NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Logique

Rubrique  LOGIQUE

Glossaire

Ensemble

 

Théorie des ensembles

 

 

 

INDEX

 

Ensemble

 

Théorie des ensembles

<<< Débutants

Introduction

Sous-ensembles >>>

 

Sommaire de cette page

>>> Ensemble

>>> Appartenance

>>> Redondance

>>> Compter

>>> Ensemble plein et ensemble vide

>>> Anglais

>>> Bilan

 

 

 

 

Théorie des ensembles

INTRODUCTION

 

 

Ensemble soyons heureux! C'est une théorie ou une philosophie …  Mais, sur cette page: Nous nous intéressons aux objets réunis par une même propriété, pour les compter et  les qualifier.

 

Note: Le titre est théorie des ensembles. Mais sur ces pages nous n'en donnons que les bases de manière simpliste. Pour approfondir, voyez les références indiquées in fine.

 

 

ENSEMBLE

 

*      Un ensemble est tout simplement une collection d'objets, quelle que soit la nature des objets.

On pourrait dire un groupe d'objets, mais dans cette théorie, le mot groupe est réservé à une autre notion.

 

 

*      On note l'ensemble par une lettre majuscule et ses éléments par une minuscule. La liste des éléments est entourée d'une accolade.

Les éléments sont séparés par une virgule ou par un point-virgule lorsqu'il s'agit de nombres décimaux (pour éviter la confusion avec la virgule décimale)

 

*      L'ensemble peut être défini par une formule, une relation, ou plusieurs relations.

Notation {n: etc } n est l'identificateur. Le deux-points est parfois noté avec une barre verticale .

 

*      La relation peut être une équation. Les éléments de l'ensemble sont alors les racines de l'équation.
 

 

Exemples d'ensembles

 

L'ensemble des lycéens en France.

L'ensemble des livres de ma bibliothèque.

L'ensemble des nombres premiers.

L'ensemble composé des lettres A à J.

 

Exemples d'éléments

 

MESFRUITS = {pommes, poires, abricots}

A = {a, e, i, o, u, y}

B = {0, 2, 4, 6 …}

BB = {0; 2,2; -4,25; 7/3}

 

 

 

C = {n: n est premier}

L'ensemble C contient tous les nombres n tels que n est un nombre premier.

D = {x: x > 0, x est pair}

L'ensemble D contient tous les nombres pairs positifs.

 

 

E = {x: x² - 5x + 6}

F = {2, 3}

Les deux ensembles E et F, qui ont les mêmes éléments, sont égaux.

Voir Ensemble des nombres entiers, réels, complexes …

 

 

Appartenance

 

 

*      Des synonymes:

*       e est un élément de E,

*       E contient l'élément e,

*       e appartient à E,

*       e est dans E.

 

 

 

Ensembles

MESFRUITS = {pommes, poires, abricots}

A = {a, e, i, o, u, y}

B = {0, 2, 4, 6 …}

 

Appartenance

pommes  MESFRUITS

e  A;  ou A  e

4  B;            mais 10  B

 

 

 

Redondance des éléments

 

Première approche (extensionaliste)

 

*      La liste des éléments définissant un ensemble peut être redondante avec des éléments cités plusieurs fois sous une forme ou une autre, dans un ordre indifférent.

*      Les ensembles comportant les mêmes éléments, même dupliqués sont égaux.

 

 

E = {2, 4, 4/2, 2²} = {2, 4}

 

F = {x, x + 8, 3x}

si x = 0 alors F = {0, 8}

si x = 4 alors F = {4, 12}

si x = 0 ou 4 alors F compte deux éléments, sinon il en a trois.

 

G = {1, 2} =

H = {1, 2, 2, 1} =

K = {x: x²– 3x + 1 = 0 }

 

 

Approche rigoureuse

 

*      Pour permettre cette distinction et travailler rigoureusement, les deux cas sont distingués: famille ou ensemble.

 

*      Attention, parfois, il est impossible de savoir si chaque élément est unique.   

 

 

 

E = {1, 1, 2} est une famille

F = {1, 2} est un ensemble

 

E = {21, a, b}

Si a ou b = 21, c'est une famille.

Si a et b  21 et a  b c'est un ensemble.

 

En résumé

Une famille peut avoir plusieurs copies d'un même élément, alors que la notion d'ensemble est dépourvue de toute possibilité de spécifier une éventuelle multiplicité de copies d'un élément dans un ensemble.

 

Voir Ensemble comme  outil de détection des redondances ou des différences

 

 

 

Compter

 

*      Dans l'Antiquité, les bergers avaient déjà la notion d'ensemble sans connaître le mot.

En fait, ils ne savaient pas compter et pourtant, ils arrivaient à dénombrer les moutons du troupeau.

 

À chaque mouton qui sortait de l'enclos, ils prenaient un caillou (calculi).

Au retour, à chaque mouton qui rentrait dans l'enclos, ils ôtaient un caillou du tas et, à la fin, vérifiaient que tous les moutons étaient rentrés si tout le tas de cailloux était épuisé.

 

 

 

Comparaison d'ensembles

 

Pratiquement tous les moutons sont rentrés dans l'enclos. Les deux cailloux restants témoignent du fait que seuls deux moutons sont encore attendus. Pas plus, pas moins.

Les deux ensembles, celui des moutons et celui des cailloux sont égaux.

 

Égalité de deux ensembles

Deux ensembles sont égaux s'ils comportent la même quantité d'éléments, quels que soient ces éléments et quel que soit l'ordre dans lequel ces éléments sont rangés.

 

Si les ensembles E et f sont égaux alors E est inclus dans F et F est inclus dans E:

 

 

Ensembles plein et ensemble vide

 

*      Il est souvent utile de définir un ensemble plein U , un ensemble de référence qui contient tous les éléments du domaine étudié.
Par exemple:

Tous les habitants de la planète.

Tous les points du plan.

Tous les nombres entiers.

 

*      La définition d'un ensemble plein permet de distinguer plusieurs types d'éléments.

U = {n: n entiers}

P = {n: n entiers pairs}

I  =  {n: n entiers impairs}

La réunion de P et I forme U.

*      Par rapport à l'ensemble U, les deux ensembles P et I sont complémentaires

 

*      Dans un ensemble, il se peut qu'il n'y ait pas d'élément: c'est un ensemble vide, noté
Note: Deux ensembles vides sont égaux.

 

 

*      Les ensembles qui contiennent un, deux ou trois éléments portent un nom.

 

 

Ensemble plein U

 

Dans l'ensemble plein U = {tous les points du plan}, il y a les points qui sont sur la droite y = x et les autres points.

 

 

Ensemble vide

 

A = {animal: insectes et huit pattes} =

B = {x: x² + 1 = 0, x nombre réel} =

 

 

Quelques éléments

 

X = {sucettes} est un singleton;

Y = {oui, non} est doublet;

Z = {1, 5, 17} est un triplet.

Note: un doublet ordonné est un couple

 

 

attention.png  Ne pas confondre "Ensemble plein" et "Ensemble universel"

 

La notion d'ensemble plein a été introduite ici pour favoriser la compréhension sur cette page d'introduction à un domaine qui est devenu très rigoureux. La théorie des ensembles est devenue aujourd'hui l'essence même des mathématiques.

 

Comme le précise Sylvain Poirier, auteur d'un traité complet sur la théorie des ensembles, la notion d'ensemble universel n'existe pas:

 

La notion d'ensemble universel est bien connue pour être impossible, par le paradoxe de Russell. Et mème considérant, non la théorie des ensembles, mais une théorie particulière comme la géométrie, il ne s'y trouve pas non plus d'ensemble universel: on peut proposer l'ensemble des points, mais où est alors l'ensemble des droites ? Ou, si on prend l'ensemble des "points ou droites", dont l'ensemble des points et celui des droites seraient des sous-ensembles, les triangles se trouvent en dehors. Généralement pour toute théorie (ou presque ?) avec un "ensemble universel" de tous ses objets, déjà les couples d'objets n'appartiennent pas à cet ensemble.

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

*      Set theory

*      Empty set

*      Logical arguments

*      Representation of set by Venn diagrams

*      Boolean algebra

 

*      A set may be viewed as a collection of objects, the elements or members of the set. We ordinarily use capital letters A, B, X, Y … to denote sets, and lowercase letters a, b, x, y … to denote elements of sets.

*      The statement p is an element of A, or, equivalently, p belongs to A is written:  .

 

 

 

Nous retenons

Un ensemble est un moyen commode de définir une collection d'objets dont tous possèdent les mêmes propriétés.

Un ensemble comprend des éléments uniques.

Deux ensembles qui ont la même quantité d'éléments sont égaux.

L'ensemble plein permet de distinguer deux types de sous-ensembles:

*    l'un dont les éléments possèdent une propriété spécifiée, et

*    l'autre, dit complémentaire, dont les éléments ne possèdent pas cette  propriété.

L'ensemble vide ne contient aucun élément.

 

 

 

 

Suite

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*    LogiqueIndex

*    Compter les ensembles

Voir

*    Groupe

*    Théorie des nombresIndex

Sites

*    Théorie des ensembles et fondement des mathématiques – Sylvain Poirier

*    Logique et théorie des ensembles – Ralph Chill

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Ensemble/TheEns01.htm