NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Calculs

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Conjugués

Factorisation

Somme de carrés

Conjugués entiers

Calculs avec i

Puissances

 

Sommaire de cette page

>>> Valeur avec i

>>> Formules

>>> Formules en trigonométrie

>>> (1 + i)    &   (1 – i)

>>> a + i b = 0

 

 

 

 

Nombres complexes

 

CALCULS autour de i, de 1 + i et  1 – i

 

 

C'est Euler qui, en 1777, a introduit la notation i pour racine de – 1.  Avant lui on notait  (Cardan) puis . Gauss et Cauchy adopteront la notation d'Euler.

Voir Historique

 

 

Valeurs avec i

Merci Antoine pour sa relecture attentive

attention.png    Prendre racine de –1 comme un tout. Mieux! Toujours utiliser le symbole i. Cela évitera de faire l'erreur suivante, en appliquant trop sagement la règle moins par moins égal plus:

 

 

 

 

 

Suite en Zéro, infini et imaginaires / Identités remarquables avec i

 

 

Formules

z =

a + i b   = r ei q

z' =

a' + i b' = r' ei q'

z + z' =

a + a' + i (b + b')

z z' =

(aa' – bb') +  i (ab' + a'b)   = r r' ei (q + q')

1 / z =

a / (a² + b²) – i b / (a² + b²) = (1/r ) . ei q

 

(a + ib) + (c + id)

=

(a + c)

+ i (b + d)

(a + ib) (c + id)

=

(ac – bd)

+ i (ad +bc)

1/(a + ib)

=

a/(a 2 + b 2)

i b/(a 2 + b 2)

(a + bi) / (c + di)

=

(ac + bd)/(c 2 + d 2)

+ i (bc – ad)/(c 2 +d 2)

=

cos  

+ i sin

n (a + ib)

=

(cos(b   ln n)

+ i sin(b   ln n)) n a

sin(a + ib)

=

sin(a) cosh(b)

+ i cos(a) sinh(b)

cos(a + ib)

=

cos(a) cosh(b)

– i sin(a) sinh(b)

Voir Identités remarquables classiques

 

 

Valeurs avec i et trigonométrie

 

 

 

(1 + i)   &    (1 – i)

 

Carrés


Voir Calcul du carré de 1 + i

 

 

Sommes des carrés

 

 

La somme des puissances de (1 + i) et de (1 – i) est toujours un nombre entier et, même, une puissance de 2.

 

 

 

Table des sommes des carrés

 

 

 

Formalisation

 

 

 

Les quatre opérations – Puissance sur chaque terme

 

 

Les quatre opérations – Puissance sur résultat

 

 

Voir Puissances de 2 / Puissances complexes entières

 

 

a + i b = 0

Si

a + i.b

= 0

Alors

a

= – i .b

Au carré

= (1)² x i² x b²

=  1 x (1) x b²

= – b²

Tout du même côté

a² + b²

= 0

Ce qui impose

 

a = b = 0

Voir Exemple d'application géométrique avec la médiatrice

 

 

 

Suite

*         Calculs de puissances

*         Puissance de l'imaginaire

*         Identités remarquables avec les complexes

*         ComplexesIndex

Voir

*         Constantes

*         Construction de l'heptagone

*         Formule de De Moivre

*         Inventaire des types de nombres

*         Nombre de Gauss

*         NombresGlossaire et index

*         Nombres d'Eisenstein

*         Nombres périodiques

*         Nombres réels

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