NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Formules de récurrence

Quantité de partitions

Partielles (1/2)     (2 / 2)

Fonction génératrice

P(1) à P(6)

P(7) à P15)

K-Bonacci

Digi-P

Diff-P

Bi-P

Tri-P

Pri-Bi-P

Pri-Tri-P

 

Sommaire de cette page

>>> Partitions et compositions

>>> Partition des chiffres de 1 à 9

>>> Quantité de partitions

>>> Partition de quelques nombres

>>> Diagramme de Ferrers

>>> Partitions partielles

>>> Partitions généreuses (produit maximum)**

 

 

 

 

 

 

PARTITIONS en sommes d'entiers

  

Décomposition d'un nombre en sommes de nombres.

Base des carrés magiques.

Vers la conjecture de Goldbach.

 

 

 

Partitions & Compositions

 

Partition des nombres entiers

 

Le nombre n est décomposé en sommes. Toutes les sommes possibles sans tenir compte de l'ordre des termes. Alors 2 + 3 et 3 + 2 comptent pour une seule partition.

Chaque somme est une partition de n; sa décomposition en parts.

Les termes de la somme sont appelées les sommants ou parts de la partition.

La quantité de partitions de n est notée: P(n)

 

 

 

Les 7 partitions du nombre 5

 

P(5) = 7

 

Les nombres sommants sont rangés par ordre croissant en descendant les lignes

 

 

Notations (3 types)

Exemple avec le nombre 5.

Composition des nombres entiers

Toutes les partitions déclinées en tenant compte des permutations des termes. On parle aussi de décompositions ou de partitions induites.

 

 

Ainsi, la deuxième partition du nombre 5, le nombre 2 unique peut prendre l'une des quatre places dans la somme, soit 4 compositions.

 

La quantité de compositions de N est égale à la puissance N – 1 de 2. >>>

 

 

Les 16 compositions du nombre 5

 

C(5) = 16 = 25 – 1 

 

 

Les questions que l'on se pose

 

*    Quelles sont les partitions d'un nombre

*    Quelle est la quantité de partition? Formule?

*    Combien de partitions avec k sommants

*    Combien de compositions avec les k premiers nombres.

*    Partition avec seulement des nombres premiers, des carrés, des cubes …

*    Partition de nombres particuliers: N est premier, carré, cube, triangulaire…

*    Pour quels nombres la quantité de partitions est un nombre premier.

 

Partition des ensembles

*    Combien  de sous-ensembles à partir de n ensembles >>>

 

N = a + b + c + …

 

Exemples

10 = 1 + 2 + 3 + 4

10² = 13 + 23 + 33 + 43

   5² = 3² + 4²

   3² = 1 + 3 + 5

   33 = 7 + 9 + 11

Voir Pépites

 

 

PARTITIONS des nombres de 1 à 9

 

Liste de toutes les partitions des chiffres, rangées par catégories:

*      bipartition:  2 termes seulement;

*      tripartition: 3 termes ou sommants;

*      quadripartition: 4 sommants; et

*      n-partitions: les autres.

 

 

P(n) = quantité totale de partitions du nombre n, y compris le nombre lui-même.

 

n

P(n)

Biparttion

Tripartition

4-partition

n-partition

1

1

 

 

 

 

2

2

1, 1  

 

 

 

3

3

1, 2

1, 1, 1

 

 

4

5

1, 3

1, 1, 2

1, 1, 1, 1

 

5

7

1, 4

1, 1, 3

1, 1, 1, 2

1, 1, 1, 1, 1

 

 

2, 3

1, 2, 2

 

 

6

11

1, 5

1, 1, 4

1, 1, 1, 3

1, 1, 1, 1, 2

 

 

2, 4

1, 2, 3

1, 1, 2, 2

1, 1, 1, 1, 1, 1

 

 

3, 3

2, 2, 2

 

 

7

15

1, 6

1, 1, 5

1, 1, 1, 4

1, 1, 1, 1, 3

 

 

2, 5

1, 2, 4

1, 1, 2, 3

1, 1, 1, 2, 2

 

 

3, 4

1, 3, 3

1, 2, 2, 2

1, 1, 1, 1, 1, 2

 

 

 

2, 2, 3

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

8

22

1, 7

1, 1, 6

1, 1, 1, 5

1, 1, 1, 1, 4

 

 

2, 6

1, 2, 5

1, 1, 2, 4

1, 1, 1, 2, 3

 

 

3, 5

1, 3, 4

1, 1, 3, 3

1, 1, 2, 2, 2

 

 

4, 4

2, 2, 4

1, 2, 2, 3

1, 1, 1, 1, 1, 3

 

 

 

2, 3, 3

2, 2, 2, 2

1, 1, 1, 1, 2, 2

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

9

30

1, 8

1, 1, 7

1, 1, 1, 6

1, 1, 1, 1, 5

 

 

2, 7

1, 2, 6

1, 1, 2, 5

1, 1, 1, 2, 4

 

 

3, 6

1, 3, 5

1, 1, 3, 4

1, 1, 1, 3, 3

 

 

4, 5

2, 2, 5

1, 2, 2, 4

1, 2, 2, 2, 2

 

 

 

1, 4, 4

1, 2, 3, 3

1, 1, 2, 2, 3

 

 

 

2, 3, 4

2, 2, 2, 3

1, 1, 1, 1, 2, 3

 

 

 

3, 3, 3

 

1, 1, 1, 1, 1, 4

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 2, 2, 2

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2

 

 

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

Compléments en Partitions des nombres de 1 à 10

 

 

QUANTITÉ de partitions

On peut compter les partitions ou se référer à une liste établie (Tableau).

 

Voir l'encyclopédie des suites de nombres: A000041 – a(n) = number of partitions of n (the partition numbers).

 

 

Avoir recours à un logiciel de calcul mathématqiue:

 

Exemple avec Maple et son logiciel spécialisé: combinat (combinatoire). L'instruction numbpart fournit immédiatement la quantité de partitions.

L'instruction seq demande de calculer la même chose pour n de 1 à 30.

Faire une division de polynôme.

 

Suite en Quantité de partitions

 

 

PARTITIONS de quelques nombres

Plus grand P(n) premier

 

P(n) est premier pour n = 6, alors P(n) = 11, par exemple.

Le plus grand n, avec P(n) premier, connu en  2017 comporte plus de 16 000 chiffres.

 

 

 

Exemples

n

Quantité de Partitions

BI

TRI

Dif TRI

10

42

5

8

4

50

204 226

25

208

184

100

190 569 292

50

833

784

500

2 300 165 032 574 323 995 027

250

20 833

20 584

 

DifTri = Tripartition avec des nombres tous différents

 

 

 

Diagramme de Ferrers et de Young

 

Diagramme de Ferrers d'une partition

 

Exemple d'une partition de 13: chaque ligne est totalisée et on énonce ces totaux de chaque ligne: 5 + 3 + 3 + 2  = 13.

Tableaux de Young d'une partition

 

Semblable avec des carrés au lieu de point.

Ils sont utilisés en combinatoire.

 

Toutes les partitions d'un nombre

 

Le diagramme de Ferrers est un moyen astucieux de représenter toutes les partitions d'un nombre.

 

Avec la partition du nombre 5, on joue à réaliser des pentaminos: assemblages divers de cinq carrés.

 

Sur chaque pentamino, on compte la quantité de carrés horizontaux: 3 + 1 + 1; 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1  + 1 et  1 + 1 + 1 + 1 + 1 sur la partie du haut.

 

Le diagramme est symétrique par rapport à la diagonale. Deux partitions symétriques sont dites conjuguée ou duales.

 

 

Partitions avec restrictions

 

Partition de n = 10 avec r = 3 comme terme maximum; soit trois colonnes seulement

 

Remarquez la somme indiquée en horizontal: 10  = 5 + 3 + 2, ce qui normal, on n'a pas perdu de carrés en route!

Le diagramme tourné d'un quart de tour est  le conjugué de l'initial.

 

De manière aussi logique, on peut imaginer une rotation de 45°, avec, ici selon les diagonales,  la partition: 1 + 2 + 3 + 3 + 1. Ça marche car la quantité de carrés sur la figure est bien évidemment constante.

 

 

 

 

Partitions partielles

Reprenons le diagramme de Ferrers du nombre 5 et observons les partitions de différentes couleurs.

 

Le diagramme suffit à montrer l'égalité des quantités de partitions partielles suivantes:

*    Partitions avec k sommants:    PS (5, k)

*    Partitions avec les nombres k: PN (5, k)

 

Propriétés

 

La quantité de partitions faite de k sommants est égale

à celle faite avec les nombres k

PS (5, k) = PN (5, k)

 

 

 

Il n'y a qu'une seule partition avec un seul sommant (ici, le 5) et qu'une seule partition avec le nombre 1.

 

Il y a deux partitions avec deux sommants (ici, 1+4 et 2+3) et deux partition avec le nombre 2 (comprendre impliquant le nombre 2, mais pas plus).

Suite en Dénombrement des partitions partielles

 

PARTITIONS Généreuses – Curiosités**(Niveau avancé)

Quelle est la partition d'un nombre qui engendre le plus grand produit de ses termes? Quelle est la partition la plus généreuse?

Exemple pour 10:

On peut monter que les termes au-delà de 4 n'introduisent pas de bénéfice. En fait 3 est l'optimum, puis complétez par des 2.

 

Ex: 10 = 5 + 5 => 25; 10 = 3 + 2 + 5 => 30; le 5 remplacé par 3 + 2 est plus généreux.

 

Règle de constitution de la partition la plus généreuse:

 

 

Exemples de partitions généreuses:

Quelques valeurs du produit généreux

 

 

 

 

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