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POINTS
de LAGRANGE La Terre
tourne autour du Soleil. Phénomène dû à
la gravitation qui engendre également cinq points privilégiés, nommés points de
Lagrange. Un corps (satellite)
placé en l'un de ces points est en équilibre. Le problème général consiste à
trouver la position des cinq points d'équilibre d'un corps face à deux corps
plus gros, l'un tournant autour de l'autre (comme la Terre autour du Soleil). Impliquant gravitation
et force centrifuge, le calcul n'est
faisable qu'à l'aide d'équations
différentielles. Il n'est pas interdit d'essayer d'en avoir une idée
intuitive. |
Anglais: The Lagrangian Points / The Circular Restricted Three-Body Problem
Le point neutre de Jules Verne
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Extrait du livre: De la Terre à la
Lune de Jules Verne (1865) |
Voir Calcul du point
neutre / Romans
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Explication générale Un corps situé entre la Terre et le Soleil
est soumis à l'attraction gravitationnelle
de l'un et de l'autre. Il existe un endroit où ces forces sont égales. C'est
un point neutre, un point théorique. En effet, ce point situé sur le
rayon Soleil-Terre, se déplace en même temps que ce rayon. Il est soumis à
une force centrifuge. En dynamique, sa position n'est plus la même. C'est le point de Lagrange.
D'une
manière générale deux corps importants (Soleil et Terre ou Terre et Lune; ou
autres), en mouvement l'un autour de l'autre, créent cinq points d'équilibre
pour un troisième corps nettement plus petit. On sait qu'un troisième
corps de masse plus importante
engendrerait un système chaotique. Les cinq
points sont synchrones du mouvement de la Terre (ils tournent avec elle).
Trois des points sont sur la ligne Soleil-Terre et les deux autres sont sur
l'orbite de révolution, à égale distance des deux corps.
C'est le mathématicien Joseph Lagrange qui a découvert ces cinq
points lorsqu'il étudia justement le problème des trois corps, restreint à un
troisième de masse négligeable par rapport aux deux autres. Trois points sont sur l'axe
Soleil-Terre et deux sont situés à 60° sur l'orbite de la Terre. |
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Voir Brève
810
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Ce point est sans doute le plus
simple à imaginer puisqu'il est situé sur la ligne reliant les centres du
Soleil et de la Terre et, en une position reflétant un équilibre gravitationnel
basé sur le rapport des deux masses. Sans autre action, ce point en
mouvement en même temps que la Terre, devrait continuer sa trajectoire en
ligne droite. Or, il tourne autour du Soleil comme le fait la Terre. Il est
donc soumis à une force centrifuge que l'on peut voir comme une force de
gravité résiduelle qui le maintient sur sa trajectoire circulaire.
Conséquence: le point L1 n'est pas tout à fait au point d'équilibre statique
(point neutre). Dans le cas de la Lune, qui présente
toujours la même face à la Terre, un satellite en L1 serait stationnaire. Ce point de Lagrange n'est pas
stable. Il est un peu comme un crayon en équilibre sur sa pointe. Si le corps
en L1 est légèrement déplacé vers la Terre, l'attraction reprend
le dessus. Le corps se déplace encore plus et, cela de plus en plus. Le corps
peut aller en collision, ou être éjecté ou reprendre une trajectoire stable. |
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Ces deux points sont également sur
la droite Soleil-Terre, à l'extérieur de la zone Soleil-Terre. Mais, pourquoi
ces points existent-ils? Le long de la ligne Soleil-Terre la gravité
est la conjugaison de deux effets: celui du Soleil, une sphère, laquelle peut
être réduite en un point (c'est la masse qui importe, pas le volume); on
retrouve la même chose pour la Terre (elle aussi est une sphère). En étant
placé sur la ligne Soleil-Terre, la gravité exercée est équivalente à la
somme des masses placées au centre
de gravité de l'ensemble (barycentre). Avec ce système, réduit en une sorte
de "ligne" en rotation, il existe un point sur la ligne, et de chaque côté du centre,
qui peut tourner en synchronisme, à condition de se trouver sur l'orbite
stationnaire: ni trop près du centre pour ne pas être attiré et plonger; ni
trop loin auquel cas il s'échapperait. Tout se passe comme si, un satellite
en ce point était en orbite autour du centre de masse. Alors que L3 est assez
isolé dans l'espace, le point L2 est intéressant du fait de sa
position derrière le Soleil ou derrière la face cachée de la Lune. Comme L1, ces deux points
sont en position instable. Cependant l'énergie nécessaire pour maintenir un
objet dans ces positions est faible. Le télescope
James Webb sera positionné au point L2 à 1, 5 million de km de
la Terre. |
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Malgré leurs positions géométriques
remarquables, ces deux points sont plus difficiles à saisir. Les trois corps
impliqués sont exactement à la même distance les uns des autres (triangle
équilatéral). Imaginons deux corps de même masse (figure de gauche). Alors un corps sur
la médiatrice du segment reliant les deux corps est attiré latéralement de la
même manière, laissant agir seule une composante dirigée vers le centre. Tout
se passe comme si une Sans faire les calculs, on peut
comprendre l'effet du déplacement du centre de masse (figure de droite) du fait de la présence d'un astre plus
important que l'autre. La force d'attraction est toujours dirigée vers le
centre de masse, alors que, en latéral, le gros "lâche" de
l'attraction et le petit doit, au contraire, en "ajouter". La
figure ci-dessus montre précisément
l'équilibre des forces. Les calculs montrent que la géométrie du triangle
équilatéral est conservée. Contrairement aux trois autres ces
deux points sont stables. Tout au plus, un corps dans cette zone décrira de
petites rotations sans être éjecté. |
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Une idée de la répartition du
potentiel de gravité
Source NASA
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Ce tableau donne les formules de
calcul approché des coordonnes x et y des cinq points et deux applications
numériques aux cas du Soleil-Terre et Terre-Lune. Les
coordonnées ont pour origine de centre de masse (G) des deux corps.
Notez que les deux centres de masse sont situés à
l'intérieur de l'astre lui-même. Pendant que le plus petit se déplace
sur son orbite, le plus gros décrit lui aussi une toute petite orbite. Wikipédia
(français) et Wikipedia
(anglais), donnent des formulations complémentaires (termes supplémentaires
ou autres origines de calcul). Selon les auteurs les valeurs
numériques varient légèrement. Approximations dans la formulation des
solutions et surtout moyenne de valeurs sur des orbites elliptiques. En
effet, les solutions nécessitent de résoudre une équation quintique. Avec les données ci-dessus, le point
L1 se situe à 1 496 076 km de la Terre. Une autre source donne: 1 507 717 km. |
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Parmi les cinq points de Lagrange,
dans le cas du système Soleil-Jupiter,
les points L4 et L5 sont peuplés de nombreux astéroïdes
dits troyens. Ce nom est général à tous les
astéroïdes logés en ces deux points pour d'autres planètes ou même pour une planète et ses satellites. Recensement
en fin 2016
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Données Soleil, Terre et
Lune: objets
sphériques. Calculs |
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Force
gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet sphérique de masse m. |
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Force
gravitationnelle exercée par la Lune sur cet objet. |
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Point
neutre (forces opposées: même direction, sens opposé et même valeur) |
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Simplification. |
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Le point
neutre est au 9 /10 de la distance
Terre-Lune. |
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Cas point
neutre entre Soleil et Terre. |
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Le point
neutre est au 577 /10 de la distance
Terre-Lune |
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Conclusion |
Dans les
deux cas le point neutre ne représente pas du tout le point L1. l'effet de la force centrifuge est loin
d'être négligeable. |
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La colonisation des points de
Lagrange est un thème abordé dans les ouvrages de science-fiction portant sur
la colonisation de l'espace. Ces points présentent deux avantages
: un objet artificiel installé là a besoin de peu d'énergie pour s'y
maintenir et il se situe à un emplacement idéal dans l'espace pour rejoindre
les deux objets célestes auxquels il est associé. |
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A
mechanical system with three objects, say the Earth, Moon and Sun,
constitutes a three-body problem. The
three-body problem is famous in both mathematics and physics circles, and
mathematicians in the 1950s finally managed an elegant proof that it is impossible to solve. However, approximate
solutions can be very useful, particularly when the masses of the three
objects differ greatly. |
Le
problème des trois corps s'applique à un
système mécanique comprenant trois objets, par exemple: le Soleil, la Terre
et la Lune. Ce problème est bien connu dans le milieu des mathématiques et de
la physique. Dans les années 1950, les mathématiciens ont prouvé de façon
élégante qu'il est impossible à résoudre.
Cependant, moyennant approximations, il existe des solutions utiles,
notamment quand les masses des trois objets sont vraiment différentes.
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