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Édition du: 28/10/2021

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NOMBRES CHANCEUX

Chanceux

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Nombres CHANCEUX d'Euler

 

Quantité maximale de nombres premiers successifs donnés par le polynôme x² – x + n.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres chanceux d'Euler 

Débutants

Nombres premiers

 

Glossaire

Nombres premiers

 

 

Nombres chanceux d'Euler

haut

 

Contrairement aux nombres chanceux d'Ulam qui résultent d'un tri par crible, ceux d'Euler tient à une  propriété face aux nombres premiers.

 

Nombres n tels que le polynôme

x² – x + n

       prend des valeurs premières pour tout x entier compris entre 0 et n – 1.

 

H.M. Stark (né en 1939) a montré en 1967 qu'il n'en existe pas d'autres que les cinq indiqués ci-contre, lesquels étaient déjà connus d'Euler.

 

Sous cette forme, il n'y a donc pas mieux que le polynôme d'Euler avec n = 41.

 

Le nom a été donné par François Le Lionnais (1901-1984).

2

 

3

 

5

 

11

 

17

 

41

Voir Euler – Biographie (1707-1783)

 

 

Exercice de classe de première

Problème

Avec le polynôme x² – x + 41, pour quelle valeur de n positive prend-il la valeur 1447, un nombre premier ?

Solution

Il s'agit d'une équation du deuxième degré:
x² – x – 1406 = 0

Premier constat: coefficient de x = 1: la somme des deux racines est égale à 1 = a  + b. L'une vaut a et l'autre 1 – a.

La calculette me donne racine de 1406 ≈ 37, 5.

Les racines sont 38 et -37.

Réponse avec la valeur positive n = 38.

 

Note avec  x² + x + 41, les deux racines seraient 37 et -38 et n = 37.

 

Question subsidiaire: solution de x² – x + 41 = 100 ?

Équation: x² – x – 59 = 0

On fait appel au discriminant: (–1)² – 4  x 1 x (–59) = 237

Ce n'est un carré, les racines ne sont pas des nombres entiers.

Valeurs des racines:

 

 

 

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Formules

Tables

n² + n + 41

Bilan

Efficacité

a . n² + b

 

 

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Site

*      Nombres chanceux d'Euler – Wikipédia

*      Lucky Number of Euler – Wolfram MathWorld

*      OEIS A014556 – Euler's "Lucky" numbers: n such that m^2-m+n is prime for m=0..n-1

*      OEIS A005846 – Primes of the form n^2 + n + 41

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Euler.htm