NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Opérations

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Opérations

Addition

Multiplication

Soustraction

Division

 

Sommaire de cette page

>>> Multiplication

>>> Exemple

>>> Interprétation géométrique

>>> Carré de 1 + i

>>> Anglais

 

 

 

 

Nombres complexes MULTIPLICATIONS

 

 

MULTIPLICATION

Par i

La multiplication par i correspond à une rotation antihoraire de 90°.

Formule

(a + i.b)  .   i

= i . a + . b = – b + i . a

Illustration

Générale

 (a + i.b) x (a' + i.b') 

= (aa' – bb') + i (ab' + ba')

Cas particulier

(a + i.b) x (a – i.b)

= a² + b²

Propriété

La multiplication dans le monde des complexes conserve la multiplication classique des modules (de la longueur des segments représentants les nombres complexes).

Voir Table de multiplication de 1, i et -1

 

Exemples

 

(4 + 2i) (4 – 2i)

(4 + 2i)2

 

(4 – 2i)2

 

(1 + i) (2 + i) (3 + i)

 

 

 

(1 – i) (2 – i) (3 – i)

(1 + i) (2 + i) (3 + i) (4 + i)

(1 i) (2 i) (3 i) (4 i)

 

 

= 4² + 2² = 20

= 42 + 2 x 4 x 2 i + 22 i2

= 16 + 16i – 4 = 12 + 16i

= 42 – 2 x 4 x 2 i + 22 i2

= 16 – 16i – 4 = 12 – 16i

= (1+ i) (6 + 2i + 3i + i2)
= (1+ i) (5 + 5i )
= 5 + 5i + 5i + 5i2

=    10i

= – 10i

= – 10 + 40i

= – 10 – 40i

 

Pour s'entraîner

 

 

Interprétation géométrique

 

Cartésien

 

Exemple:     

z = 1,4 + 0.4 i;         z' = 0,8 + 0,8 i

 

z.z' = a.a' – b.b'    + i (a.b' + b.a')

       = 1,4 x 0,8 – 0,4 x 0,8 + i (1,4 x 0,8 + 0,4 x 0,8)

       = 0,8 + 1,44 i

 

 

Illustration

u et v sont les vecteurs unitaires portés par les deux axes

 

Polaire

 


Voir Identités trigonométriques

 

Multiplier deux nombres complexes, c'est multiplier leur modules (longueurs) et ajouter les arguments (angles).

 

 

avec      

 

Exemple – Calcul du module

 = 1,4² + 0,4² = 1,96 + 0,16 = 2,12 =>  = 1,4560…

 = 0,8² + 0,8² = 0,64 + 0,64 = 1,2 =>  = 1,1313…

R = 1,4560 x 1,1313 = 1,6473…
Vérification avec les coordonnées cartésiennes:

R² = 0,8² + 1,44² = 0,64 + 2,07 = 2,71 => R = 1,6473…

 

Exemple – Calcul de l'argument

   = arctg (0,4  /  1,4)    = 0,278   => 15,94°

  = arctg (0,8  /  0,8)    = 0,785   => 45°

R   = arctg (0,8  /  1,44) = 1,0637 => 60,94°

 

 

 

Cas du complexe 1 + i ou 1 - i

 

*    Le carré de ces deux nombres complexes est typiquement imaginaire. 

(1 + i)² = 1² + 2i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i

(1 – i)² = 1² – 2i + i² = 1 – 2i – 1 = –2i

 

*    Graphiquement: le point est en 1 + i et le module vaut :  et l'argument vaut 45°.

*    Le carré est donc le point ayant pour module  et l'argument vaut 45 + 45 = 90°.

 

*    Soit la formule:

 


 

Voir Calculs avec 1 + i

 

 

English Corner

 

The modulus of the product of two complex numbers is product of their moduli, and the argument of the product of any two complex numbers is the sum of their arguments
 

 

 

 

 

Suite

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*         Multiplication ordinaire

*         Nombres complexesIndex

Voir

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*         Nombres réels

*         OpérationsIndex

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