et Pi /

Diconombre 5,8 /  Diconombre 8,5

 = 23,140 …

 = 22,459 …

*    Le premier est transcendant.

On ignore si le deuxième l'est; on ne sait pas non plus s'il est irrationnel.

Voir Nombres e et Pi /

Diconombre 22,4 / Diconombre 23,1

 = 23, 140 …

*    Sa transcendance ne fut démontrée qu'en 1930, suite à la question de Hilbert posée en 1900.

Ce nombre n'est pas solution d'une équation à coefficients entiers.

Il s'écrit avec une suite infinie de décimales non répétitives.

Voir Diconombre

= 0,207 879 576...

*    Si a est algébrique et si b est algébrique irrationnel, alors ab est transcendant. Or i est algébrique et irrationnel, le théorème s'applique: ii est transcendant.

Voir Puissance de l'imaginaire / Diconombre

 

 = 2, 665

*    Nombre de Hilbert transcendant.

Démonstration en 1930.

Aussi un des problèmes de Hilbert

Théorème de Gelfond - Schneider: a algébrique et b irrationnel => ab transcendant

De nombreuses fonctions trigonométriques ou hyperboliques de nombres algébriques non - nuls sont transcendantes.

Voir Diconombre

 

0,11000100...

*    Nombre de Liouville (1844): transcendant.

= 10-1! + 10-2! +10-3! +...

= 0,110001000000000000000001000 ...

Les 1 se trouvent en : 1, 2, 6, 24, etc.

Voir Liouville

0,01101001 ...

*    Nombre de Morse-Thue: transcendant.

Voir Morse-Thue

0,123456789

*    Nombre de Champernowne ou de Mahler

Suite concaténée des nombres (1933): transcendant.

= 0,1234567891011121314151617181920 ...

Ce nombre est normal, mais pas de Liouville.

 

 = 0,577...

   = 1,781

 = 0,561

*    Constante d'Euler (gamma).

Sans doute transcendant, mais non prouvé.

On ne sait même pas si elle est irrationnelle.

= lim n®  ¥ (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n))

= 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431...

Si, un jour, on trouvera une fraction rationnelle (gamma = a/b) , alors b est supérieur à 1010000.

Voir constante d’Euler / Diconombre

G = 0, 915...

*    Constante de Catalan.

Sans doute transcendant, mais non prouvé.

G = S (-1)k / (2k + 1 )²

    = 1/1² - 1/3² + 1/5² - 1/7² + ...

    = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ...

Voir Constante de Catalan  / Diconombre

 

(n)

*    Fonction zêta.

Certaines valeurs de la fonction zêta sont transcendantes, comme  (3).

Avec les fonctions transcendantes, il peut exister des points rationnels ayant des valeurs transcendantes.

 

= 1,202 056 9 …

*    zêta (3) Constante d’Apéry. Limite de la fonction de Riemann d'ordre 3

Irrationnel sûr, mais transcendant?

Connu en 1998 avec 32 000 279 décimales. Sebastian Wedeniwski. 35 heures de calcul.

Voir ce nombre

 

= 1,082 323 237 ...

*    zêta (4) Transcendant.

 

 

On sait depuis Euler que toutes les suites en 2k s'expriment en  2k, valeurs transcendantes.

Voir Diconombre

 (n)

 (1/3) = 2,678 938 534 7...

*    Factorielle généralisée.

(1/3) transcendant et indépendant de .

(1/4) transcendant.

(1/5) on ne sait pas.

(n) = factorielle généralisée.

 

Indépendance algébrique: il n'existe pas de polynôme à coefficients non nuls liant ces deux nombres et prenant la valeur nulle.

Les nombres ,  ,  et (1/4) sont indépendants (démonstration 1995).

Voir Diconombre

 

2,502 ...

 

4,669 ...

*    Nombres de Feigenbaum (1975).

Sans doute transcendant, mais non prouvé.

Valeur d'étirement des figures fractales.

Facteur d'échelle de transformation des figures fractales.

Dédoublement de période dans les systèmes chaotiques.

Ces deux valeurs sont universelles, comme .

Voir Diconombre / Diconombre

C = ? ? ?

*    Constante de Chaitin.

Probabilité pour qu'un algorithme aléatoire s'arrête.

Noam Elkies d'Harvard note que ce nombre transcendantal est, en prime, non calculable.

 

*    En 1975, Martin Garner a fait croire que ce nombre est un entier. Non seulement il ne l'est pas, mais il est transcendant.

 Voir Autres nombres du même style

Voir Liste d'irrationnels

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Livre

*    Les indispensables mathématiques et physiques pour tous – Alexandre Moatti – Odile Jacob – 2006.

Pour tous ceux qui veulent compléter leurs connaissances sur ce sujet et bien d'autres. Très abordable.

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