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DicoMot

DicoNombre

BARYCENTRE / Centre de Gravité

 

 

 

Définition

*        Le centre de gravité d'un corps est le point par lequel un corps tient en équilibre.

*    La fourchette posée sur mon index tendu tient en équilibre en son centre de gravité.

*    C'est aussi le point où s'applique l'action de la pesanteur.

 

*        Le barycentre est une généralisation de la notion de centre de gravité dans le domaine des mathématiques.

Voir vocabulaire: Centre de gravité / centre de masse / centre d'inertie / centre géométrique …

 

 

 

 

Approche

 

*        Tout est une question d'équilibre.
Prenons une tige homogène de 20 cm de long, son point d'équilibre se situe en son milieu.

 

 

 

*        Que se passe-t-il si on place des masses aux extrémités?

-         Évidemment, si les masses sont différentes, le point d'équilibre n'est plus au milieu!

-         Supposons une masse double à gauche par rapport à celle de droite.

-         Il faudra déplacer le couteau (symbolisé ici par un triangle équilatéral) vers la masse la plus importante, donc vers la gauche.

-         Le fléau sera plus court à gauche qu'à droite dans le rapport des masses (voir le calcul ci-contre).

 

 

 

 

*        Le barycentre est une sorte de moyenne pondérée.

 

Barre simple

 

 

 

 

 

Barre avec masses
(comme une balance)

 

 

Calcul

Alors 3 x  = 20  et

x = 6,66… et y = 13,33…

 

 

Isobarycentre

 

*        Isobarycentre: l'isobarycentre G de trois points (A, B, C) est l'unique point tel que 

 

*        Où se trouve l'isobarycentre d'un triangle?

 

On construit le parallélogramme CGBA" de manière à faire apparaître la somme des vecteurs GB et GC (relation de Chasles):

Or cette somme est connue (voir définition ci-dessus):

En comparant les deux égalités:

 

Isobarycentre et centre de gravité

d'un triangle homogène

sont confondus

C'est le point de concours des médianes.

 

Voir Calcul du centre de gravité du triangle

 

 

 

 

Barycentre

 

Barycentre: point d'application de la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les parties d'un corps; c'est le centre de gravité de ce corps.

 

Barycentre de trois points A de masse mA, B de masse mB et C de masse mC. Le barycentre est l'unique point vérifiant:

 

Même définition que pour l'isobarycentre, à ceci près que les vecteurs sont pondérés par un coefficient mI; évidemment cette formule peut-être généralisée à une quantité de points quelconque.

L'isobarycentre est un barycentre dont tous les coefficients de pondération valent l'unité (masse homogène pour reprendre l'analogie avec le centre de gravité).

 

Barycentre de n points Soit n points P1, P2Pn d'un espace affine  et les  scalaires m1, m2 … mn (de somme non nulle), il existe un point unique G de  , appelé barycentre des n points, tel que:

 

 

Propriété

*        Le barycentre est commutatif.

On peut prendre les points dans l'ordre que l'on veut sans changer le barycentre.

 

*        Le barycentre est associatif.

Deux points peuvent être remplacés par leur barycentre affecté de la somme des deux coefficients (masses). Il est possible de trouver le barycentre d'un système de points de proche en proche en remplaçant des couples de points par leur barycentre.

 

*        Pour deux points:

 

La relation de Chasles permet de calculer:

 

Application numérique au cas du haut de la page.

mA = 2 et mB = 1;     = 20/3 = 6,66… cm.

 

*        Pour n points, O étant un point quelconque:

 

*        Tous les points remarquables d'un triangle peuvent être définis comme un barycentre avec les pondérations adéquates:

 

-         Centre de gravité:                          A, 1; B, 1; C, 1

-         Centre du cercle inscrit:                A, a; B, b; C, c

-         Centre du cercle exinscrit en A:    A, -a; B, b; C, c

-         Centre du cercle circonscrit:

-         Orthocentre:

 

Anglais

En savoir plus

Centre of gravity: when a system of particles or a rigid body with a total mass m experiences a uniform gravitational force, the total effect on the system or body as a whole is equivalent to a single force acting at the center of gravity. This point coincides with the center of mass.

 

Center of mass (or centroid): Suppose that particles P1, P2Pn, with corresponding mass m1, m2mn (total mass m), have position vectors r1, r2rn, respectively. The center of mass (or centroid) is the point with position vector rC given by:

 

 

 

 

Centre de gravité / centre de masse / centre d'inertie / centre géométrique …

 

 

Centre de …

Beaucoup de termes pour des choses quasi-semblables dans un monde homogène, docile …

Nous allons tenter de décrire les nuances.

 

 

Barycentre

 

Barycenter

Centre d'un système composé d'objets massiques tel que tout le système est résumé en ce point. C'est la position moyenne de tous les points du système pondérée par la masse de chaque point.

En géométrie comme en physique, c'est une généralisation de la notion de masse à n'importe quelle valeur numérique exprimant une grandeur ou non (ex: charges électriques, quantité de votants dans les villes …)

Le calcul consiste à trouver le point qui annule une somme pondérée de vecteurs.

Le barycentre trouve son intérêt du fait du principe d'équivalence qui permet:

*    de découper une figure en parties

*    de les réduire en points de "masse" équivalente à leur surface, et

*    calculer le barycentre e ces points associés à leur "masse".

 

 

Centre géométrique

Isobarycentre

 

Centroid

Geometric center

Centre géométrique et centre isobarycentre sont totalement synonymes.

Le centre géométrique d'un objet géométrique est la position moyenne (arithmétique) de tous les points de l'objet.

C'est un point tel que si la figure était une plaque de métal homogène d'épaisseur constante, alors la matière serait équirépartie autour de ce point. Dans un champ gravitationnel homogène, l'objet posé sur la pointe d'un crayon en ce point tiendrait en équilibre. 

Lorsque la figure géométrique présente un centre de symétrie, comme pour le disque ou le carré, le centre géométrique est confondu avec le centre de symétrie.

L'isobarycentre donne le moyen de visualiser le calcul. Les pondérations sont égales à l'unité.

 

Position du centre de gravité:

 

 

 

Centre de gravité

 

Gravity center

Ce point s'appelait autrefois centre de poids.

C'est le terme le plus connu du grand public.

Pour un corps homogène, c'est son centre géométrique.

 

Point d'application du poids, résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Possibilité de simplification: le poids est une force qui s'applique en un point unique, G du corps.

Le centre de gravité dépend du champ de gravitation auquel le corps est soumis. Ce champ est la plupart du temps uniforme dans le corps considéré   centre de gravité = centre d'inertie.

C'est le point pour lequel le moment total des forces de gravité est nul.

 

Définitions

Point d'un corps situé de telle façon qu'une force verticale suffisante, appliquée en ce point, tiendra le corps en équilibre

Point par lequel passe constamment la résultante des poids des molécules qui composent un corps quelle que soit la position donnée à ce corps; il y a équilibre toutes les fois que la verticale du centre de gravité passe par le point d'appui ou de suspension. (Littré)

Point d'application de la résultante des forces de pesanteur qui s'exercent sur l'ensemble des particules composant un corps; en géométrie, synonyme de centre d'inertie. (Larousse)

 

Comparaison

Il y a entre centre de masse et centre de gravité le même type de différence qu'il y a entre masse et poids. Les premiers sont absolus alors que les seconds dépendent du champ de gravitation. En pratique, le champ de gravitation est considéré comme homogène et les deux centres sont confondus.

 

 

 

Centre de masse

Centre d'inertie

 

Center of mass

Inertia center

Barycentre des masses.

 

Centre de masse; point équivalent où serait concentrée toute la masse de l'objet tout en créant exactement le même effet de gravitation (le même champ de gravitation).

Masse inerte et masse grave étant identique, le centre d'inertie est confondu avec le centre de masse.

 

Le centre de masse ne dépend que de l'objet. Le centre de gravité dépend du champ de gravitation. Sur Terre, il est un juste un peu plus bas que le centre de masse car la pesanteur est un peu plus grande sur la partie basse que sur la partie haute. Différence hyperfaible et négligeable la plupart du temps.

 

Point d'application des effets d'inertie, c'est-à-dire du vecteur variation de quantité de mouvement.

Si un objet est en rotation autour d'un axe ne passant pas par ce centre d'inertie, l'objet ne tourne pas rond. Il y a un balourd.

Si le champ de gravité est uniforme, le centre d'inertie est confondu avec le centre de gravité

 

 

 

 

 

Barycentre

Centre de Gravité

Index

 

 

Général

*         Barycentre – Définition et vocabulaire associé

*         Centre de gravité – Développements

*         Centres identiques? Bases de la physique

*         Centre de gravité des formes usuelles simples et complexes

*         Médiane du trapèze

*         Médianes du triangle

*         Moments d'une force

*         Principe d'équivalence

 

Méthodes

*           Calcul analytique avec les moments

*           Calcul par intégration

*           Centre de symétrie

*           Croissant de lune

*           Intégration – Notions

*           Moment d'une force

*           Moyennes

*           Solution avec moyenne arithmétique (triangle)

*           Solution géométrique  (trapèze)

*           Solution vectorielle

*           Vecteurs: centre de gravité du polygone

*           Vecteurs: centre de gravité du triangle

 

Objets

*         Carré, parallélogramme, losange

*         Cercle, disque, ellipse

*         Cercle: demi-disque et quart de disque

*         Conoïde

*         Cube, pavé droit

*         Cubique d'Agnesi

*         Deux ou plusieurs points avec "masse"

*         Équerre

*         Escalier

*         Maison

*         Paraboloïde

*         Polygones quelconques – Somme de vecteurs

*         Polygones réguliers

*         Porte

*         Sphère, ellipsoïde

*         Stabilité du fauteuil

*         Tétraèdre

*         Tétraèdre régulier

*         Trapèze quelconque et trapèze isocèle

*         Triangle – Coordonnées cartésiennes de G

*         Triangle équilatéral – Réseau le plus court

*         Triangle quelconque

*         Triptyque

 

Divers

*         Gravité, pesanteur

*         Homothétie (conserve le barycentre)

*         Huygens

*         Juste (moyenne des mesures)

*         Levier

*         Pendule

*         Triangle – Les neuf points

*         Triangle: tous points remarquables = barycentre

Voir

*         Triangles

*         Bases de la physique

*         GéométrieIndex

*         DicoMot

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