NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Ruban de Moebius

>>> Bouteille de Klein

>>> Ruban inversé

>>> Sphère inversée

 

 

 

 

CURIOSITÉS TOPOLOGIQUES

 

Le ruban de Moebius, la bouteille de Klein …

Des objets curieux pour lesquels le dedans est dehors …

 

La sphère n'a pas de trou, le tore en a un,

le double tore, deux et le triple tore, trois.

 

 

 

RUBAN de Moebius ou surface unilatère

 

*      Simple à réaliser avec un ruban de papier. Coller les deux petits bords ensemble, mais en ayant pris le soin de retourner l'un des côtés.

*      La découpe en suivant le milieu du ruban laisse une bonne surprise.

*      D'autres découpes sont amusantes. Les sites Internet en proposent des vidéos explicites.

En découpant le long de la ligne médiane, on obtient un seul morceau formant quatre demi-tours

*      Tous les rubans qui font un nombre impair de demi-tours sont inorientables.

 

 

 

Voir Ruban de Moebius / Infini /

Problème du carré inscrit

 

Moebius: Prince / Fonction / Nombres

 

Voir Fourmi sur un cylindre

 

Cette surface n'a qu'une seule face. Elle est inorientable. Sur un tel circuit, une voiture parcourait la partie blanche puis la partie sombre sans difficulté.

 

 

*      Logo indiquant les matières recyclables: trois demi-tours

*      Autrefois, dans les ateliers de menuiserie, on utilisait l'énergie hydraulique des rivières pour faire fonctionner toutes les machines. Des axes tournaient au plafond. Ils étaient reliés aux machines par des poulies et courroies, embrayés selon les besoins.

*      Les courroies étaient souvent vrillées d'un demi-tour pour assurer une rotation inverse, mais aussi pour limiter l'usure de la courroie.

Source image: Lozère modélisme

Ang: Moebius strip

 

Historique

 

Le ruban de Moebius (ou Möbius; Möbius strip) est une surface non orientable à deux dimensions avec seulement une face quand elle est plongée dans un espace euclidien à trois dimensions.

Ruban fermé par collage après un demi-tour de la bande (ou un nombre impair quelconque  de demi-tours. Dans tous les cas, la bande offre une seule surface.

Il a été découvert en 1858 par le mathématicien allemand August Möbius (1790-1868) et, simultanément, par Johann Listing (1808-1882).

Listing est le premier à employer le mot topologie, au lieu du terme usuel geometria situs.

Ce ruban a fasciné les artistes comme Esher (Illustration).

Il a joué un rôle fondamental dans la création de la topologie, la géométrie qui étudie les propriétés des objets qui se déforment et s'étirent. Domaine à forte implication dans la théorie des cordes, par exemple.

Voir Contemporains

 

English corner

 

The Möbius strip is a one-sided object that can be made by simply twisting a piece of paper and connecting the ends with some tape. If you were to follow the loop around with your finger, you'd eventually end up right back where you started, having touched the entire surface of the loop along the journey.

This simple creation, the Möbius strip, is fundamental to the entire field of topology and serves as a quintessential example of various mathematical principles.

 

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

BOUTEILLE DE KLEIN

 

*      La bouteille de Klein est également un objet improbable de la topologie.

 

*      C'est un objet pour lequel il est impossible d'identifier un intérieur et un extérieur.

 

*      Les sites Internet vous présentent des vidéos qui permettent d'imaginer un tel objet.

 

*      Cet objet se construit (par la pensée) comme le ruban de Moebius: une feuille de papier; coller les deux côtés rouges, puis les bleus, mais en inversant le sens.

Voir Bouteille de Klein

KleinBottle

 

Klein Bottle Folding 1.svg

Ang: Klein bottle

 

Bouteille de Klein

 

 

RUBAN INVERSÉ

 

*      Le défi consiste à réaliser l'inversion du ruban: la face blanche passe à l'intérieur et la sombre à l'extérieur, et ceci selon les conditions d'opération topologique: pas de déchirement, pas de pliure marquée; par contre, il est possible de passer à travers une surface (comme dans l'exemple de la bouteille de Klein).

 

 

Impossible d'inverser la face bleue et la face blanche selon les lois de la topologie.

 

 

 

SPHÈRE INVERSÉE

 

*      Cette fois ce n'est plus un ruban à inverse, mais une sphère: faire passer la face interne à l'extérieur.

*      Impossible pour le ruban et … possible pour la sphère.

*      IL faut être mathématicien topologiste pour imaginer une telle opération.

 

Aucun dessin ne permet de visualiser l'opération. même les vidéos peinent.

*      Il est possible d'en avoir une petite idée en reliant chacun des points de la sphère à son antipode. Chaque diamètre ainsi formé se rétrécit sur lui-même jusqu'à devenir le point central et, ne s'arrêtant pas là, repart en s'allongeant pour redonner un diamètre inversé. Résultat: chacun des points a pris la place de son jumeau de l'antipode.

*      Notez que vous réaliser cette opération tous les matins dans votre salle de bains. Votre corps reflété par le miroir est en fait votre corps inversé.

 

 

Double tore / Sphère à deux poignées / Bouteille de Klein

 

Anneaux de Moebius et la sculpture

Aase Texmon Rygh Mobius – 1995 /  Keizo Ushio Granit Mihama – 1990 / Keizo Ushio Moebius in Space Planet – 2011

Merci à Évelyne

 

 

 

 

Voir

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*    Quatre couleurs

Sites

*      Retournement de la sphère – Vidéo

Cherchez "To turn the sphere upside down" sur YOUTUBE

*    Surfaces orientables unilatères – Mathcurve – Robert Ferréol

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http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Curieux.htm