NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Croisements – Courbes (1/2)

Croisements – Graphes

Croisements – k-sécantes (2/2)

 

Sommaire de cette page

>>> Un seul croisement

>>> Passage à deux croisements (X2)

>>> X2 – Une extrémité externe croise la boucle

>>> X2 – Une seule extrémité externe qui se croise

>>> X2 -  Une extrémité externe qui croise l'autre

>>> X2 - Avec les extrémités internes

>>> Récapitulatif pour deux croisements

>>> Piste d'analyse pour caractérisation

 

 

 

 

 

 

 

CROISEMENTS de COURBES

Dénombrement

 

En topologie et en théorie des graphes, on connait le cas des nœuds; on connait aussi le cas du décompte des croisements minimums dans un graphe avec le cas particulier bien connu des trois maisons à alimenter (Anglais: graph crossing number and Turan brick factory problem). La théorie sur ces sujets se développe, mais elle est loin d'être finalisée.

Ici, on s'intéresse aux courbes qui se croisent une fois, deux fois, k fois et à la quantité de motifs possibles dans chaque cas. Pour une courbe, combien y-a-t-il de façons de se croiser deux fois ? Réponse 15.

 

Exemples avec les lettres majuscules cursives:

0 croisement pour la lettre O; 1 pour C et; 2 pour E, H, J et L.

 

 

Merci à Gilbert Chovin pour cette idée de page à propos de ce qu'il appelle les cheminements finis sécants et bisécants

 

 

 

Un seul croisement

 

Une courbe sur un plan. Disons une ficelle posée sur une table pour imager la situation.

 

Deux cas de croisement sont possibles selon que les extrémités sont:

*      à l'extérieur de la boucle (1e et 2e), ou

*      à l'intérieur de la boucle (1i et 2i).

 

Le cas d'une extrémité à l'intérieur et l'autre à l'extérieur ne forme pas un croisement mais un simple point de tangence.

 

Deux croissements autorisés et un exclu

       

 

 

Passage à deux croisements (X2) ou bisécants

Pour obtenir un second croisement, il faut prolonger la courbe par l'une des deux extrémités et cela pour les deux cas de croisement unique: 2cas.

Le croisement peut se produire soit en croisant la boucle soit en croisant l'un des deux brins d'extrémité. En fait, partir du point 1 ou du point 2 revient au même par effet de symétrie (réflexion dans un miroir. Restent 6 cas à examiner: 2 cas (boucle et une extrémité).

Partant d'une extrémité, on peut prolonger en partant vers la droite (sens horaire) ou vers la gauche (sens antihoraire): 2 cas.

De plus, le croisement peut se produire au plus proche ou parfois en contournent le brin d'extrémités: 2 cas.

Potentiellement: 2x2x2x2 = 16 situations à analyser une par une pour dénombrer les cas possibles ou impossibles.

 

 

X2 – Une extrémité externe croise la boucle

 

Prolongement dans le sens antihoraire

Il s'agit d'allonger la courbe pour créer un deuxième croisement. Par exemple (en rouge): un prolongement de 1e et croisement avec la boucle B.

Le prolongement de 2e et croisement avec B est de même nature. Les deux cas se superposent (symétrie).

 

Toutes en bas, autres représentations courantes

 de ce genre de graphe.

 

 

Prolongement dans le sens horaire

Il s'agit d'allonger la courbe dans l'autre sens (sens des aiguilles de la montre) et former un croisement avec la boucle.

Dans ce cas, il y a formation d'une nouvelle boucle qui encercle 2e. C'est bien un nouveau cas. Un départ de 2e produirait un cas symétrique.

 

Bilan: deux cas de croisements avec la boucle et une extrémité externe.

 

 

 

 

X2 – Une seule extrémité externe qui se croise

 

Prolongement au plus près

Dans le sens horaire

Partant d'une extrémité, on prolonge la courbe pour croiser la même extrémité (figure de gauche). Les deux cas (rouge et vert) sont identiques par retournement et superposition.

 

Dans le sens antihoraire

Même principe; un seul cas du fait de la symétrie

 

Comparaison

Les deux cas (horaire et antihoraire) sont différents comme le montre les figures  du bas: les extrémités sont du même côté ou de part et d'autre.

 

 

 

Prolongement  par contournement

Même principe que ci-dessus, mais en allant chercher le croisement par contournement.

La boucle initiale est encerclée par une nouvelle boucle.

 

 

 

Bilan: quatre cas de croisements sur une extrémité externe.

 

 

 

X2 -  Une extrémité externe qui croise l'autre

Prolongement dans le sens horaire

Partant d'une extrémité, on prolonge la courbe pour croiser l'autre extrémité au plus près.

Les deux cas (rouge et vert) sont identiques par retournement et superposition.

 

Idem avec contournement

En croisant le brin 2 par l'autre côté, un nouveau cas est recevable (figures de droite).

 

  

Prolongement dans le sens antihoraire

En partant  de 1e et dans le sens antihoraire, il y a création d'une boucle encerclant la première boucle.

Ce cas est nouveau. Son symétrique partant de 2e  lui est superposable.

 

Idem avec contournement

 

 

Notez: impossible de prolonger la courbe pour entourer une nouvelle fois la boucle car le brin de courbe à atteindre serait enfermé dans la boucle et inatteignable.

 

Bilan: Soit quatre cas de croisements entre les deux extrémités externes.

 

 

X2 - Avec les extrémités internes

 

Prolongement pour croiser la boucle

Partant de 1i (extrémité interne), on prolonge pour croiser la courbe. La route peut être quelconque, sens horaire ou antihoraire; et, comme précédemment, le départ de 2i produit des figures symétriques.

 

Bilan: un seul cas de croisement avec la boucle et une extrémité interne. Mais, il est identique au premier cas examiné

 

 

 

Prolongement pour se croiser soi-même

Partant de 1i (extrémité interne), on prolonge pour croiser le même brin. Deux possibilités selon le sens. Les extrémités se retrouvent du même côté ou de part et d'autre.

Toujours la même remarque pour la symétrie avec un départ en 2i.

 

 

Bilan: deux cas de croisements sur une extrémité interne. Mais, ils sont identiques à deux cas déjà vus. (Voir le tableau de synthèse).

Prolongement pour croiser l'autre brin

Partant de 1i, on prolonge pour croiser l'autre brin. Deux possibilités selon que le brin est croisé directement ou par contournement.

Un seul sens de rotation est possible.

Symétrie en partant de 2i.

 

 

Bilan: deux cas de croisements sur les deux extrémités.

 

Récapitulatif pour deux croisements

 

Nous avons dénombré 15 possibilités de double-croissement: 10 à partir des brins externes et 5 avec les brins internes dont 3 sont communs aux précédents (en marron).

Bilan: 12 cas de bi-croisements irréductibles.

 

 

Les cinq circuits fermés bisécants (représentation stylisée)

 

 

Idée de suite

*    Combien de chemins  et de circuits fermés trisécants ?

*    Formule donnant la quantité de motifs pour k croisements.

 

 

 

 

Piste d'analyse pour caractérisation des croissements

 

Comment distinguer chacun des cas et s'assurer que chacun est unique d'un point de vue topologique.

 

Numérotation: de 1 à 15.

 

Motifs: ils sont rappelés tels que vus ci-dessus et une colonne les reprend en les normalisant (départ de boucle identique).

 

Départ: ee et ii pour les deux extrémités externes ou internes à la boucle.

 

Arrivée: même symbole selon que l'extrémité est externe ou interne.

 

Rotation: un seul sens de rotation (R), ou deux (S , comme courbe en S).

 

Boucle: les deux boucles sont externes (E) ou l'une et dans l'autre (I).

 

Type d'extrémités: selon que les deux extrémités sont "parallèles" ou croisées.

Une extrémité dans une double boucle est notée i².

Pour plus de croisements, peut-être faudra-t-il faire intervenir l'appartenance de l'extrémité à une boucle particulière.

 

Bilan

Parmi les 15 cas recensés, il se trouve que trois d'entre eux sont redondants (bleu foncés).

Les douze cas qui subsistent sont qualifiés de manière unique.

Commentaire

Est-il possible de simplifier la recherche des invariants à chaque cas ?

Il est clair la caractérisation présentée ne constitue pas une synthèse éblouissante. Elle n'est guère propice à une généralisation et encore moins à une programmation

 

 

 

 

 

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Rien sur le sujet de cette page, voir néanmoins:

*    Une approche de la théorie des graphes

*    Crossing number – Adam Sheffer

*    Crossing numbers (graph theory) – Wikipedia

*    Crossing and planarization

*    Turán's brick factory problem – Wikipedia

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Topologi/Croiseme.htm