Anglais: Casting out nines

 

 

 

 

Je me souviens que tous les nombres dont les chiffres donnent un total de neuf sont divisibles par neuf. Parfois je passais des après-midi à le vérifier...              Georges Perec

Voir   Pensées & humour

 

 

Magie!

Si on soustrait ses chiffres à un nombre, le résultat est toujours divisible par 9. 

Voir Explications / MagieIndex 

 

 

 

Définition

PREUVE

*        Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul.

*        Procédé pratique permettant de contrôler rapidement l'exactitude d'une opération.

Preuve par 9

*        La preuve par 9 est la méthode

la plus connue,

car la plus pratique.

*        Elle est basée sur la propriété de congruence des nombres modulo 9.

Un entier est congru modulo 9

à la somme de ses chiffres

 

Ce qui veut dire:

Un nombre divisé par 9 donne le même reste
que la somme de ses chiffres divisée par 9.

 

Nombre

   12 345

La somme de ses chiffres

   1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Division par 9

   12345 / 9 donne 6

Division par 9

   15 / 9       donne 6

Le nombre 12 345 donne 6 comme reste de sa division par 9.

La somme de ses chiffres 15 donne 6 comme reste de sa division par 9.

 

 

 

Un bon don des mathématiques!

Si une opération est juste,

son image avec les restes de la division par 9

est également juste.

 

Une addition, par exemple:

Opération: 12 + 34 = 46

Images:       3  +   7 = 10

Exemple pratique

 

Multiplication

 

Nombres

 

Restes

  2 4

 

6

x  1 2

 

x 3

  4 8

 

 

2 4

 

 

2 8 8

=> 9

18

 

=> 0

=> 0

 

Astuce!

Pour vérifier l'égalité, souvenez vous que les 9 disparaissent, mais vous pouvez en ajouter, notamment pour éviter les nombres négatifs.

 

Ex: 4045 – 2095 = 1950

      4         7 =  –3 à comparer à 6 obtenu avec 1950.

  En ajoutant 9, l'égalité est bien là: –3 + 9 = 6.

 

Attention

Attention.jpg

*        Une preuve non réussie est témoin d'une erreur de calcul. C'est une certitude. Par contre …

*        Une preuve réussie n'est pas certitude de justesse, mais seulement bonne présomption d'exactitude.

*        La preuve par neuf est basée sur la somme des chiffres. Or, cette somme est la même quel que soit l'ordre des chiffres.

Avec la multiplication ci- dessus, en inversant les chiffres: 42 x 12 = 288. Vous aurez un test positif (6 x 3 = 18  0), alors que l'opération est fausse: 42 x 12 = 504.

 

 

Une inversion (ou des inversions) de chiffres conduisent à un test positif de la preuve par neuf.

 

Suite avec exemples

 

Anglais

*        Proof

Casting out nines.

*        Because 9 is one less than the base of our number system, it is easy to see if a number is divisible by 9 by adding the digits and repeating on the result if necessary.

*        When you were learning your multiplication tables you might have noticed that:

*    if you were dividing a 2-digit number by 9,

*    you could check to see if the two digits add up to 9, and

*    if they do, the answer is the first digit plus 1, or 10 minus the last digit.

*    Ex: 72 / 9 =   7 + 1 = 8  or
       72 / 9 = 10 – 2 = 8 

Suite pratique

 

*            Nombre 9

*            Divisibilité par 9

*            Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique

*            Multiplication par 9

*            Preuve par 9

*    Débutants

*    Calculs pratiques

*    FAQ – La preuve par neuf

*    Racine carrée

*    Magie avec la preuve par neuf

*    Théorie – Pourquoi ça marche?

*    Tables de multiplication vues autrement

*    Les nombres parfaits donnent 1

*    Les factorielles et la preuve par 9

*            Racine numérique

*            Preuve par 11

*            Divisibilité

*            L'arithmétique de l'horloger

*            Modulo  & congruence

*            Curiosité avec 9

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosP/Preuve.htm

 

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Cas de preuve par neuf vraie pour des opérations fausses

 

Énoncé

*        Une inversion de chiffres dans une opération (ou plusieurs, d'ailleurs) passe à travers la preuve par neuf sans détecter l'erreur.

*    Si la preuve par neuf est fausse, c'est sûr il y a une erreur quelque part.

*    Si elle est juste, il est sûr qu'il n'y pas une erreur minime courante comme l'oubli d'une retenue.

*    Par contre, il peut y avoir une erreur du type inversion de chiffres, c'est vrai.

*    Ou même des erreurs qui se compensent pour aboutir à une somme de 9 (comme l'exemple à droite sur le tableau ci-dessous).

Tableau d'exemples

 

*        Ces exemples simples sont volontairement outranciers. Mais, ce serait moins visible sur de grandes séries d'opérations.

 

Conclusion

*        Si l'écart entre le résultat vrai et le résultat faux est un multiple de 9, il s'agit:

*    très probablement d'une erreur d'inversion de chiffres ou,

*    beaucoup plus rarement, de plusieurs erreurs qui se cumulent pour former un multiple de 9.

 

Merci pour cette contribution à Candice M.

 

 

 

 

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Le saviez-vous?

 

Remarques simples pour bien comprendre la preuve par neuf

Vous êtes très nombreux à m'écrire pour vous étonnez de ces propriétés.

 

Propriétés

Exemple

Preuve par neuf

Formulation

*        Soit un nombre N.
On multiplie par 9.

La somme des chiffres est un multiple de 9

soit 9 ou 0 en preuve par neuf

 

123   x 9 =   1107

1234 x 9 = 11106

4321 x 9 = 38889

 

 

=> 1 +1 +0 + 7 = 9

=> 1 + 1 + 1 + 0 + 6 = 9

=> 3 + 8 = 11 => 2;
      2 + 8 = 10 => 1; 1 + 8 = 9

P9 (Ch 9N) = 0

*        Soit un nombre N.
On multiplie par 9.
On lui ajoute la somme de ses chiffres

Ce nouveau nombre est divisible par 9

 

456 x 9 =4104 

4104 + 4 + 1 + 0 + 4 = 4113

 

 

=> 4 + 1 + 1+ 3 = 9

P9 (9N + Ch 9N) = 0

*        Soit un nombre N.
On lui soustrait la somme de ses chiffres

Ce nouveau nombre est divisible par 9

 

789 – (7 + 8 + 9) = 765

 

=> 7 + 6 = 13 =>  4 ;  4 + 5 = 9

P9 (N - Ch N) = 0

*        Soit un nombre N.
On lui soustrait son retourné

Ce nouveau nombre est divisible par 9

 

987 – 789 = 198

 

=> 1 + 8 = 9

P9 (N - R) = 0

 

*        Prenez un nombre de k chiffres, son prédécesseur et son successeur. Concaténez ces nombres et même les chiffres, comme vous voulez. Le nombre formé  est divisible par 3

978, 979 et 980

 

978 979 980

980 979 978

999 977 880

=> 7 + 7 + 8 + 8 = 30

=> 3

*        Idem avec comme nombre de départ (nombre central) un multiple de 3.

977, 978, 979

 

977 978 979

999 977 778

=> 7 + 7 + 7  + 7 + 8 = 36

=> 3+ 6 = 9

Voir Somme des chiffres des puissances

 

 

 

Magie

 

Le tour

 

*        Prendre un nombre quelconque. 

-         Multiplier par 9.

-         Retirer 5.

-         Ajouter les chiffres.

-         Recommencer pour obtenir un seul chiffre.

*        Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet.

-         Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre.

*        Sans que tu me dises quoi que ce soit,
je suis capable de donner un fruit dont le nom
commence par la dernière lettre du pays.

Voir Solution

Voir Autres magie avec 9: multiplication pyramide / Tour simple / Je devine le chiffre

 

 

 

 

Magie – Solution

Le tour

Exemple

Explications

*  Prendre un nombre quelconque.

*  Multiplier par 9.

*  Retirer 5.

*  Ajouter les chiffres.

*  Recommencer pour obtenir un seul chiffre.

   123 456

1 111 104

1 111 099

1+1+1+1+9+9 = 22

2 + 2 + 4

Preuve par neuf

donne 9

 

*  Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet.

*  Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre.

*  Sans que tu me dises quoi que ce soit
Je suis capable de donner un fruit dont le nom commence par la dernière lettre du pays.

4 => D

Danemark

 

 

K = kiwi

 

Seul pays

avec D

 

Seul fruit

avec K

*  Vous aurez retenu la propriété de la preuve par 9.

*  Le nombre multiplié par 9 donnera

*  En retranchant 5, nous aurons toujours

Tour faisable qu'une seule fois !

 

9

5

4

 

 

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Donné par Bernard Werber - Nous les Dieux – 2004

 

Voir Autres tours de magieIndex