NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

Débutants

Général

CATALAN

 

Glossaire

Conjecture

 

 

INDEX

TYPE DE NOMBRES

E. Catalan

Nombres

Constante

Conjecture

 

Sommaire de cette page

>>> Conjecture

>>> Exploration

>>> Historique

>>> Paires de Wieferich

 

 

 

 

 

CONJECTURE DE CATALAN

 

 ou Équation de Catalan

 ou Problème de Catalan

 

*    Deux nombres consécutifs ne sont jamais des puissances exactes, sauf 8 et 9.

*    ou, autre formulation: les seuls puissances parfaites consécutives sont 8 et 9.

 

*    Conjecture émise par Eugène Catalan en 1844:

 

xmyn = 1 <=>  32 – 23 = 1

 

*    Théorème démontré par Preda Mihailescu en 2002.

 

 

22 = 31 + 1 : Ce cas trivial est sans intérêt du fait de la puissance 1.

32 = 23 + 1 : Seul cas de nombres, puissances consécutives

 

*    Seul un couple de nombres est connu avec un écart égal à2. on conjecture que c'est le seul cas.

 

xmyn = 2 <=>?  33 – 52 = 2

 

 

Anglais

Catalan conjecture

In 1844, Catalan asserted that, among all powers of whole numbers,

the only pair of consecutive numbers that arises is 8 and 9.

 

 

 

CONJECTURE

 

Problème de Catalan

 

*      Recherche des nombres consécutifs

tout en étant des puissances parfaites.

 

32

2 3

=

1

*       Seul cas connu de puissances consécutives

9

8

=

1

xm

yn

=

1

Autrement dit:

*       Cette équation n'a qu'une seule solution.

*       C'est la conjecture de Catalan (1844).

*       Prouvée en 2002.

 

 

Suite ordonnée

des nombres x n

 

 

4

8

9

16

25

32

36

49

23

25

 

64

81

100

121

125

128

10²

11²

53

27

 

 

 

 

Voir Séquence de nombres

 

*       Seuls 8 et 9 sont des nombres - puissances consécutifs.

*       Existent-ils d'autres puissances parfaites consécutives?

 

Autrement dit

*       Quelles sont les solutions de

xmyn = 1

 

*       On ne connaît pas de solutions. Mais le nombre de solutions est fini.

*       On sait aussi que m > 60, mais à moins de 25 chiffres. On sait également que les exposants doivent être une paire de Wieferich.

 

*       La démonstration a été donnée en 2002 par Preda Mihailescu

 

 

 

Cas de trois puissances

 

xm

,

yn

et

zp

Ne sont jamais des nombres consécutifs

Démontré par W.J. Lévèque (1952)

 

 

 

 

 

EXPLORATION

 

Nombres -Puissances égaux

 

xm yn = 0

 

*  Il en existe une infinité

*  Dans tous les cas y est divisible par x

*   Le cas des puissances unitaire est trivial

22       =       41            =

23       =       81            =

32       =       91            =

4

8

9

 

24       =       42            =

26       =       43            =

26       =       82            =

43       =       82            =

34       =       92            =

28       =       44            =

29       =       83            =

36       =       93            =

210     =       45            =

46       =       84            =

38       =       94            =

310     =       95            =

49       =       86            =

 

16

64

64

64

81

256

512

729

1 024

4 096

6 561

59 049

262 144

 

Nombres -Puissances successifs

 

xm yn = 1

 

*    Il existe une infinité de cas en admettant la puissance 1.

*    Même si on élimine le cas particulièrement trivial des nombres successifs (31 = 21 + 1).

*    Pour x, m, y, n jusqu'à 10, il y a 25 telles présentations; il y en a 140 avec x et y allant jusqu'à 100.

*     Seul le cas 9 = 8 + 1 se distingue.

21               =   11       + 1

21               =   12       + 1

21               =   13       + 1

31               =   21       + 1

41               =   31       + 1

51               =   41       + 1

22               =   31       + 1

51               =   22       + 1

61               =   51       + 1

71               =   23       + 1

81               =   32       - 1

91               =   23       + 1

101         =    32       + 1

32 = 23 + 1

9 = 8 + 1

 

Nombres – Puissances avec écart de 2

 

xm - yn = 2

 

*     Pour x < 1000100 , il y a 1 seule présentation.

33 = 52 + 2

27 = 25 + 2

 

Conjecture: C'est la seule solution connue. On conjecture que c'est la seule. La démonstration semble très coriace!

 

Bilan - Nombres -Puissances

 

xm - yn = E

 

*    Seuls cas jusqu à 10010 .

*    Et, sans doute seuls cas (?)

 

*    On trouve 75 paires de puissances ayant un écart inférieur à 100.

*     Ce qui est peu.

Vu en 1        32   - 23      = 9         - 8         = 1

Vu en 2           33   - 52      = 27      - 25       = 2

Nouveaux     27   - 53      = 128    - 125     = 3

                   23   - 22      = 8         - 4         = 4

                   62   - 25      = 36      - 32       = 4

                   53 - 112     = 125   - 121    = 4

                   25 - 33        = 32     - 27      = 5

                   24 - 32        = 16     - 9        = 7

                   52 - 42        = 25     - 16      = 9

                 152 - 63        = 225   - 216    = 9

                 133 - 37        = 219 - 2187    = 10

 

 

HISTORIQUE

vers 1320

Levi ben Gerson

1288 - 1344

*  Démontre que

Parmi les carrés et les cubes seuls 8 et 9 sont consécutifs.

vers 1750

Leonhard Euler

1707 - 1783

*  Démontre que

Si x2y3 = ±1 alors x = 3 et y = 2

1844

Eugène Catalan

1814 - 1894

*  Émet la conjecture:

Parmi les puissances, seuls les nombres 8 et 9 sont consécutifs.

1850

Victor Lebesgue

1875 - 1941

*  Démontre que

Un carré ne suit jamais immédiatement une puissance.

1921

 

*  Il est démontré que

Une puissance ne succède jamais à un cube

x3 - 1 = yn est impossible pour n > 1

1932

 

*  Il est démontré que

Une puissance ne succède jamais à un bicarré

x4 - 1 = yn est impossible.

1940

 

*  Il est démontré que

Une puissance ne succède jamais à un carré

x2 - 1 = yn est impossible.

1964

Ko Chao

*  Démontre que

Un carré ne précède jamais immédiatement une puissance

x2 + 1 = yn est impossible.

1976

Robert Tijdeman

(NL)

*  Démontre que

Parmi les puissances, seule une quantité finie de nombres sont consécutifs.

Mais cette limite est astronomique: il n'est pas possible d'explorer toutes les possibilités par ordinateur.

Cette limite vaut xn avec

·        x= {(10^10)^(10^10) }^300 et

·        n = 10^106

·        ou e^e^e^e^730

 

Hyyrö

Makowski

*  Démontrent que

Il n'existe pas trois puissances consécutives.

2001

Maurice Mignotte

Université Louis Pasteur

Strasbourg

*  Contribue à réduire cette limite.

Elle reste malgré tout de l'ordre de 10^(1017).

Précisément:

·        107 <m < 7,15 x 1011 et

·        107 < n < 7,78 x 1016

Toujours trop de cas à examiner.

1998

Yann Bugeaud

Guillaume Hanrot

*  Explore la voie algébrique

en utilisant les nombres cyclotomiques.

2000

Preda Mihailescu

(1955-)

*  Avec en poche son doctorat portant sur la cyclotomie.

Il assiste aux conférences de Guillaume Hanrot.

Et montre quelque temps plus tard que les exposants des puissances ne peuvent être que des paires de Wieferich.

*  On n'en connaît que 6.

Les (super) ordinateurs se mettent en route pour en rechercher d'autres.

2002

Preda Mihailescu

*  Démontre la conjecture.

En basant son travail sur les propriétés des nombres cyclotomiques.

Tout en mettant à contribution une méthode par exploration, élimination.

*    Le papier déposé en avril comprend un exposé explicatif de Yuri Bilu (Université de Bordeaux).

Il est en cours de publication.

 

 

 

Abstract du papier de Preda Mihailescu

*    Catalan's conjecture states that the equation xp - yq = 1 has no other integer solutions but 32 - 23 = 1.

*    Based on a classic result of Cassels and our recent consequence, that p, q must verify a double Wieferich condition if the equation has integer solutions for odd p, q,

*    we show that the existence of such a solution produces an excess of q-primary cyclotomic units.

*    This fact leads to a contradiction which proves Catalan's conjecture.

 

 

 

PAIRES DE WIEFERICH

 

*      Il a été prouvé que les exposants de l'équation de Catalan
xmyn = 1 doivent être des paires de Wieferich.

 

*      Paire de Wieferich: deux nombres premiers m et n tels que:

 

m(n-1) = 1 mod

n(m-1) = 1 mod

 

*      Ces nombres sont très rares:
Six paires sont connues aujourd'hui:

 

2

3

5

83

911

2 903

1 093

1 006 003

1 645 333 507

4 871

318 917

18 787

 

*      Pour donner une idée des calculs voyons le cas
m = 2 et n =1093:

 

m(n-1)

= 21092

= 0,53 10329

m(n-1) mod

= 0,53 10329 mod 1093²

= 1

n(m-1)

= 10931

n(m-1) mod

= 1093 mod 4

= 1

 

 

Anglais: Wieferich prime

 

 

Suite

*       Nombres de Catalan

Voir

*       Conjecture - Glossaire

*       Conjecture ABC

*       Différence entre puissances

*       Dénombrer - Index

*       Équations diophantiennes - Glossaire

*       Puissances

*       Théorème de Fermat -Wiles

DicoNombre

*       Nombre 8

*       Nombre 9

Sites

*       Équation de Catalan par Serge Mehl

*       Draft Proof of Catalan's Conjecture Circulated
        par Eric Weisstein

*       Science news on line
      
Conquering Catalan’s Conjecture par Ivars Peterson

*       Study work on line pour liste d'autres références
       en particulier:
Preda Mihailescu, Home page

Livre

*       Science & Vie de septembre 2002

Il a démontré la conjecture de Catalan

par Hervé Poirier