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Diamant de Birkhoff

Carte présentant quatre régions hexagonales mitoyennes. Exemple de graphe utilisée à propos du théorème des quatre couleurs pour montrant la réductibilité.

Birkhoff diamond: a configuration of four adjoining pentagons surrounded by a ring of six countries

Diamant de Birkhoff simplifié
Ce graphe appelé diamant de Birkhoff simplifié. Parfois utilisé comme exercice en classe de terminale. Il comporte: 10 sommets, 20 arêtes, et 12 faces (y compris extérieure). Relation d'Euler 10 – 20 + 12 = 2
Chaine eulérienne Le graphe comporte quatre sommets de degré impair. Donc pas de chaine eulérienne. Donc, impossible de tracer ce graphe d'un seul coup de crayon. Par contre, en supprimant les deux arêtes verticales (pointillé bleu), tous les sommets sont pairs et la chaine est eulérienne.
Nombre chromatique K Longueur minimale d'un cycle = 3: Kmin = 3. Degré maximal des sommets = 5: Kmax = 6. L'algorithme pour colorer le graphe est le suivant: Choisir un sommet (en haut, par exemple), le mettre en rouge. Mettre en rouge, les plus proches sommets possibles, en évitant que deux nouveaux sommets rouges soient voisins. Choisir un nouveau sommet proche du premier, le mettre en bleu. Mettre en bleu tous les plus proches possibles non voisins. Recommencer jusqu' finalisation.	Le nombre chromatique du graphe de Birkhoff simplifié est égal à 3.

Diamant de Birkhoff (le vrai)
Le diamant de Kirkhoff est une réunion de quatre pays en forme de pentagones, entourés d'un anneau de six pays. Cette carte est particulière dans le sens où les quatre régions centrales ont cinq voisins. La figure montre que quatre couleurs suffisent pour la colorer.
Voici le graphe dual du diamant de Birkhoff. Il comporte: 10 sommets, 21 arêtes, et 13 faces (y compris extérieure). Relation d'Euler 10 – 21 + 13 = 2 Intérêt Ce graphe est triangulé et il comporte quatre sommets voisins de degré 5. En 1913, Birkhoff a prouvé sa réductibilité. Il faut noter que le degré des six autres sommets est inconnu (faisant partie d'un graphe plus grand).
Voir graphe de Petersen K = 3

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