Théorie des ensembles, sous-ensembles

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Théorie des ensembles

SOUS-ENSEMBLES

En séparant un ensemble en plusieurs parties, on forme des morceaux d'ensemble, des sous-ensembles.

Tous les éléments d'un sous ensemble S de l'ensemble E appartiennent à l'ensemble E.

SOUS-ENSEMBLE

Les éléments d'un sous-ensemble appartiennent à l'ensemble.

On dit que le sous-ensemble S est inclus dans l'ensemble E. Cette inclusion est notée

Notez dans les exemples ci-contre, l'inclusion en cascade de C, S et E:

C est un sous-ensemble de S qui lui-même est un sous-ensemble de E.

C est un sous-ensemble de S et de E. On peut le noter de cette manière:

Exemples

E = {1, 2, 3, 4, 5}

S = {1, 3, 5}

T = {1, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 1, 4, 5}

B = { 2, 4 }

C = {1, }

S est un sous-ensemble de E.

T n'est pas un sous-ensemble de S.

A est égal à E, a fortiori, il est inclus dans E.

S et B sont complémentaires, car réunis ils donnent E.

Notations

Propriétés

Propriétés évidentes

Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même.

L'ensemble vide est toujours un sous-ensemble d'un ensemble.

Propriétés avancées

Si E est sous-ensemble de F et F un sous-ensemble de G, alors E est un sous ensemble de G.

Si E est inclus dans F et F inclus dans E, alors les deux ensembles sont égaux. La réciproque est vraie: si deux ensembles sont égaux, l'un inclus l'autre.

Formulation

Si et

Alors

Si et

Alors

Diagramme de Venn

Le diagramme de Venn est la représentation classique des ensembles par des ronds ou formes patatoïdes.

L'ensemble plein est représenté par un rectangle qui encadre le tout.

Lorsqu'on considère deux ensembles globalement, on les réunit.

Si H est l'ensemble des hommes et F celui des femmes, leur union donne l'ensemble M des hommes et des femmes. Le symbole de la réunion de deux ensembles est un U comme union.

M = H F

Si L est l'ensemble des élèves qui étudient le latin et G celui de ceux qui étudient le grec, leur intersection donne l'ensemble C des élèves qui étudient à la fois le latin et le grec. Le symbole de l'intersection de deux ensembles est un U renversé.

C = L G

Exemple

U = 1 = ensemble des habitants du monde;

A = 2 4 = tous les Lyonnais, où qu'ils habitent;

B = 3 4 = les habitants de Lyon, quelle que soit leur origine;

2 = Les Lyonnais qui n'habitent pas Lyon;

3 = les habitants de Lyon qui ne sont pas de souche lyonnaise;

4 = A B = les Lyonnais habitants à Lyon;

1 2 = les habitants du monde qui n'habitent pas Lyon;

1 3 = les habitants du monde qui ne sont pas Lyonnais;

2 3 4 = tous les Lyonnais et tous ceux qui habitent Lyon.

Voir Exemples en parties d'un ensemble

Raisonnement

Avec les connaissances que nous avons déjà acquises, nous pouvons nous livrer à un petit jeu de déductions.

Voici un jeu d'affirmations sur un exemple simple.

Le diagramme de Venn est montré ci-contre.

Affirmations

1 – Cette année, parmi les vacanciers certains ont choisi montagne et d'autres la mer.

2 – Seuls ceux qui sont partis à la mer font du naturisme.

3 – Seuls ceux qui sont à la montagne observent les étoiles.

Conclusion – Les naturistes ne regardent pas les étoiles et ceux qui sont passionnés par les étoiles ne sont pas naturistes.

Définition

Deux ensembles qui n'ont aucun éléments en commun sont appelés ensembles disjoints.

Diagramme

Explications

L'ensemble des vacanciers de cette année constitue l'ensemble plein (U).

Ceux qui vont à la mer ne sont pas ceux qui vont à la montagne. Ils constituent deux ensembles bien séparés: ils sont disjoints. Ces deux ensembles ne remplissent pas l'ensemble plein. Il y, par exemple, ceux qui restent chez eux.

Parmi ceux qui sont à la mer, il y a les adeptes du naturiste et les autres. L'ensemble naturistes (2) est inclus dans l'ensemble mer.

De même, l'ensemble observateurs des étoiles (4) est inclus dans l'ensemble montagne (3).

Les ensembles (2) et (4) sont manifestement disjoints. D'où la conclusion: les naturistes ne regardent pas les étoile et ceux qui regardent les étoiles ne sont pas naturistes.

Un autre exemple

Affirmations

1 – Mes livres sont les seules choses reliées en cuir que je possède.

2 – Les cadeaux de ma sœur sont toujours surprenants.

3 – Aucun de mes livres n'a été une surprise.

C – Les cadeaux de ma sœur ne sont pas des objets reliés en cuir.

Diagramme

Explications

(On omet le mot "ensemble" pour alléger le texte).

Parmi mes livres (1), certains sont reliés en cuir (2), mais pas tous. Par contre, tout ce qui est relié en cuir est un livre. Donc: 2 1.

Parmi les surprises (3) qui me sont faites, il y les cadeaux de ma sœur (4). Et tous ses cadeaux sont des surprises. Donc: 4 3.

Les livres et les surprises n'ont aucun point commun. Donc: 1 est 3 sont disjoints.

Donc, les cadeaux de ma sœur ne sont jamais des objets reliés en cuir. En effet: 2 et 4 sont disjoints.

Notions supplémentaires

Complémentaire

On définit l'ensemble complémentaire de E par rapport à l'ensemble plein U, l'ensemble contenant tous les éléments de U sauf ceux qui appartiennent à E.
Plusieurs notations possibles.

Différence

On définit l'ensemble différence de E par rapport à F comme l'ensemble qui contient les éléments de E qui ne sont pas dans F (partie rose sur le diagramme.
On lit E moins F, noté avec un antislash ou le signe différence.

Différence double (ou symétrique)

On définit l'ensemble double différence de E et F comme étant l'ensemble contenant les éléments de E, les éléments de F, à l'exclusion des éléments communs à E et F.
Similitude avec la fonction OU Exclusif dont on reprend le symbole ici.

On peut définir cette double différence par les relations:

E sauf commun à F réunit à F sauf commun à E,

Union de E et F sauf ce qui leur est commun.

Complémentaire

Complémentaire =

Différence

Différence = E\F = E – F

Différence double

Différence double = E F

= (E \ F) (F \ E)

= (E F) \ (E F)

Les ensembles dans U

Description de chacune des zones créées en utilisant uniquement les intersections d'ensembles.

Avec deux ensembles

Quatre sous-ensembles dans U.

Avec trois ensembles

Huit sous-ensembles dans U.

Remarquez l'analogie avec la numération binaire.

Voir OU Exclusif / Quatre ensembles

ENGLISH CORNER

If every element in a set S is also an element of set E, then S is called a subset of E. This relationship is written: S F.

The union of two sets E and F, denoted E F, is the set of all elements which belong to E or to F.

The intersection of two sets E and F, denoted E F, is the set of elements which belong to both E or to F.

A Venn diagram is a pictorial representation of sets.

Nous retenons

Un sous-ensemble de E est un ensemble dont tous les éléments appartiennent aussi à E.

Deux ensembles sans élément commun sont DISJOINTS.

Dans le cas contraire, leur globalité est appelé UNION et leurs éléments communs forment l'INTERSECTION des deux ensembles.

Nous avons aussi défini les ensembles complémentaires, différence ou encore double différence.

Le diagramme de Venn est une représentation topologique, une figure, qui facilite le suivi d'un raisonnement logique.

Suite	Produits cartésiens des ensembles Ensemble – Glossaire et Index Logique – Index
Voir	Logigrammes (Jeux de déduction) Groupe Théorie des nombres – Index
Sites	Théorie des ensembles et fondement des mathématiques – Sylvain Poirier Logique et théorie des ensembles – Ralph Chill
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Ensemble/TheEns02.htm