conjecture de Poincaré

Dans le monde de la topologie, le monde des objets élastiques, déformables continûment, le pavé, le cube ou la sphère font partie de la même catégorie d'objets sans trou. On dit qu'ils sont homéomorphiques. Avec un trou, on trouve le tore, le doughnut ou encore la tasse de café avec une anse. En savoir plus >>>

Anglais: The cube and the sphere are homeomorphic, as are the coffee cup and the doughnut. But the circle is not homeomorphic to the doughnut.

APPROCHE

Évident?

Tout part de la sphère et de certaines de ses propriétés qui semblent évidentes a priori, mais pas si faciles à démontrer.
Encore moins dès que l'on tente de généraliser aux dimensions supérieures (hyper-sphère)

Sphère et tore

Un cercle dessiné sur la sphère peut être continûment rétréci jusqu'à obtenir un point.

Un objet géométrique qui possède cette propriété est dit simplement connexe.

Cette propriété est vraie pour la coquille: la surface intérieure, comme extérieure.

Par contre, sur un tore, ce n'est pas toujours possible.

Si le cercle passe par le trou central,
il est impossible de le rétrécir jusqu'à obtenir un point.

Voir Objets topologiques

Surface fermée sans trou

Une surface telle qu'un cercle puisse s'y comprimer en un point est une surface fermée sans trou.

Caractérisation – Invariant

Le coup du lasso permet de distinguer s'il d'agit d'une sphère ou d'un tore.

Tient-on là, une caractéristique qui permet à tout coup de faire la différence entre deux telles surfaces?

Dans notre monde, une surface à deux dimensions dans un monde à trois dimensions, cela semble le cas. Quand est-il pour les dimensions supérieures ?

Explications

Surface et variétés

dimension 1:
c'est une courbe.

dimension 2:
surface classique.

dimension n:
généralisation aux hyper surfaces.

Elles sont appelés "variétés"

Coquille: celle de l'œuf ou de la croûte terrestre.

Cercle qui se rétrécit: image du lasso (ou d'un fil élastique noué) qui se resserre en restant en contact avec la sphère.

Sur cette coquille, le lasso peut se refermer complètement.

Tore: chambre à air, bouée, gâteau en couronne, beignet américain (donut, doughnut)

Sur ce tore, un des lassos ne peut passe refermer complètement.

Voir Groupe fondamental / Géométrie / Sphère / Sphère-calcul

Autre façon de voir

Ballon

Je dessine une courbe fermée sur le ballon.

Je découpe le long de cette ligne.

J'obtiens deux morceaux.

Le ballon est simplement connexe. Seule la sphère est simplement connexe

Bouée

Je dessine une courbe fermée sur la bouée.

Je découpe le long de cette ligne.

J'obtiens deux morceaux ou un seul morceau (un tube non fermé).

SPHÈRE et HYPER SPHÈRE

Surface 2D en espace 3D

En topologie, la coquille, sphère évidée, est appelée une sphère bidimensionnelle.

La propriété de cette sphère bidimensionnelle est connue depuis le XIX^e siècle.

Surface 3D en espace 4D

Poincaré s'est intéressé à la sphère de dimension supérieure: la sphère tridimensionnelle ou boule:

Conserve-t-on cette propriété ?

Poincaré pense que oui!

Poincaré lui-même et de nombreux mathématiciens ont tenté la démonstration sans arriver au bout.

Un prix était même attaché à la résolution de ce problème. Grigori Perelman, mathématicien russe, a trouvé la démonstration en mai 2003 sur la base de travaux avancés de la part d'Hamilton.

Propriété unique

La sphère est le seul

espace bidimensionnel fermé dépourvu de trous.

Conjecture de Poincaré

La boule est le seul

espace tridimensionnel fermé dépourvu de trous.

En langage commun:

Tout corps qui ne contient pas de trous et qui n'est pas tordu peut être transformé en sphère.

Autre

Toutes les variétés compactes contractiles peuvent être déformées en une sphère.

Telle que l'a écrite Poincaré:

Tout polyèdre dont les nombres de Betti sont égaux à un et qui est dépourvu de torsion est simplement connexe.

Formulation moderne:

Une variété de dimension 3 qui a le même groupe d'homologie que la sphère de dimension 3 lui est homéomorphe.

Voir Topologie / Poincaré

CONNAISSANCE DU PROBLÈME

Principe de la méthode Poincaré

Aux espaces topologiques, on associe divers attributs (groupe) qui sont des invariants algébriques.

Poincaré définit le groupe fondamental qui permet de distinguer différentes catégories de surfaces bidimensionnelles. À partir de là, il montre qu'une surface, ayant même groupe fondamental que la sphère, lui était topologiquement équivalente.

Et, il conjecture que cela est vrai pour toutes les dimensions.

Pour les dimensions 1 et 2, c'est assez simple.

Pour les grandes dimensions (>7), paradoxalement ce n'est pas hyper-difficile. Il y a de la "place pour se retourner".

Pour 5 et 6, il a fallu beaucoup d'énergie.

La 4, encore plus.

La 3 demanda le plus grand effort

la dimension 3. Perelman l'a prouvé.

Pour toutes les dimensions au-delà de 3, c'est déjà prouvé depuis plus longtemps

Plus formellement

Si une surface fermée (2D) de l'espace (3D) est simplement connexe, elle peut être déformée continûment en une sphère.

Est-ce vrai pour la "sphère" (3D) de l'espace 4D?

Est-ce vrai pour la "sphère" (nD) de l'espace (n+1)D?

Traduite en langage maths:

Définition: un surface dans l'espace à n dimensions est une variété;

Question: Est-ce qu'une variété compacte de l'espace à n + 1 dimensions est homéomorphe à la sphère n-dimensionnelle?

HISTORIQUE de la conjecture de Poincaré selon la dimension
n	Objet	Qui, quand
1	CERCLE	Trivial.
2	SPHÈRE	Connu depuis le XIX^e
3	BOULE	Conjecture de géométrisation. Prouvée par Grigori Perelman en 2003.
4	HYPERSPHÈRE	Prouvé par Freedman en 1982. Médaille Fields pour ce travail en 1986.
> 4	"	En 1960 et 1961 indépendamment par: Stephen Smale, John Stallings, Andrew Walace, et Zeeman

Grigori Perelman (1966-)

Mathématicien russe très discret.

Flot de Ricci;

Conjecture de Poincaré: démonstration en 2002;

Conjecture de géométrisation de Thurston, formulée en 1976, et plus générale que la conjecture de Poincaré: démonstration en 2003

Médaille Fields en 2006. Prix qu'il a refusé, comme tous les autres.

GÉNÉRALISATION

La démonstration de Perelman va avoir des retentissements profonds sur les mathématiques.

Comme point de départ, Poincaré cherchait un moyen de classer les surfaces à partir des sphères de différentes dimensions. William Thurston (mathématicien américain - médaille Fields) , plus tard, tente une caractérisation complète de la géométrie des surfaces tridimensionnelles

Conjecture de géométrisation

Elle implique une classification parmi les trois géométries classiques et d'autres

Perelman a complété le travail en démontrant également cette conjecture. En fait, la conjecture de Poincaré est une retombée de la conjecture de géométrisation.

Géométrisation

Au-delà de la vision topologique, les surfaces de dimensions 3 ont été dotées récemment de moyens de mesurer les distances entre les points (Thurston - années 70).

Voir Outils topologiques ayant servie à la démonstration

La courte échelle jusqu'à la démonstration

La conjecture étant démontrée pour toutes les dimensions sauf la 3, de nombreux mathématiciens se sont échinés à résoudre ce dernier maillon de la démonstration.

Thurston et sa conjecture sur la géométrisation de la dimension 3 avait apporté beaucoup.

Hamilton (1943- ) fut sans doute celui qui arriva le plus proche et se trouva le plus dépité de se voir coiffé au poteau par Perelman. Son idée (1979-1983): prendre une variété cabossée quelconque et la passer à la moulinette du "flot de Ricci", lequel est supposé détordre, dénouer et, au bilan, simplifier la forme de la variété. Si toute variété (simplement connexe) tarabiscotée passe ce test, la conjecture de Poincaré est démontrée.

Les travaux d'Hamilton étaient originaux: résoudre un problème de topologie en recourant aux équations différentielles (courbure et flot de Ricci).

La difficulté tenait en certaines singularités topologiques qui ne se laissaient pas faire: le flot de Ricci les ratatinait dans une direction et les gonflait dans une autre. Pas facile d'atteindre la fameuse sphère avec des monstruosités pareilles! Hamilton y passa encore une quelques années à inventer une chirurgie à appliquer à ces singularités. L'une d'elles résistait ostensiblement: la singularité du "cigare".

La publication

Automne 2002 au printemps 2003, Perelman charge en toute discrétion trois articles, un par un, sur le serveur Internet "arXiv", site Internet libre, spécialement dédié à la diffusion scientifique.

Le premier article s'intitule: La formule de l'entropie pour le flot de Ricci et ses applications géométriques.

Le deuxième: Le flot de Ricci avec chirurgie sur variétés de dimension 3.

Le troisième: Temps d'extinction finis pour les solutions du flot de Ricci sur certaines variétés de dimension 3.

Grigori Perelman s'attaque à la conjecture de géométrisation de Thurston. Dans son 3^e article, par la démonstration d'une partie de cette conjecture, il donne la preuve de la conjecture de Poincaré.

La vérification durant environ trois ans, avec de nombreuses questions à l'auteur qui, comme souvent à ce niveau, avait eu une écriture des plus sobres. Au point que deux mathématiciens chinois révisèrent cette démonstration en l'explicitant. Durant un temps, cette révision fut même revendiquée comme l'ultime démonstration.

Aujourd'hui, la paternité de la démonstration est clairement attribuée à Perelman, grandement mis sur la voie par Hamilton.

Voir	Topologie – Glossaire Conjecture – Glossaire Poincaré Caractéristique d'Euler-Poincaré
Aussi	Carrés magiques Dissections Distance Géométrie – Index Hilbert Jeux Les trois géométries Pavage avec des polygones Pavage du carré Perelman Quatre couleurs
Sites	Poincaré Conjecture Proved--This Time for Real Poincaré conjecture by Eric Weisstein Thurston's Geometrization Conjecture by Eric Weisstein
Revue	The New York Times Courrier International du 30 avril au 6 mai 2003
Livre	La conjecture de Poincaré – George G. Szpiro – JC Lattès, Points Sciences – 2007 ; Ouvrage très abordable, clair qui narre la recherche de la démonstration: les acteurs, leurs contributions.
Cette page	http://diconombre.fr/Pavage/Poincare.htm