NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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TOPOLOGIE

 

Glossaire

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INDEX

 

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Topologie

 

Logique

Index

Introduction

Glossaire

Poincaré

Nœuds

Curiosités

Croisements – Courbes

Croisements – Graphes

 

Sommaire de cette page

>>> Vocabulaire du marin

>>> Vie pratique – Types de nœuds

>>> Les problèmes de la théorie des nœuds

>>> Historique

>>> Théorie

>>> Quantité de nœuds différents

>>> Type de nœuds – Planche

>>> Nœuds de cravate

>>> Anglais: to tie the knot

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Humour

Voir Pensées & humour

 

 

Nœuds en mathématiques

Entrelacs – Tresses (nattes)

 

Un nœud est une courbe fermée sans intersection dans un espace à trois dimensions. Ou, plus simplement: une corde (ficelle) dont les extrémités sont réunies.

La théorie des nœuds, branche de la topologie, s'intéresse à la forme des nœuds et non à leur longueur, y compris par déformation sans déchirure ni cassure.

Cette théorie est née au XIXe siècle avec Gauss. Henri Poincaré développe la topologie algébrique incluant la notion de nœud.

Ses applications nouvelles en biologie comme en cosmologie ont accéléré son développement ces trente dernières années.

 

Ces animaux, sont-ils laineux (les nœuds) ?

 

 Vocabulaire du marin

Cordage: terme générique.

Bout: une corde.

Amarre: cordage servant à tenir le bateau le long du quai.

Courant: partie du cordage avec laquelle on forme un nœud: brin de travail.

Dormant: l'autre partie du cordage: brin mort.

Frapper une amarre: immobilisation de l'amarre avec un nœud, sur un taquet par exemple.

Lover un cordage: l'enrouler pour le ranger.

Ganse: un demi-tour fait sur le cordage. Lui donner une forme en U.

Tour mort: tour de cordage autour d'un point fixe. Simple tour effectué par un cordage autour d'un objet et ayant un effet de frein.

Demi-clef: tour mort avec cordage repassant sur lui-même.       Voir Demi  / Demi en mots

 

 

  Types de NŒUDS utilisés en pratique 

3 800: quantité de nœuds recensés: nœud chaise, cabestan, d'arrêt, Zeppelin, demi-clef, d'évadé …

 

Exemple de nœud en huit

Voir Nombre 8 et culture

Voir Explications sur le site de Laurent Rosenfeld

Six grandes catégories de nœuds

Catégorie

Type

Exemples

Nœuds d'arrêt

Demi-Nœud

*       Nœud au mouchoir

*       Nœud de la corde à nœuds

Nœuds de liure

Nœud plat

*       Nœud des lacets

*       Pour réunir deux bouts de ficelle

Nœuds coulants

Nœud du pendu

*       Nœud du lasso

Nœuds à boucle

Nœud de chaise

*       Permet de soutenir un blessé par les fesses

Nœuds à raccourcir

Nœud de plein poing

*       Boucle pour raccourcir une corde

Nœuds d'amarrage

Nœud de cabestan

*       Pour arrimer une corde à un poteau

 

 

Les problèmes de la théorie des nœuds

1.    Trouver une méthode pour décider si deux nœuds sont équivalents;

2.   Trouver un algorithme pour décider si un nœud est noué; et

3.   classifier les nœuds non équivalents.

 

 

Nœuds mathématiques – Historique

Le plus vieux nœud

Retrouvé sur des filets de pêche vers 8000 av. J.-C.

Vandermonde

(1735-1796)

Aborde les nœuds dans son livre: Remarques sur les problèmes de situation. Un début en ce qui deviendra la topologie.

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

Le premier à véritablement étudier les nœuds.

Il s'intéresse au nombre d'entrelacs pour une paire de nœuds.  En 1833, il montre que le nombre d'entrelacs pouvant être formés à partir de deux nœuds se calcule au moyen d'une intégrale.

Johann Benedict Listing

Étudiant de Gauss qui va créer le mot topologie (de topos, lieu et logos, étude ou doctrine, lequel vient de legein, parler).

Lord Kelvin

(1824-1907)

Modèle de la matière: les atomes sont représentés par des tourbillons en forme de nœuds dont la nature détermine les propriétés de l'élément chimique, notamment l'absorption ou l'émission de lumière. Théorie abandonnée avec la connaissance de la classification de Mendeleïev (1869). 

Peter Guthrie  Tait

(1831-1901)

Collaborateur de Kelvin, et reprenant une idée du révérend Thomas Kirkman, il propose la première classification des nœuds jusqu'à dix croisements en y passant vingt ans de sa vie.

C.N. Little

En 1889, après six ans de travail, il publie une liste de 43 nœuds non-alternés de 10 croisements. En 1974, la liste est validée à deux nœuds près qui s'avérèrent identiques.

Il a aussi travaillé sur les nœuds à onze croisements.

Perko

Il a travaillé sur la duplication et a laissé son nom aux paires de Perko.

 

Henri Poincaré

(18(4-1912)

Fondateur de la topologie algébrique avec son ouvrage: Analysis Situ. Recherche d'invariants dans les transformations.

Alexander et Briggs

En 1927: preuve que tous les nœuds jusqu'à neuf croisements sont bien distincts. Seuls quelques uns impossibles à discriminer.

Ce sont les premiers à appliquer des invariants polynomiaux.

Kurt Reidemeister

En 1932: classification rigoureuse des nœuds jusqu'à neuf croisements.

Emil Artin

(1898-1962)

Le père de la théorie des tresses.

John Conway

En 1969, il invente une nouvelle notation des nœuds et détermine tous les nœuds jusqu'à onze croisements.

Ordre 16
(16 croisements)

En 1978, Alain Caudron (France) corrige quelques erreurs de la table de Conway

Hugh Dowker invente une nouvelle notation. Son application aa été programmée par Morwen Thistlethwaite qui aboutira à tous les nœuds jusqu'à l'ordre 12 en 1981 et 13 en 1982 puis plus tard, avec des ordinateurs plus puissants, jusqu'à 16.

Jim Hotste et Jeff Weeks, avec une méthode différente, arrivèrent aussi à l'ordre 16.

Vaughan Jones

Médaille Fields en 1984 pour son invention d'un nouvel invariant. Kauffman a démontré l'invariance du polynôme de Jones.

D'autres polynômes plus puissants ont été crées depuis comme celui de Homfly.

 

 

 

Nœuds mathématiques – Théorie

Équivalence

Deux nœuds sont équivalents si on peut amener l'un sur l'autre par déformation sans rompre la courbe.

Invariant

Quantité (ou même polynôme), qui associé à d'autres, permet de caractériser deux nœuds équivalents.

Aucun des invariants définis actuellement ne permet de décider si deux nœuds sont équivalents.

Cependant deux nœuds sont surement différent si leurs invariants sont différents.

Invariant avec les croisements

Invariant le plus classique. On recherche le nombre minimal de croisements. Ce qu'a fait Peter Tait.

Invariant avec polynôme

Les invariants polynômes caractérisent la suite des déformations d'un nœud (destructions de croissements, torsion vers la droite …)

Entrelacs

Enchevêtrement de nœuds. Un entrelacs à deux composantes est formé de deux cordes fermées.

Tresse (ou natte)

Théorie des tresses

Une tresse est formée de k brins qui réunissent 2k extrémités. Les brins peuvent passer les uns sur les autres, mais ne jamais revenir en arrière.

Somme de deux nœuds orientés

On coupe chacun et on recolle en respectant l'orientation.

Nœud premier

S'il est non trivial et si on ne peut pas le décrire comme somme de deux nœuds non triviaux.

Image miroir

Image obtenue en inversant tous les croisements.

Nombre gordien

Invariant obtenu en coupant la courbe autant de fois que nécessaire, mais un minimum de fois, pour aboutir à une boucle.

En théorie des nœuds, nombre qui permet de rendre compte de la complexité d'un nœud. "Il permet par exemple de contrôler un nombre qu'on appelle le nombre gordien et qui a un sens évident. On essaie de faire traverser un brin à travers un autre jusqu'à ce que le nœud soit dénoué, et on compte le nombre de brins qu'il faut faire traverser pour arriver à dénouer le nœud." — Jean-Pierre Changeux & Alain Connes, Matière à pensée, Odile Jacob, 1989. Source Wiktionnaire

 

Nœud trivial ou
non-noué

La circonférence d'un cercle ou toute autre déformation de celle- ci. Soit, une ficelle réunie aux extrémités, sans nœud. 

 

Nœud le plus classique

Le trèfle: nœud a trois croisements.

Anglais: Trefoil knot

 

Nœud de huit

Le nœud de huit est caractérisé par quatre croisements

Mouvements de Reidemeister

Trois mouvements qui préservent l'équivalence des nœuds.

Théorème fondamental de la théorie des nœuds

Deux nœuds sont équivalents si et seulement si on peut les transformer l'un dans l'autre par un nombre fini de mouvements de Reidemeister.

 

 

Quantité de nœuds différents

Tous les nœuds connus jusqu'à l'ordre 16 =>

Ne sont pas comptés les nœuds obtenus pas effet miroir s'ils sont équivalents.

On ne connait pas la quantité pour l'ordre 17.

On ne connait pas de formule prédisant la quantité de nœuds en fonction de l'ordre.

Curieusement, on ne sait pas démontrer qu'il y plus de nœuds à l'ordre suivant.

 

 

Types de nœuds

Le premier numéro donne la quantité de croisements (l'ordre).

L'indice est une simple indication pour distinguer les nœuds de même ordre.

 

Nœud de cravate

En 1999, Yong Mao et Thomas Fink (Université de Cambridge) comptaient 85 nœuds de cravate.

En 2014, une équipe de mathématicien, conduite par Mikael Vejdemo-Johansson de l'Institut Royal de Technologie de Stockholm, a calculé qu'il existe, en fait, 177 147  façon de nouer une cravate.

 

 

To tie the knot

Demande en mariage façon américaine: "je ne peux pas me marier sans toi à mes côtés. Veux-tu être ma femme?"

 

To tie the knot: lier le nœud, et au figuré, passer la corde au cou, se marier.

Voir Pensées & humour / Anglais – Bagage minimum

 

Nœud de Escher

Voir Escher

 

 Bilan

La théorie des nœuds est un domaine très vaste et pointu de la topologie. Voyez la définition mathématique du nœud:

Tout nœud est la frontière d'une surface orientée dans R3.

Domaine qui demeure à la pointe de la recherche tant les applications sont nombreuses.

*       l'ADN et son entrelacs des deux brins en spirale. Certains enzymes coupent les brins d'ADN pour les recoller autrement,

*       Chimie des polymères,

*       Mécanique statique,

*       Théorie quantique en boucles qui tente de réunir la théorie quantique et la théorie de la gravitation,

*       Étude du chaos et ses attracteurs étranges …

 

 

 

 

 

Suite

*    Croisements – Courbes

*    TopologieIndex

Voir

*      Combinatoire Index

*      Le problème des quatre couleurs

Livre

*      Nœuds marins – Critères de choix, usages, réalisation – Le mémo Vagnon du plaisancier – Alian Tardif – Vagnon - 2017

Sites

*      Théorie des maths – Wikipédia

*      Notions su la théorie des nœudsChronoMath

*      La théorie des nœuds – Christiane Rouseau – 1998

*      Des nœuds en mathématiques «du nœud gordien à la molécule d’ADN» - Jérôme Dubois

*      Les tresses : de la topologie à la cryptographie – Luis Paris – 2009 – Cnrs

*      Mes nœuds – Comment confectionner 125 types de nœuds.

Sites anglais

*      The KNOT BOOK – An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots – Colin C. Adams – 2004 – pdf 323 pages

*      Nombreux textes en tapant: knot theory pdf

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