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FACTORISATION

 

Débutants

Multiplication

Conjecture ABC

 

Glossaire

Facteurs et Diviseurs

 

 

INDEX

 

Facteurs et diviseurs

Facteurs

Nombres riches

Conjecture

Commentaires

 

Sommaire de cette page

>>> Théories additive et multiplicative

>>> Historique

>>> Conséquences

 

 

 

 

 

CONJECTURE ABC

Historique et commentaires

 

Son énoncé n'est pas vieux (1985) et sa résolution est annoncée en 2013.

Sa résolution sous-tend la solution de nombreuses autres parties de la théorie des nombres, notamment une solution ultrasimple du théorème de Fermat-Wiles.  

 

 

 

Théories additive et multiplicative

 

*    Théorie additive: nombres traités par l'addition et la soustraction. La partie la plus importante en est la théorie de la partition: pour un nombre donné, quelles sont toutes les sommes égales au nombre?

*    Théorie multiplicative: nombres traités par la multiplication et les puissances (multiplication particulières).  On y traite notamment des nombres et de leurs facteurs et diviseurs, des nombres premiers.
 

*    Théorie additive et multiplicative: les deux théories ne "couchent" pas bien ensemble, même si la multiplication n'est en fait qu'une addition répétée. Chacune des théories est assez simple. La combinaison des deux est redoutable.
On connaît le théorème de Fermat-Wiles: Aucuns nombres entiers ne satisfont an + bn = cn  pour n supérieur à 2.
La conjecture ABC fait partie de cette catégorie: C est la somme de A et de B et on s'intéresse aux facteurs de ces trois nombres.

 

Elle nous indique que si trois nombres sont liés par une relation additive, leurs facteurs premiers ne peuvent pas tous être petits.

 

 

 

 

Historique

 

*    1985 
Joseph Oesterlé (Paris VI) et
David Masser (Bâle).

Énoncé de la conjecture. Elle existe sous plusieurs versions: faible et forte.

 

 

Toutes les vérifications la donne pour vraie. Pas l'ombre d'un contre-exemple.

 

*    2013 
Shinichi Mochizuki (Kyoto)

 

Annonce avoirs résolu la conjecture.

Document de 500 pages en cours de validation par les mathématiciens.

La démonstration fait des détours à travers des outils mathématiques nouveaux.

 

 

Actualité 2016

Conférence de juillet 2016: présentation par Mochizucki de sa démonstration à une cinquantaine de mathématiciens (Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) à l’université de Kyoto).

Les mathématiciens doivent scruter un document de 500 pages avec des notations complexes, des sujets abstraits nouveaux … Pas simple. Cependant, ceux-ci pensent que la preuve de la conjecture abc semble effectivement à la clé.  

 

 

Conséquences

 

*      La conjecture ABC démontrée impliquerait la résolution d'autres problèmes de la théorie des nombres. Principalement dans le domaine des équations diophantiennes mettant en jeu des nombres entiers.

 

Théorème de Fermat-Wiles

*    Sa démonstration tiendrait alors en quelques lignes. Il ne faudrait pas oublier, cependant, que cette courte démonstration serait sous-tendue par les 500 pages de démonstration de la conjecture ABC à mettre ne balance avec la longue démonstration d'Andrew Wiles et Richard Taylor (1994).

*    Généralisation à l'égalité de Fermat: axn + byn = czn

Comme:

3.  23 + 3.  13 = 1.  33 =              27

1.  53 + 3.  13 = 2.  43 =            128

3.  33 + 3.  63 = 1.  93 =            729

2.193 + 2.893 = 3.783 = 1 423 656

1.  14 + 5.  24 = 1.  34 =              81

2.  24 + 10.44 = 2.  64 =         2 592

6.  104 + 10.104 = 1.  204 =  160 000

*      Pour n > 3 et avec a, b et c entiers relatifs, cette égalité n'aurait qu'un nombre fini de solutions.

Conjecture de Catalan

*    Cette conjecture, démontrée en 2002, dit que xm – yn = 1 n'a qu'une solution avec 32 – 23  = 1. Sa solution est simple avec ABC résolue.

*    Généralisation à l'équation de Catalan-Fermat: xn + ym = zk

avec 1/n + 1/m + 1/k < 1.

Conjecture de Mordell

*    Cette conjecture, démontrée en 1983, serait démontrée simplement.  Il serait également possible de calculer les solutions.

 

 

 

 

 

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*         Conjecture ABC

Voir

*         Facteurs et diviseurs

Documents

*         La conjecture ABC – Gerhard Frey – Pour la Science – Nov. 2012 – pages 24 à 31.

La démonstration en quatre parties

*       http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf

*       http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf

*       http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf

*       http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Factorisation/Histori.htm