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Sommaire de cette page

>>> Approche – Les cinq points

>>> Point L1

>>> Points L2 et l3

>>> Points L4 et L5

>>> Points de Lagrange – Coordonnées

>>> Système Terre-Lune

>>> Troyens

>>> Point neutre

>>> Colonisation

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

POINTS de LAGRANGE

 

La Terre tourne autour du Soleil. Phénomène dû à la gravitation qui engendre également cinq points privilégiés, nommés points de Lagrange. Un corps (satellite) placé en l'un de ces points est en équilibre.

Le problème général consiste à trouver la position des cinq points d'équilibre d'un corps face à deux corps plus gros, l'un tournant autour de l'autre (comme la Terre autour du Soleil).

Impliquant gravitation et force centrifuge, le calcul n'est faisable qu'à l'aide d'équations différentielles. Il n'est pas interdit d'essayer d'en avoir une idée intuitive.

Anglais: The Lagrangian Points / The Circular Restricted Three-Body Problem

 

Le point neutre de Jules Verne

Extrait du livre: De la Terre à la Lune de Jules Verne (1865)

Voir Calcul du point neutre  / Romans

 

 

Approche – Les cinq points

 

Explication générale

Un corps situé entre la Terre et le Soleil est soumis à l'attraction gravitationnelle de l'un et de l'autre. Il existe un endroit où ces forces sont égales. C'est un point neutre, un point théorique.

En effet, ce point situé sur le rayon Soleil-Terre, se déplace en même temps que ce rayon. Il est soumis à une force centrifuge. En dynamique, sa position n'est plus la même. C'est le point de Lagrange.

 

D'une manière générale deux corps importants (Soleil et Terre ou Terre et Lune; ou autres), en mouvement l'un autour de l'autre, créent cinq points d'équilibre pour un troisième corps nettement plus petit. On sait qu'un troisième corps  de masse plus importante engendrerait un système chaotique.

 

Les cinq points sont synchrones du mouvement de la Terre (ils tournent avec elle). Trois des points sont sur la ligne Soleil-Terre et les deux autres sont sur l'orbite de révolution, à égale distance des deux corps.

 

C'est le mathématicien Joseph Lagrange qui a découvert ces cinq points lorsqu'il étudia justement le problème des trois corps, restreint à un troisième de masse négligeable par rapport aux deux autres.

 

 

Le point L1 – Exemple Soleil-Terre

 

Ce point est sans doute le plus simple à imaginer puisqu'il est situé sur la ligne reliant les centres du Soleil et de la Terre et, en une position reflétant un équilibre gravitationnel basé sur le rapport des deux masses.

Sans autre action, ce point en mouvement en même temps que la Terre, devrait continuer sa trajectoire en ligne droite. Or, il tourne autour du Soleil comme le fait la Terre. Il est donc soumis à une force centrifuge que l'on peut voir comme une force de gravité résiduelle qui le maintient sur sa trajectoire circulaire. Conséquence: le point L1 n'est pas tout à fait au point d'équilibre statique (point neutre).

Dans le cas de la Lune, qui présente toujours la même face à la Terre, un satellite en L1 serait stationnaire.

 

Ce point de Lagrange n'est pas stable. Il est un peu comme un crayon en équilibre sur sa pointe. Si le corps en L1 est légèrement déplacé vers la Terre, l'attraction reprend le dessus. Le corps se déplace encore plus et, cela de plus en plus. Le corps peut aller en collision, ou être éjecté ou reprendre une trajectoire stable.

 

 

Points L2 et L3

 

Ces deux points sont également sur la droite Soleil-Terre, à l'extérieur de la zone Soleil-Terre. Mais, pourquoi ces points existent-ils?

Le long de la ligne Soleil-Terre la gravité est la conjugaison de deux effets: celui du Soleil, une sphère, laquelle peut être réduite en un point (c'est la masse qui importe, pas le volume); on retrouve la même chose pour la Terre (elle aussi est une sphère). En étant placé sur la ligne Soleil-Terre, la gravité exercée est équivalente à la somme des masses placées au centre de gravité de l'ensemble (barycentre).

Avec ce système, réduit en une sorte de "ligne" en rotation, il existe un point  sur la ligne, et de chaque côté du centre, qui peut tourner en synchronisme, à condition de se trouver sur l'orbite stationnaire: ni trop près du centre pour ne pas être attiré et plonger; ni trop loin auquel cas il s'échapperait. Tout se passe comme si, un satellite en ce point était en orbite autour du centre de masse.

 

Alors que L3 est assez isolé dans l'espace, le point L2 est intéressant du fait de sa position derrière le Soleil ou derrière la face cachée de la Lune.

Comme L1, ces deux points sont en position instable. Cependant l'énergie nécessaire pour maintenir un objet dans ces positions est faible.

 

Le télescope James Webb sera positionné au point L2.

 

 

 

Points L4 et L5

 

Malgré leurs positions géométriques remarquables, ces deux points sont plus difficiles à saisir. Les trois corps impliqués sont exactement à la même distance les uns des autres (triangle équilatéral).

 

Imaginons deux corps de même masse (figure de gauche). Alors un corps sur la médiatrice du segment reliant les deux corps est attiré latéralement de la même manière, laissant agir seule une composante dirigée vers le centre. Tout se passe comme si une certaine masse au centre (G) attirait le corps. Un corps positionné sur cette médiatrice y restera s'il est en position d'orbite stationnaire. Bilan, avec deux masses égales, le corps trouve deux positions d'équilibre en L4 et L5.

Sans faire les calculs, on peut comprendre l'effet du déplacement du centre de masse (figure de droite) du fait de la présence d'un astre plus important que l'autre. La force d'attraction est toujours dirigée vers le centre de masse, alors que, en latéral, le gros "lâche" de l'attraction et le petit doit, au contraire, en "ajouter". La figure ci-dessus montre précisément  l'équilibre des forces. Les calculs montrent que la géométrie du triangle équilatéral est conservée.

 

Contrairement aux trois autres ces deux points sont stables. Tout au plus, un corps dans cette zone décrira de petites rotations sans être éjecté.

 

 

Une idée de la répartition du potentiel de gravité

Source NASA

 

POINTS DE LAGRANGE – Coordonnées

 

Ce tableau donne les formules de calcul approché des coordonnes x et y des cinq points et deux applications numériques aux cas du Soleil-Terre et Terre-Lune.

Les coordonnées ont pour origine de centre de masse (G) des deux corps.

 

 

Notez que les deux centres de masse sont situés à l'intérieur de l'astre lui-même.

Pendant que le plus petit se déplace sur son orbite, le plus gros décrit lui aussi une toute petite orbite.

Wikipédia (français) et Wikipedia (anglais), donnent des formulations complémentaires (termes supplémentaires ou autres origines de calcul).

Selon les auteurs les valeurs numériques varient légèrement. Approximations dans la formulation des solutions et surtout moyenne de valeurs sur des orbites elliptiques. En effet, les solutions nécessitent de résoudre une équation quintique.

 

Avec les données ci-dessus, le point L1 se situe à 1 496 076 km de la Terre.

Une autre source donne: 1 507 717 km.

 

 

 

Système TERRE-LUNE

 

Données chiffrées

 

 

Astéroïdes TROYENS

 

Parmi les cinq points de Lagrange, dans le cas  du système Soleil-Jupiter, les points L4 et L5 sont peuplés de nombreux astéroïdes dits troyens.

Ce nom est général à tous les astéroïdes logés en ces deux points pour d'autres planètes ou même pour une planète et ses satellites.

 

Recensement en fin 2016

 

 

 

Point neutre – Calcul théorique

Données

 

Soleil, Terre et Lune:

objets sphériques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calculs

Force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet sphérique de masse m.

Force gravitationnelle exercée par la Lune sur cet objet.

Point neutre (forces opposées: même direction, sens opposé et même valeur)

Simplification.

Le point neutre est au 9 /10  de la distance Terre-Lune.

Cas point neutre entre Soleil et Terre.

Le point neutre est au 577 /10  de la distance Terre-Lune

Conclusion

Dans les deux cas le point neutre ne représente pas du tout le point L1.  l'effet de la force centrifuge est loin d'être négligeable.

 

 

 

Colonisation

 

La colonisation des points de Lagrange est un thème abordé dans les ouvrages de science-fiction portant sur la colonisation de l'espace.

Ces points présentent deux avantages : un objet artificiel installé là a besoin de peu d'énergie pour s'y maintenir et il se situe à un emplacement idéal dans l'espace pour rejoindre les deux objets célestes auxquels il est associé.

 

 

 

English corner

A mechanical system with three objects, say the Earth, Moon and Sun, constitutes a three-body problem. The three-body problem is famous in both mathematics and physics circles, and mathematicians in the 1950s finally managed an elegant proof that it is impossible to solve. However, approximate solutions can be very useful, particularly when the masses of the three objects differ greatly.

Le problème des trois corps s'applique à un système mécanique comprenant trois objets, par exemple: le Soleil, la Terre et la Lune. Ce problème est bien connu dans le milieu des mathématiques et de la physique. Dans les années 1950, les mathématiciens ont prouvé de façon élégante qu'il est impossible à résoudre. Cependant, moyennant approximations, il existe des solutions utiles, notamment quand les masses des trois objets sont vraiment différentes.

 

 

 

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Livre

*    De la Terre à la Lune – Jules Verne

Sites

*    Points de Lagrange – Wikipédia

*    Colonisation des points de Lagrange – Wikipédia

*    Les points de Lagrange – Jean-Pierre Martin – Voir cette page pour ceux qui veulent comprendre le calcul de la position des points de Lagrange

*    The Lagrange Points and You – Terry Hancock

*    The Lagrange Points – Neil J. Comish – Nasa – Ce document montre la complexité du calcul

*    The Lagrange PointsSpaceacademy – Calculs et valeurs pour trois systèmes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Cosmogra/Lagrange.htm