NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITION

 

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Partition

 

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BI partition

TRI partition

Quantité de partitions

Prim BI partition

Prim TRI partition

 

Sommaire de cette page

>>> Partition

>>> Partition des chiffres de 1 à 9

>>> Quantité de partitions

>>> Partition de quelques nombres

>>> Partitions généreuses (produit maximum)*

>>> Diagramme de Ferrers

 

 

 

 

 

 

PARTITIONS en sommes d'entiers

 

 

Décomposition d'un nombre en sommes de nombres.

Base des carrés magiques.

Vers la conjecture de Goldbach.

 

 

 

  PARTITION

 

Principe

 

*           On décompose un nombre n en sommes, et

On dénombre la quantité possible de telles sommes.

 

*           On peut aussi déterminer la quantité de sommes à deux termes: bipartition; ou à trois termes: tripartition; etc.

 

Partition simple

 

*           Notion introduite par Euler.

Les termes sommés s'appellent les sommants ou parts de la partition.

 

 

Exemple

 

*           Il y a 7 partitions de 5:

 

5 =        1 +        1 +        1 +        1 +        1

             1 +        1 +        1 +        2            

             1 +        1 +        3             

             1 +        4            

             2 +        2            

             3 +        2            

             5            

 

 

 

 

PARTITION DES NOMBRES DE 1 À 9

 

*           Liste de toutes les partitions des chiffres,

rangées par catégories: bi, tri, quadri, n-partitions.

 

*           Qté = quantité totale de partitions du nombre n, y compris le nombre lui-même.

 

 

n

Qté

Biparttion

Tripartition

4-partition

n-partition

1

1

 

 

 

 

2

2

1, 1  

 

 

 

3

3

1, 2

1, 1, 1

 

 

4

5

1, 3

1, 1, 2

1, 1, 1, 1

 

5

7

1, 4

1, 1, 3

1, 1, 1, 2

1, 1, 1, 1, 1

2, 3

1, 2, 2

 

 

6

11

1, 5

1, 1, 4

1, 1, 1, 3

1, 1, 1, 1, 2

2, 4

1, 2, 3

1, 1, 2, 2

1, 1, 1, 1, 1, 1

3, 3

2, 2, 2

 

 

7

15

1, 6

1, 1, 5

1, 1, 1, 4

1, 1, 1, 1, 3

2, 5

1, 2, 4

1, 1, 2, 3

1, 1, 1, 2, 2

3, 4

1, 3, 3

1, 2, 2, 2

1, 1, 1, 1, 1, 2

 

2, 2, 3

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

8

22

1, 7

1, 1, 6

1, 1, 1, 5

1, 1, 1, 1, 4

2, 6

1, 2, 5

1, 1, 2, 4

1, 1, 1, 2, 3

3, 5

1, 3, 4

1, 1, 3, 3

1, 1, 2, 2, 2

4, 4

2, 2, 4

1, 2, 2, 3

1, 1, 1, 1, 1, 3

 

2, 3, 3

2, 2, 2, 2

1, 1, 1, 1, 2, 2

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

9

30

1, 8

1, 1, 7

1, 1, 1, 6

1, 1, 1, 1, 5

2, 7

1, 2, 6

1, 1, 2, 5

1, 1, 1, 2, 4

3, 6

1, 3, 5

1, 1, 3, 4

1, 1, 1, 3, 3

4, 5

2, 2, 5

1, 2, 2, 4

1, 2, 2, 2, 2

 

1, 4, 4

1, 2, 3, 3

1, 1, 2, 2, 3

 

2, 3, 4

2, 2, 2, 3

1, 1, 1, 1, 2, 3

 

3, 3, 3

 

1, 1, 1, 1, 1, 4

 

 

 

1, 1, 1, 2, 2, 2

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2

 

 

 

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

 

 

Compléments en Partitions des nombres de 1 à 10

 

 

 

QUANTITÉ DE PARTITIONS

 

n

Quantité

de partitions

1

1

2

2

3

3

4

5

5

7

6

11

7

15

8

22

9

30

10

42

 

Voir Suite

 

 

PARTITION DE QUELQUES NOMBRES

 

n

Quantité de Partitions

BI

TRI

Dif TRI

10

42

5

8

4

50

204 226

25

208

184

100

190 569 292

50

833

784

500

2 300 165 032 574 323 995 027

250

20 833

20 584

 

DifTri = Tripartition avec des nombres tous différents

 

 

 

 

 

PARTITIONS Généreuses

 

*           Quel est la partition d'un nombre qui engendre le plus grand produit de ses termes? Quelle la partition généreuse?

*           Exemple pour 10:

 

*           On peut monter que les termes au-delà de 4 n'introduisent pas de bénéfice. En fait 3 est l'optimum, puis complétez par des 2.

Ex: 10 = 5 + 5 => 25; 10 = 3 + 2 + 5 => 30; le 5 remplacé par 3 + 2 est plus généreux.

 

*           Règle de constitution de la partition la plus généreuse:

 

 

*           Exemples de partitions généreuses:

 

 

*           Quelques valeurs du produit généreux:

 

   

 

 

Diagramme de Ferrers et de Young

 

*    Moyen de visualiser les partitions à l'aide de points ou de petits carrés.

 

Ferrers                                           Young

 

*    Partition de n = 10 avec r = 3 comme terme maximum.

*    Remarquez la somme indiquée au-dessus: 10 (ce qui normal, on n'a pas perdu de carrés en route!)

*    On a trois colonnes, ce qui aussi normal puisque la partition a été demandé avec 3 au maximum.

*    Le diagramme tourné d'un quart de tour est appelé le conjugué de l'initial.

 

*    De manière aussi logique, on peut imaginer une rotation de 45°, avec, ici,  la partition: 1 + 2 + 3 + 3 + 1. Ça marche car la quantité des carrés sur la figure est bien évidemment la même.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Partition avec des nombres consécutifs

*    Partition avec des nombres différents

*    Partition et montées d'un escalier

*    Initiation à la théorie des nombres – Partitions

*    S'y retrouver

*    Partition des nombres de 1 à 10

*    Compter les marches d'escalier

*    Rectangles magiques à répétitions

*    Répartition de n balles en k boites

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture ABC

*    Conjecture de Goldbach

*    Multi-somme de puissances

*    Nombres partitionnés avec des uns

*    Totient d'Euler

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