NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Nombres (Classification)

Ulam

Chanceux d'Ulam

Mian-Chowla

Sylvester

 

Sommaire de cette page

>>> Caractéristiques de la suite

>>> Termes de la suite de Sylvester

>>> La somme des inverses est convergente

>>> Programmation

 

 

 

 

 

Suite de SYLVESTER – Caractéristiques

Famille

Nombre / Produit / Itération

Définition

 

Nommés aussi nombres d'Euclide

La suite de Sylvester est définie par le produit de tous les termes précédents plus 1.

 

Les premiers

1  (souvent considéra comme non appartenant à la suite)

1 + 1 = 2 (est souvent noté comme s0 )

1 x 2 + 1 = 3

1 x 2 x 3 + 1 = 7

1 x 2 x 3 x 7 + 1 = 43

1 x 2 x 3 x 7 x 43 + 1 = 1 807

3 263 443

10 650 056 950 807

113 423 713 055 421 844 361 000 443

Récurrence

 

       7 =    3 x 2   + 1 =   3 (  3 – 1) + 1

     43 =    7 x 6   + 1 =   7 (  7 – 1) + 1

1 807 = 43 x 42 + 1 = 13 (43 – 1) + 1

Relation à noter

Construction

 

Propriétés

 

Croissance en exponentielle double: l'exposant de l'exponentielle est lui-même une exponentielle.

E = 1,264084735306… la constante de Vardi

 

La somme des inverses converge vers 1 et cela plus vite que toute autre suite.

 

La décomposition en facteurs premiers n'est connue que pour les premiers termes. (Voir le tableau ci-dessous)

 

Les nombres de la suite sont mutuellement premiers entre eux.

 

La somme réduite (celle de la preuve par 9) des termes de la suite de Sylvester est égale à 7. Ex: 1807 => 1 + 8 + 0 + 7 => 9 + 7 => 7.
Voir vérification par programme. Preuve par récurrence possible.

Historique

Vers 1880, James Sylvester (1814-1897) étudie les propriétés de cette suite.

Anglais

Sylvester's sequence is an integer sequence (Si) where S0 is 2, and S=i is one plus the product of all i previous terms: Si = S0 S1 …Si + 1.

The sequence begins 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443.

The empty product of no terms is 1, so S0 = 1 + 1 = 2 is a natural start.

 

 

Termes de la suite de Sylvester

Les quatre premiers termes (2, 3, 7 et 43) sont premiers.

La numérotation commence  avec a(0) = 2;

Ainsi a(4) = 1 807 = 13 x 139.

P68 = nombre premier de 68 chiffres; C416 = nombre composé de 416 chiffres

Les 44 chiffres du facteur de S10 a été trouvé par Ken Takusagawa.

On connait le statut des nombres jusqu'à S29 et au moins un des facteurs.

Suite de cette table sur la page de Jens Kruse Andersen.

.

 

 

La somme des inverses est convergente

Propriété

La somme des inverses de la suite de Sylvester tend vers 1.

 

Voir Fractions égyptiennes (fraction avec numérateur unité)

Somme des inverses

Avec la relation vue ci-dessus et pour n termes

Un terme chassant le suivant  et S0 = 2

Pour n tendant vers l'infini

Visualisation de la somme des inverses de la suite de Sylvester

 

Chaque carré à la dimension de 1/n. Son aire est donc (1/n)² et étant en quantité n, l'aire d'une bande est égale à 1/n.

En rouge, les bandes suivantes non représentées car trop petites.

L'ensemble des bandes couvre un carré de côté unité.

Anglais : sum of reciporcal of Sylvester sequence

 

Programmation (Maple)

 

Programme donnant Sn et sa factorisation

 

 

Commentaires

Mise au propre au démarrage avec restart.

La suite s commence par 2 et cette valeur est placée dans la liste L.

Boucle pour le calcul des huit premiers nombres de la suite.

On place la quantité de terme de la suite L dans q (nops = number of operands).

Calcul du terme suivant de la suite avec une séquence en mul qui prend chaque terme de rang i pour i de 1 à q et les multiplie.

La liste est mise à jour en y incluant le nouveau terme calculé.

Demande d'impression (lprint) du rand n, du nombre de Sylvester s et de la factorisation de ce terme.

 

Résultats

Pour huit termes, la réponse (en bleu) est immédiate.

Le calcul du neuvième exige une belle machine.

 

Les valeurs du tableau ci-dessus sont extraites des tableaux trouvés sur Internet.

 

 

Programme donnant Sn et la somme des chiffres

 

Commentaires

Même programme que ci-dessus jusqu'à la sixième ligne.

 

Dans S, on place la conversion décimale du nombre S de Sylvester. Cette opération a pour effet de donner la liste de tous les chiffres de S.

La quantité de chiffres et mémorisée en qS.

 

Les chiffres  S[i] sont additionnés pour i de 1 à qS. On calcule le reste de la division par 9 er C7

 

Impression avec lprint.

 

 

 

Résultats

À l'exception des deux premiers nombres de la suite (2 et 3), la somme réduite des nombres de Sylvester est égale à 7.

 

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

Suite

*         Nombres chanceux d'Ulam

*         Nombre chanceux d'Euler

*         Nombre chanceux par plage

Voir

*         Crible d'Ératosthène

DicoNombre

*         Nombre 1,2640…

*         Nombre 7

*         Nombre 43

*         Nombre 1 807

*         Nombre 3 262 443

Sites

*         Suite de Sylvester – Wikipédia

*         Sylvester's sequence – Wolfram MathWorld

*         OEIS A000058 – Sylvester's sequence: a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, with a(0) = 2

*         Factorization of Sylvester's sequence – Jens Kruse Andersen – 2012

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPSEQUE/Sylveste.htm