NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 22/01/2013

Débutants

Logique

Rubrique  LOGIQUE

Glossaire Logique

 

Lois de la LOGIQUE

 

Inversion

ET

OU

Implication

Phrases

OU Exclusif

Équivalence

Multi-variable

Addition

 

Sommaire de cette page

>>> Logique formelle / raisonnement / intelligence artificielle

>>> Théorie des ensembles (mathématiques modernes)

>>> Logique / algèbre de Boole

>>> Réalisation / circuits logiques / ordinateurs

>>> Additionneur

>>> Double ou exclusif

>>> Zéro en ou exclusif

 

 


 

 

FONCTION LOGIQUE "OU EXCLUSIF"

 

*    OU EXCLUSIF

*    DISJONCTION EXCLUSIVE

*    UNION EXCLUSIVE

 

De deux choses: l’une ou l’autre

mais pas les deux à la fois 

 

Fromage ou dessert mais pas les deux!

Anglais: Exclusive OR, abrégé en XOR 

 

 

Logique formelle – Raisonnement – Intelligence artificielle

Disjonction exclusive

 

S = A OUEX B

 

Simple

*      Je mets mon pull ou mon manteau, mais pas les deux.

 

Évolué

*      J’aime les animaux ou ce qui a de la fourrure, mais pas les animaux à fourrure.

 

Particulier

*      Je mange ma soupe ou ma viande.

*      Je prendrai le train ou l’avion.

*      Formulations non ambiguës.

 

  

THÉORIE DES ENSEMBLES

                      (Mathématiques modernes)

 

Union exclusive

 

S = A w B

 

 

On remarque que

 

A w B =

    (A sans B)

    OU

    (B sans A)

 

Qui se note

 

A w B =

  (A ET B)

  OU

  (B ET A)

 

Rappel

Le symbole  veut dire non

 

 

Diagramme de Venn

 

Voir Diagramme de Venn

 

 

 

LOGIQUE / ALGÈBRE DE BOOLE

 

OU EXCLUSIF

 

S = A  B

 

 

Table de vérité

 

A

B

S = A  B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

 

Fonctions

 

 

 

 

 

 

Diagramme de Karnaugh

 

Voir Diagramme de Karnaugh

 

 

 

 

 

RÉALISATION:

CIRCUITS LOGIQUES / ORDINATEURS

 

Circuit électrique:

           va-et-vient

 

 

 

Circuit électronique:

          porte ou-exclusif

 

 

 

 

 

 

APPLICATION: Additionneur

 

*      Comment construire le circuit logique qui permettra l'addition en binaire?

 

Table de vérité de l'addition

 

A

B

Retenue

R

Somme

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

 

*      L'unité correspond à un OU exclusif, quant à la retenue, c'est un ET

 

Addition en binaire

 

0 + 0 =   0

0 + 1 =   1

1 + 0 =   1

1 + 1 = 10

On se souvient que 10 binaire vaut 2 en décimal.

 

Circuit logique

 

Voir Explications détaillée et montage d'un additionneur complet

 

 

 

DOUBLE ou exclusif

 

*      Quelle est la table de vérité d'une telle expression S = A  B  C ?

*      Écrivons la table de vérité, en la décomposant en deux étapes de calcul. On notera également la quantité de 1 dans A,B et C.

 

 

A

B

S' = A  B

C

S = S'  C

Qté de 1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

2

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

2

1

0

1

1

0

2

1

1

0

1

1

3

 

*      Bilan: la double exclusivité donne 1 lorsque la quantité de 1 dans A, B et C est impaire.

*      On note aussi que la valeur 1 de C agit en inversant (1001) le ou exclusif  de A et B (0110).

 

Illustration

*      Le ou exclusif de A, B et C est à 1 pour les quatre parties colorées foncées et à 0 pour les quatre parties en jaune clair.

Voir Théorie des ensembles

 

 

Zéro en ou exclusif

 

*      Que se passe-t-il si on applique la même valeur sur les deux entrées d'une porte ou exclusif?

La sortie reste à zéro, bien entendu!

*      Un truc de programmation au bon vieux temps des assembleurs (langage très proche de la machine et qui devait être optimisé pour gagner en vitesse et en place mémoire):

Au lieu de mettre à zéro une cellule-mémoire, faire le ou exclusif d'une valeur avec elle-même, plutôt que de commander sa mise à zéro. On économise une instruction.

 

 

Sur un bit

 

A

A

A   A

0

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

Sur un mot de n bits

 

A =

1

1

0

0

1

0

A =

1

1

0

0

1

0

A   A=

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 


 

Suite

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