NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INITIATION au CALCUL

 

Débutants

Nombres

SOUSTRACTION

 

Glossaire Nombres

 

 

INDEX

 

Calculs

 

Soustraction simple

Initiation

Nombres négatifs

Ascenseur    

Additions et soustractions des nombres négatifs

Traits verts et traits rouges

Exemples

Poids et ballons

Calcul des différences de niveau k entre nombres puissance p

Différences kièmes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Problème du train

>>> Exemples

>>> Soustractions avec parenthèses

 

 

 Les quatre opérations – Débutant

Addition

Soustraction

Multiplication

Division

Voir / Évaluation de CM1

 

 

 

 

 

Le médecin à son patient: bonjour, j'ai deux mauvaises nouvelles pour vous. D'abord, selon les analyses vous n'avez plus que quarante-huit heures à vivre. Et ensuite, ça fait deux jours que j'essayais de vous joindre …

Cette annonce est sûrement négative (même fatale) pour le patient. Mais elle témoigne surtout d'une soustraction : 2 – 2 = 0.

Tout le monde sait qu'en cas d'insomnie, il suffit d'additionner mouton après mouton pour s'endormir. Mais combien de personnes savent que, pour rester éveillé, il suffit de soustraire les moutons.

Everyone knows that if insomnia, simply add sheep after sheep to fall asleep. But how many people know that to stay awake, simply subtract the sheep?

Les Marx Brothers

Voir Pensées & humour

 

Devinette – École primaire

Quelle est la logique de construction de ce tableau?

 

Avec cette logique, si 7 + 4 donne 311

Trouvez les valeurs de a et b telles que: a + b donne 123

Solution

 

 

 

SOUSTRACTION – INITIATION

Principe de calcul de la soustraction:

Soustraction = addition à trous ou addition à l'envers …

Soustraction =  addition de nombres négatifs.

 

Note: Une fois la soustraction normale assimilée, ce qui paraît insurmontable aux débutants, c'est la soustraction avec des nombres négatifs.

 

 

Voir Les quatre opérationsJunior

 

 

CINQ moins DEUX font TROIS

On peut aussi dire que: entre maintenant et tout à l'heure, il n'y a pas le même nombre d'enfants. La différence est 2.

 

 

APPROCHE avec les additions à trous

 

Voici cinq opérations à trous:

*      La soustraction consiste à trouver l'un des deux nombres manquants dans une addition de deux termes

 

La soustraction une addition à l'envers

*      Calculer une soustraction revient à se demander combien il faudrait pour que l'addition soit juste.

 

Cette manière de voir est utile pour comprendre la soustraction des nombres négatifs:

 

Notez    Le résultat de l'addition est la SOMME.

   Le résultat de la soustraction est la DIFFÉRENCE.

 

Voir  Cours de 5e / Puzzle arithmétique ou Cryptogramme

 

 

Problème qui trouble Internet et qui est à la portée d'un enfant de 7 ans

Problème

À cet arrêt, parmi les passagers du train, 19 en descendent et 17 montent. Ils sont maintenant 63 à bord. Quel est le nombre de passager dans le train avant l'arrêt.

Solution

Si 19 quittent et 17 arrivent c'est qu'il y a 2 passagers en moins dans le train.

On avait P passagers  avec 2 en moins, il y en a 63; ils étaient donc 65.

Illustration

 

Voir Autres problèmes troublant Internet

 

 

EXEMPLES

 

EXEMPLE TRÈS SIMPLE POUR COMMENCER

 

9

8

7

6

5

 

1

2

3

4

9

7

5

3

1

 

*      Notez que     97 531 + 1 234 = 98 765

*      La somme des deux nombres du bas donne le nombre du haut.
Comme si on effectuait l'addition classique pour chaque colonne de chiffre:        4 + 1 = 5;   3 + 3 = 6;   5 + 2 = 7 …

 

EXEMPLE SIMPLE AVEC RETENUE

 

1

4

On comprend que la réponse est 9.

5

Car 9 + 5 = 14

 

9

Notez qu'il a fallu aller chercher le 1
de la colonne de gauche, celle des dizaines.

 

EXEMPLE AVEC RETENUE

 

3

1  4

Reprenons le même procédé que ci-dessus.

  1

5

On emprunte une unité à gauche (aux dizaines)
pour rendre l'opération possible.

 

9

On note ce fait avec un petit 1 (en vert).

 

     Maintenant traitons la colonne suivante, celle des dizaines.

 

3 - 1

4

Il faut retirer 1 aux dizaines 3 – 1 = 2

1

5

On retranche 1

1

9

Le résultat est 2 – 1 = 1

    On vérifie bien que 19 + 15 = 34.

 

 

 

RETENUES EN CASCADE

 

8

1

3

4

  7

2

9

5

 

 

 

 

 

Traitement de la  colonne de droite, les unités.

 

8

1

3

1 4

5 ôté de 4 ne marche pas, il faut prendre 14.

  7

2

9

5

On marque la retenue en vert.

 

 

 

9

On note le résultat 14 – 5 = 9

 

Traitement de la  colonne suivante, les dizaines.

 

8

1

1 3-1

4

On propage la retenue vers la gauche 3 – 1 = 2

– 7

2

9

5

9 ôté de 2 ne marche pas, il faut prendre 12. Je pose la retenue.

 

 

3

9

Le résultat donne 12 – 9 = 3

 

Traitement de la  colonne des centaines.

 

8

1 1- 1

3

4

On propage la retenue vers la gauche 1 – 1 = 0

– 7

2

9

5

2 ôté de 0 ne marche pas, il faut prendre 10 et je pose la retenue.

 

8

3

9

Le résultat donne 10 – 2 = 8

 

Traitement de la  dernière colonne, celle des milliers.

 

8- 1

1

3

4

On propage la retenue vers la gauche 8 – 1 = 7

– 7

2

9

5

7 ôté de 7 donne 0

 

8

3

9

En général, on omet de noter un 0
à gauche d'un nombre.

 

On vérifie bien que 839 + 7 295 = 8 134

 

 

 

 

SOUSTRACTIONS avec PARENTHÈSES

Les parenthèses sont parfois sans importance. C'est le cas avec les nombres positifs et les additions.

(1 + 2) – 3

= (3) – 3

= 3 – 3

= 0

Attention on ne peut pas interchanger (commuter) les termes de la soustraction.

8 – 5 =    3

5 – 8 = – 3

Mais souvent les parenthèses sont nécessaires et très importantes.

Surtout lorsqu'elles délimitent des paquets de nombres. Elles indiquent que ces paquets forment un tout dont les opérations doivent être effectuées avant toutes les autres. 

5 + (8 – 6)

= 5 + (2)

= 7

Retenir qu'il faut traiter les opérations à l'intérieur des parenthèses en premier.

(10–2) – (5–3)

= (8) – (2)

= 6

Dans le cas de parenthèses encastrées, les plus profondes sont à traiter en priorité.

{(10 – 2 ) – (5 – 3)}{(6 – 1) – (9 – 7)}

= {8 - 2}{5 – 2}

= 6 – 3

= 3

Suite Parenthèses avec des nombres / avec des nombres et des lettres

 

 

 

Tour de magie avec soustraction

 

*    Une réunion d'une dizaine de personnes.

*    Sur un papier, chacun inscrit un nombre plus grand que le précédent.

*    Le premier donne son chiffre à haute voix, ainsi que le dernier.

*    Le dernier (ou un autre) marque la différence entre les nombres successifs et calcule le total, sans communiquer ces résultats

*    Vous vous engager à donner ce dernier résultat.

*    Le truc: je fais simplement la soustraction des deux nombres extrêmes qui m'ont été communiqués.


 

Avant que l'on me communique le résultat de la  colonne de droite (45), je parie que je peux le deviner. Je fais la soustraction 55 – 10 = 45

 

Ce tour de magie est bien simple (niveau primaire):

La somme des écarts est égale à l'écart total.

Tour mentionné dans Le Magicien amateur – Magus – 1897 – Réédité en 2011

 

 

Faire tapisserie et oublier la soustraction

Luc décide de retapisser son appartement comme d'ailleurs son voisin l'avait fait avec  le même appartement. À sa demande, le voisin le renseigne: - Moi j'ai pris vingt-huit rouleaux.

Luc achète vingt-huit rouleaux de tapisserie et pose le papier. Constatant qu'il a six rouleaux en trop, il retourne voir son voisin qui ne semble pas plus étonné que cela. - Bizarre! Dit-il, moi aussi, c'est la même chose.

Voir Pensées & humour

 

 

Devinette – Solution

1) Quelle est la logique de construction de ce tableau?

Le nombre N est formé par la concaténation de la différence et de la somme des deux nombres des colonnes de gauche A et B.

 

2) La logique étant celle-ci, alors a + b donne 123  veut dire que:

(a + b) = 23 et (a – b) = 1

En additionnant (a + b) + (a – b) = 2a = 24

a = 12 et b = 11

Retour / Autres énigmes de ce type / Les folles énigmes du Net / Équations

 

 

 

Suite

*    Les nombres négatifs

*    Les nombres relatifs

*    Tracas de calculs

 

Voir

*    Soustraction à partir de 10n

*    Calcul mental

*    Carrés Magiques

*    Débutants

*    Euros et divisions par 3

*    Fractions

*    Jeux

*    Partition des nombres de 1 à 10

*    Pascaline

*    Preuve par neuf

*    Somme des chiffres

*    Théorie des nombres

 

Site

*    50 démonstrations mathématiques vidéo au secondaire

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