NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 25/09/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

LOGIQUE

 

Débutants

Logique

OUTILS

 

Glossaire

Logique

 

 

INDEX

 

Logique

Diagramme de Venn

Diagramme de Karnaugh

Intégrammes

Théorie des ensembles

Les 4 femmes

 

Sommaire de cette page

>>> Qui est l'espion ?

>>> Introduction aux intégrammes

>>> Les motos

>>> Les coureurs –Trois types de solutions

 

 

 

 

 

INTÉGRAMMES

ou

LOGIGRAMMES

 

Représentation en tableaux, permettant de conduire des déductions à partir d'un énoncé de faits partiels.

 

Anglais: Logic Puzzle Solver

  

 

QUI EST L'ESPION ?


 
Énoncé

*    On recherche un espion parmi trois personnes habitant trois maisons contiguës, de nationalités différentes et ayant chacun une activité différente.

*    On sait que:

*      L'Anglais habite au milieu;

*      Le Chinois est musicien;

*      On ne sait rien sur le Français; et

*      L'espion habite la première maison.

*    Quelle est la nationalité de l'espion?

 

 

Raisonnement

*    Je mets en place un tableau et remplis les cases qui me semble évidente d'après l'énoncé.

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Anglais

Espion

 

*    Le Chinois est musicien: il n'est ni Anglais ni musicien.

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Anglais

Chinois

Espion

Musicien

 

*    Le Français habite la maison vide

 

Maison 1

Maison 2

Maison 3

Français

Anglais

Chinois

Espion

Musicien

 

*    C'est le Français qui est l'espion.

 

 

 

Note: ce symbole à trois points  veut dire: conclusion.

Il est préféré au symbole  qui signifie implication en logique. 

 

 

 

FORMALISATION DU RAISONNEMENT

Introduction aux intégrammes

 

*    On forme un tableau permettant de positionner toutes les informations deux à deux:

*      nationalités avec maisons

*      nationalités avec activités

*      maisons avec activités

 

*    Nous allons procéder pas à pas pour bien comprendre. L'outil va vous semblez démesuré pour ce problème. Il est effectivement adapté à des énigmes plus complexes. Mais commençons par le simple.

 

Rappel

 

1.    L'Anglais habite au milieu;

2.    Le Chinois est musicien;

3.    On ne sait rien sur le Français; et

4.    L'espion habite la première maison.

 

Intégramme

 

*    On remplit ce qui semble évident d'après l'énoncé.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

 

 

 

 

2  Oui

 

Anglais

 

1  Oui

 

 

 

 

Français

 

 

 

 

 

 

Espion

4  Oui

 

 

 

Musicien

 

 

 

Autre

 

 

 

 

Première phase:

*    Chacun exerce une activité unique et habite une maison particulière, alors, la connaissance d'une information exclut les deux autres possibilités.

 

Exemple:

*    Anglais en M2  Français pas en M2, Chinois pas en M2.

*    Plaçons un n (non) dans les cases correspondantes

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

Autre

n

 

En pratique un "Oui" est entouré de quatre "non"

 

Deuxième phase:

*    Nous allons enrichir le tableau en établissant des déductions.

*    Si on observe la première ligne: elle dit que le Chinois n'habite pas au 2 et il est musicien.
Déduction: Le musicien n'habite pas au 2

*    Reportons cette info dans le tableau. Mettre non en cellule M2 / Musicien.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Autre

n

 

 

*    Deux déductions s'imposent:

*      en complétant la ligne "musicien" : il habite la maison 3;

*      en complétant la colonne "maison 2": son habitant exerce une activité inconnue (autre)

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    On a connaît complètement le sous-tableau "maison / activités":  espion en M1, Autre en M2 et musicien en M3.

 

Nouvelle déduction

 

*    Le Chinois est musicien, or le musicien habite en 3  alors le Chinois habite en 3.

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

Français

n

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    En pratique: notez la formation d'une équerre avec les trois "OUI" 

 

Autre cas de double "O"

*    Il existe une verticale à deux "Oui" qui permet une autre déduction: M2 est occupé par l'anglais et par celui qui a une activité inconnue
Déduction: l'anglais à une activité inconnue (autre).

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

n

Oui

Français

n

n

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

 

Puis, on complète le tableau par simple observation:

 

M1

M2

M3

Espion

Musicien

Autre

Chinois

n

n

Oui

n

Oui

n

Anglais

n

Oui

n

n

n

Oui

Français

Oui

n

n

Oui

n

n

Espion

Oui

n

n

 

Musicien

n

n

Oui

Autre

n

Oui

n

 

*    L'espion est français

 

 

 

 

 LES MOTOS

 

Énoncé

André, Bernard et Claude.

1.     Chacun est sur la moto d'un de ses amis.

2.     Chacun porte le casque d'un autre.

3.     Celui qui porte le casque de Claude conduit la moto de Bernard.

Quel casque porte André?

 

Portons l'énoncé dans l'intégramme

 

André n'est pas sur sa moto (moto A). Idem pour B et C.

André ne porte pas son casque (casque A). Idem pour B et C.

Celui qui est sur une moto ne porte pas le casque du propriétaire de cette moto.

Enfin, sur la moto de Bernard, on trouve quelqu'un qui porte le casque de Claude.

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

1  n

2  n

Bernard

1  n

2  n

Claude

1  n

2  n

Casque A

1&2  n

Casque B

1&2  n

Casque C

3  Oui

1&2  n

 

Complétons la zone du bas

 

Sur la ligne et la colonne du "OUI" présent, plaçons des "non".

La colonne de droite contient deux "non", l rou est complété par un "OUI".

Le troisième "OUI" ne peut que se placer en colonne de droite.

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

n

Bernard

n

n

Claude

n

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

 

Chacun a un objet de l'un et un objet de l'autre.

Si moto A va avec casque B, c'est qu'ils sont avec C (Claude)

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

n

Bernard

n

n

n

Claude

Oui

n

n

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

 

Aucune difficulté à compléter par simple lecture

 

Moto A

Moto B

Moto C

Casque A

Casque B

Casque C

André

n

Oui

n

n

n

Oui

Bernard

n

n

Oui

Oui

n

n

Claude

Oui

n

n

n

Oui

n

Casque A

n

n

Oui

Casque B

Oui

n

n

Casque C

n

Oui

n

 

André porte le casque de Claude

 

 

 

 

LES COUREURS – Trois types de solutions

 

Énoncé

Six coureurs de six nationalités différentes.

Trois marques patronnent chacune deux coureurs.

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

Redonner les dossards par nationalité et par marque.

 

Solution avec simple tableau

 

De a) on déduit: L'Allemand n'a pas le dossard 1.

Avec b) et c) on poursuit: ça n'est pas, non plus, 5 ni 3.

De cette observation, on peut mettre en place une représentation adaptée au problème:

 

1

5

3

Nation

Allemand

Belge

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

De d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol, on déduit que l'Espagnol n'est pas 2, ni 6. Or on lit sur le tableau qu'il n'est pas ni 1, ni 5, ni 3: il ne reste pour lui que le dossard 4.

De même, avec e) L'Italien et le Français sont devant le 3: Pour le dossard 3: ni Italien, ni Français, ni Allemand, ni Belge, ni Espagnol: il est Anglais.

On complète le tableau:

 

1

5

3

4

Nation

Allemand

Belge

Anglais

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

De f) Le 2 et l'Allemand ont abandonné, le 2 n'est pas Allemand: il ne reste que Belge; et l'Allemand est 6.

On termine avec g)...

 

1

5

3

4

Nation

Français

Allemand

Italien

Belge

Anglais

Espagnol

Marque

A

A

B

B

C

C

 

 

 

 

Solution avec intégramme

 

Rappel

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

 

Données initiales et première déductions de a), b) et c):

Exemples: de a): le 1 n'est pas Allemand; de a) avec b) et c): l'Allemand n'est ni 5 ni 3.

De f) l'allemande n'est pas 2. Etc.

 

1

2

3

4

5

6

A

B

C

Allemand

n

n

n

 

n

Oui

n

n

Anglais

 

 

 

Belge

n

 

n

 

n

n

Oui

n

Espagnol

n

n

n

 

n

n

n

n

Oui

Italien

n

 

n

 

Français

 

n

 

A

Oui

 

n

 

n

B

n

 

n

 

Oui

C

n

 

Oui

 

n

 

Remplissage quasi-mécanique

 

1

2

3

4

5

6

A

B

C

Allemand

n

n

n

n

n

Oui10

Oui

n

n

Anglais

n

n

Oui1

n

n

n

n

n

Oui2

Belge

n

Oui7

n

n

n

n

n

Oui

n

Espagnol

n

n

n

Oui8

n

n

n

n

Oui

Italien

n

n

n

n

Oui5

n

n

Oui6

n

Français

Oui3

n

n

n

n

n

Oui4

n

n

A

Oui

n

n

n

n

Oui11

B

n

Oui8

n

n

Oui

n

C

n

n

Oui

Oui9

n

n

 

 

 

 

Solution avec les ensembles

 

Rappel

a) Le 1 et l'Allemand courent pour Mark A,

b) Le 5 et le Belge pour Mark B,

c) Le 3 et l'Espagnol pour Mark C,

d) Le 2 et le 6 sont devant l'Espagnol,

e) L'Italien et le Français sont devant le 3,

f)  Le 2 et l'Allemand ont abandonné,

g) Le 1 gagne devant l'Italien.

(on note les nationalités par leur initiale, avec D pour les Allemands).

 

Raisonnement logique

 

De a), b) et c)

1, D

pour MkA

{1, 5, 3}

{D, B, E}

5, B

pour MkB

{1, 5, 3}

=

{A, I, F}

3, E

pour MkC

{2, 4, 6}

=

{D, B, E}

 

De d)

{2, 6}

=

non E

{2, 6}

=

{D, B}

{2, 4, 6}

=

{D, B, E}

E

=

4

 

De e)

{I, F}

=

non 3

{1, 5}

=

{I, F}

{1, 5, 3}

=

{A, I, F}

A

=

3

                                                                           

De f)

D

=

non 2

D

=

6

{D, B}

=

{2, 6}

B

=

2

                                                                           

De g)

I

=

non 1

I

=

5

{I, F}

=

{1, 5}

F

=

1

                                                                           

 

 

 

 

Bilan

Cette dernière méthode n'est pas simple à suivre, je le reconnais!

Il vaut mieux l'intégramme et déployer un certain systématisme.

Cependant, il existe des cas où une présentation particulière peut rendre service et simplifier.

Attention: il serait dommage que l'outil dispense de raisonner. L'outil doit être une aide facilitant les déductions.

 

 

 

 

Suite

*        Les quatre femmes aux petits soins

*         Enquête des trois hôtels

Voir

*         Énigme des 5 hommes, 5 maisons …

*         Énigmes et paradoxes

*         Intelligence artificielle

*         Jeux - Index

*         Les quatre cartes de Wason

*         Logique booléenne

*         Logique formelle

*         Raisonnement

*         Sudoku

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/LogForm/Integram.htm