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FACTORISATION

 

Débutants

Multiplication

Conjecture ABC

 

Glossaire

Facteurs et Diviseurs

 

 

INDEX

 

Facteurs et diviseurs

Facteurs

Nombres riches

Conjecture

Commentaires

 

Sommaire de cette page

>>> La conjecture ABC en bref

>>> Familiarisation

>>> Conjecture d'un peu plus près

>>> Expériences

>>> Conjecture forte

>>> Record

 

 

 

 

 

CONJECTURE ABC

 

Appréciation de la quantité de facteurs répétitifs dans deux nombres et leur somme.

La conjecture dit en gros que: si les facteurs de A et de B sont très répétitifs, alors il y a de peu de chances pour que les facteurs de la somme C le soient aussi.

ou encore: si deux nombres sont riches, leur somme l'est rarement.

 

Importance de la conjecture. Si elle était prouvée alors seraient également prouvés

*       le théorème de Fermat-Wiles;

*       la quantité finie de solutions de l'équation n! + 1 = m² (Brocard)

*       la quantité infinie de premiers de Wieferich

 

Voir Rappel des définitions

   

 

La conjecture ABC en bref

 

Exemple 1

 

*    Prenons un exemple de deux nombres et leur somme.

 

 

*    Développons avec leurs facteurs.
Premier constat: exposants élevés à gauche, pas d'exposant à droite.

*    Comparons le produit des facteurs de ces trois nombres (radical du triplet – noté r(n)) à la somme.

*    Second constat: il n'y a pas photo, il est plus grand.

 

 

A= 1 024

B =      81

C = 1 024 + 81 = 1 105
 

1024 + 81 = 1105

210 + 34 = 5 x 13 x 17

 

 

 

2 x 3 x 5 x 13 x 17 = 13 260

13 260 > 1 105

 

Deux nombres a et b sans facteurs communs et leur somme c:

Le produit des facteurs r(abc) est plus grand que la somme (c).

Autrement dit, le nombre abc n'est pas très composé. Ou encore, le ratio r(abc) / c est très petit.

 

 

Exemple 2

 

*    Dans ce cas, le produit des facteurs est nettement plus petit. Cas inverse du cas précédent.

 

3 + 125 = 128

3 +    53 =   27

 

3 x 5 x 2 = 30

30 < 128

 

 

Ce qui est constaté par l'expérience

 

*    Le cas de l'exemple 1 est beaucoup plus fréquent que celui de l'exemple 2.

 

*    En portant  le radical à une puissance, le constat est encore plus étrange.

*    Si l'exposant K vaut 1 (cas vu dans nos deux exemples), nous pouvons trouver autant d'exemples type 2 que nous voulons.
Par contre, en prenant une puissance supérieure à 1, même d'extrêmement peu, alors il n'existe qu'un certain nombre fini de cas de type 2.

 

*    Une autre recherche consiste à trouver si K peut prendre toute valeur ou s'il est borné.

 

 

En général: r(A.B.C) > C

 

Exceptions: r(A.B.C) < C

 

r(A.B.C) K

 

 

 

K = 1 engendre une infinité d'exceptions.

K = 1 +  engendre une quantité finie d'exceptions.

 

 (epsilon) est une valeur très petite
du type 1/ 10 n très grand.

 

La conjecture ABC formalise ces constats, sous une forme un peu plus compliquée.

 

Inspiré de la vidéo en anglais sur Numberphile

 

 

Familiarisation avec des nombres en 2 x 3

 

*    Voici un calcul simple avec le nombre A = B  = 108.

 

*    Nous calculons le produit P = ABC

et sa richesse.

 

 

108 + 108 = 216

22 x 33  + 22 x 33  = 23 x 33

 

108 x 108 x 216 = 2 519 424 = 27 x 39

 

 

 

*    Même calcul avec 216 = 2 x 108.


En augmentant A et B, tout en conservant un petit radical, la richesse du produit ABC est aussi grande que l'on veut.

 

216 + 216 = 432

23 x 33  + 23 x 33  = 24 x 33

 

216 x 216 x 432 = 20 155 392 = 210 x 39

 

 

 

Exemple de calcul de richesse des triplets de 100 à 110.

La nappe représente la richesse du triplet (A, B, A+B)

 

 

Conjecture d'un peu plus près: en MOYENNE

 

*    Nous allons calculer la richesse du triplet ABC
ou, plus exactement,
l'expression de C en fonction du radical et de la richesse du triplet

 

 

 

*    Et comparer cette valeur au cas moyen où A, B et c ne sont pas spécialement riche.

 

Richesse moyenne   1,06

 

 

*    Deux nombres entiers sans facteurs premiers en commun; et leur somme.

 

 

A et B premiers entre eux

C = A  + B

 

*    Si A est un nombre quelconque (moyen, c'est-à-dire: pas riche).

*    Passage aux logarithmes

 

 

 

 

*    Avec les trois nombres, s'ils sont tous dans la moyenne.

 

 

*    Or A et B sont premiers entre eux
Leur somme C est également première avec ces deux nombres.

 

 

 

 

*    Propriété de la somme face au produit dès que A et B dépasse 1.

*    Et, effet sur leur logarithme

 

Plus A et B sont grands, plus l'inégalité est grande.

 

 

 

*    En rapprochant ce que nous connaissons.

*    En évaluant C.

 

*    En sortant des logarithmes.

*    Bonne approximation.

 

 

 

 

 

 

 

*    Conclusion

 

Lorsque les trois nombres sont grands et pas riches, plus la somme C est inférieure à la racine du radical du produit des trois nombres.

 

 

Expériences (selon Gerhard Frey)

 

*    Expérience avec choix de nombres moyen (non riches).

 

Rich moyen = 0,38 … < 0,53, la valeur calculée

Mais nous sommes dans la moyenne des "pauvres". Avec les très riches quelle est la borne si elle existe?

 

 

*    Expérience avec sélection de nombres les plus riches possibles.
L'auteur introduit des équations du troisième degré et fait appel à la famille des courbes elliptiques.

 

Rich moyen = 0, 70 …

 

Rich maximale < 2.

Elle atteint rarement des valeurs un peu supérieures à 1.

Il existe sans doute une borne supérieure (conjecture)

 

 

*    Le triplet (1 + 5 x 24 = 34), avec C = 81, est intéressant.

Notez les deux bicarrés: y4 = 5x4 + 1.  Voir  Théorème de Mordell-Faltings

 

 

 

 

Conjecture ABC forte de Oesterlé et Masser

 

*    La recherche de la borne supérieure pose problème. Les mathématiciens ont été amenés à considérer une formule de richesse un peu particulière.

 

 

Avec d'une constante à choisir.

On cherche à borner epsilon.

 

 

*    Conjecture originale

 

Pour une valeur appropriée de d, sans doute très grande, il suffit de prendre epsilon supérieur à 0, mais aussi proche de 0 que l'on veut.

 

 

*    Formulation avec radical

 

Pour tout nombre réel  > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tous entiers naturels A, B et C premiers entre eux et tels que A + B  = C, on ait:

Avec log(d) qui dépend d'epsilon.

 

 

*    Formulation avec produit de nombres premiers.

 

Pour tout nombre réel  > 0, il existe une constante k() telle que, pour tous entiers naturels A, B et C premiers entre eux et tels que A + B  = C, on ait:

 

Produit pour tout p premier divisant le produit abc

Autrement dit: le produit parcourt tous les facteurs premiers p de abc, soit tous les facteurs présent dans le radical du nombre.

La max indiqué, dans la mesure où C est la somme de A et B, est égal à C.

La constante k grandit indéfiniment au fur et à mesure que epsilon diminue.

 

Record

 

*    Triplet d'Éric Reyssat
C'est la plus grande valeur connue.
Garantit jusqu'à 1020

*    Donc pas de contre-exemple à la conjecture dans cette plage.

 

{2, 310 x 109, 235}

Dont la richesse est:

5 log(23) / log(15 042) = 1,629 911 684…

 

Dans la plage indiquée, il y a environ 200 triplets dont la richesse excède 1,4.

 

 

 

 

English corner

 

*    The ABC conjecture is a young problem in mathematics, first proposed in 1985 by the mathematicians Joseph Oesterlé and David Masser to describe the relationship between three numbers: a, b, and their sum, c. The conjecture says that if those three numbers don’t have any factors in common apart from 1, then the product of their distinct prime factors (when raised to a power slightly greater than one), is almost always going to be greater than c.
 

The Boston Globe - November 04, 2012

 

 

 

Suite

*         Historique et commentaires

Voir

*         Facteurs et diviseurs

Sites

*         ABC conjecture – from MathWorld – Eric Weisstein

*         La conjecture ABC et quelques unes de ses conséquences

Documents

*         La conjecture ABC – Gerhard Frey – Pour la Science – Nov. 2012 – pages 24 à 31.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Factorisation/ConjABC.htm