NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Vitesse

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Vitesse

 

 

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Vitesses galactiques

Vitesses cosmiques

Orbite stationnaire

Vaisseau

Vitesse de libération

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Les trois vitesses cosmiques – En bref

>>> Vitesse orbitale

>>> Application numérique à un satellite autour de la Terre

>>> Vitesse de satellisation

>>> Vitesse de libération

>>> Vitesse de libération d'autres astres

>>> Trou noir

>>>  Bilan

 

 

 

 

 

VITESSES COSMIQUES

 

Quelle est la vitesse orbitale à communiquer à un corps (satellite, sonde …) pour qu'il se maintienne sur son orbite?

 

Quelle est la vitesse à transmettre à un satellite propulsé de la Terre pour atteindre la satellisation (le satellite tourne autour de la Terre) ou encore pour atteindre la vitesse de libération (le satellite s'éloigne définitivement de la Terre)?

 

Note: cette page d'initiation reste très théorique. On néglige les paramètres qui rendent délicats les calculs comme par exemple: l'effet de la gravitation du Soleil, la friction sur l'atmosphère, le renflement de la Terre et sa densité non-homogène …

 

 

 

 

Approche

Au sol

Imaginons un super canon qui lance un engin avec une très grande vitesse.

 

Normalement l'engin retombe sur la Terre après avoir parcouru une trajectoire parabolique (petit morceau de courbe en rouge).

Et si, on lançait l'obus très fort, tellement fort qu'il dépasse la Terre. Oui, c'est possible!

Il y a même deux possibilités:

*       l'engin se met à tourner autour de la Terre, (courbes rose et vertes) ou

*       il s'éloigne de la Terre (courbe bleue).

 

Sur l'illustration, on montre les vitesses nécessaires (en km/s) pour arriver à ces résultats. Des vitesses importantes: 7,9 km/s, c'est presque 40 000 km/h; quarante fois la vitesse d'un avion de ligne.

 

 

Les trajectoires possibles

D'après une idée vue en Lumières sur l'Univers

– Observatoire de Paris

En altitude

On retrouve les mêmes effets en altitude:

*       cas des satellites qui tournent autour de la Terre; ou

*       des sondes spatiales qui s'éloignent aux confins du système solaire ou plus loin.

Mais, le gros problème, c'est de mettre en place le "super canon" là-haut !

 

 

Satellites (orbite autour de la terre)

Deux moyens pour atteindre l'altitude requise

*       Utilisation de fusée à plusieurs étages, et

*       L'astuce de l'orbite de transfert.

 

Sondes spatiales (exploration de l'espace)

Un autre effet magique est utilisé: l'effet catapulte due à de l'effet de gravitation au passage à proximité d'une planète.

 

 

En bref pour un objet autour de la Terre

Vitesse

Corps (Lanceur, satellite, sonde …)

< VC1

Le satellite retombe sur la Terre, comme ce serait le cas d'un obus lancé d'un canon.

VC1= 7,9 km/s

28 440 km/h

Première vitesse cosmique

Vitesse minimale de satellisation d'un satellite au ras de la Terre. Le satellite est placé en orbite circulaire à distance D de la Terre.

de VC1 à VC2

Le satellite a une trajectoire circulaire ou elliptique de taille de plus en plus importante avec la vitesse.

VO

Vitesse orbitale (fonction de l'altitude)

Vitesse à maintenir pour rester sur une certaine orbite à une altitude donnée.

Par exemple pour une orbite géostationnaire (altitude 35 786 km), la vitesse orbitale est 3,1 km/s.
Période de rotation: 23h 56 min

VC2 = 11,2 km/s

40 320 km/h

Deuxième vitesse cosmique

Vitesse de libération d'un satellite quittant la Terre.

> VC2

Le satellite échappe définitivement à l'attraction gravitationnelle de la Terre en suivant une parabole ou, plus vite, une hyperbole.

VC3 = 42,1 km/s

151 560 km/h

Troisième vitesse cosmique

Vitesse de libération d'un satellite quittant le système solaire (référentiel héliocentrique).

 

 

 VITESSE ORBITALE (Orbital speed)

 

Un satellite en orbite autour de la Terre est soumis à l'attraction terrestre et devrait tomber. C'est sa vitesse qui crée une force centrifuge telle qu'il est maintenu sur son orbite. L'intensité de cette force doit être telle qu'elle compense la force d'attraction. Alors le satellite est en équilibre et poursuit sa route sur sa trajectoire.

Comment calculer la vitesse à communiquer à un satellite pour le maintenir sur une orbite à une altitude donnée?

 

Formulation

La Terre tourne autour du Soleil.

On suppose que l'orbite est circulaire.

Deux forces en présence:

 

Elles s'équilibrent:

 

Longueur de l'orbite à l'altitude D:

L = 2 (R + D)

Période:   T = L / V   

 

 

Vitesse orbitale

 

 

Notez que la vitesse orbitale ne dépend pas de la masse du satellite.

 

Période orbitale

 

 

Application numérique à un satellite autour de la Terre

 

Avec

G = 6,67 10-11      constante de la gravitation universelle.

 

M = 5,98 1024 kg  masse de la Terre

R = 6 378 km       rayon de la Terre

 

D                            altitude ou
distance satellite-sol terrestre

 

Vitesse orbitale à l'altitude 0

Vitesse orbitale en fonction de V0

Valeur de la vitesse orbitale au sol (D = 0)

 

Courbes vitesse orbitale et durée orbitale en fonction de l'altitude

La vitesse nécessaire pour maintenir le satellite en orbite (en équilibre) décroit avec l'altitude; normal, les effets de la pesanteur diminuent.

 

Pour une distance nulle (au sol), on retrouve bien 7,9 km/s pour la vitesse orbitale.

 

Avec une vitesse de 3,1 km/s, le satellite est maintenu à une altitude de 35,7 km et  la période de révolution sur l'orbite est égale à un jour (23h 56 min). Le satellite suit exactement la rotation de la Terre. Il est en permanence à la verticale du même point. L'orbite est géostationnaire.

 

Pour la Lune à environ 360 000 km, la vitesse orbitale varie de 0,97 à 1,08 km/s pour une révolution en 27,322 jours.

 

 

 

 

 

VITESSE de SATELLISATION

 

Première vitesse cosmique

Vitesse minimale de satellisation d'un corps autour de la Terre. Vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps à partir du sol  pour qu'il ne tombe plus sur Terre mais se mette en orbite.

C'est en fait, la vitesse orbitale au sol (D = 0).

 

VC1 = VS = V0

            = 7,9 km/s

            = 28 440 km/h

 

Ce qui se passe …

la chute sans toucher le sol

 

En haut, une bille est lancée depuis une hauteur de 4,9 m, temps qui lui faut pour atteindre le sol en 1 seconde. Durée identique, quelle que soit sa vitesse horizontale. Justement, avec une vitesse horizontale de 7,9 km/s, la bille touchera le sol 7,9 km plus loin.

Oui, mais, si nous sommes sur la Terre! Elle est ronde et sa courbure est justement de 4,9 m tous les 7,9 km. La bille ne peut plus toucher le sol qui, sur la distance, s'est escamoté de la même hauteur.

À tout instant la bille tombe, mais la Terre s'échappe d'autant. Finalement, la bille est en rotation autour de la Terre; elle est satellisée.

 

Sur une idée vue en Principes de satellisation – Cnes

Astronautes dans la station spatiale internationale

 

Si les astronautes se retrouvent en apesanteur (ils ne ressentent plus leur poids) ce n’est pas parce qu’il n’y a plus de gravité dans l’espace, ni parce que la gravité exercée par la Terre y est trop faible (elle est presque identique à celle sur Terre).

En réalité, les astronautes chutent à la même vitesse que le satellite vers la Terre. Ils se retrouvent dans la même situation qu’une personne se trouvant dans un ascenseur en chute libre, ils sont toujours soumis a la gravitation mais par rapport à l’ascenseur et à tous les objets qui s’y trouvent, ils ont l’impression de flotter.

 

 

Atteindre une altitude donnée

 

 

Pas facile d'arriver sur l'orbite désirée!

 

Il faut d'abord se hisser au-dessus de l'atmosphère. Une fois sur place, c'est plus facile d'aller plus haut.

 

Mise en orbite en trois phases:

*       translation: hisser le satellite au-dessus de l'atmosphère;

*       injection: propulser le satellite sur une orbite; et

*       transfert: une pichenette au bon moment et le satellite se place sur une orbite plus éloignée. 

 

Exemple: deux minutes après le décollage, Ariane 5 atteint la vitesse de 2 km/s.

 

Le lanceur (la fusée) décolle du pas de tir en emportant sa charge utile (satellites ou sondes) logée dans sa tête.

 

En interprétant la formule de la vitesse orbitale, il ne faudrait pas conclure qu'il est plus facile de placer un satellite sur une orbite éloignée que sur une orbite proche, puisqu'il lui faut moins de vitesse.

Dans le calcul de la vitesse d'ascension (phase de translation) intervient un  terme qui représente la diminution de vitesse subie par le lanceur dans son ascension verticale. Ce terme devient vite très grand et très pénalisant.

On gagne un peu de vitesse au lancement en dirigeant le satellite vers l'est et en situant le lancement le plus près possible de l'Équateur (+ 465 m/s à l'Équateur).

La solution la plus économique pour placer un satellite sur une orbite éloignée de la Terre est le transfert  (Illustration). C'est-à-dire, une fois sur orbite (vers 200 km) et à son apogée, lui communiquer une faible vitesse complémentaire qui le fera passer sur une orbite beaucoup plus lointaine (36 000 km, par exemple).

 

Note: Les satellites sont placés en orbite au-dessus de 200 km d'altitude pour éviter qu'il ne soit  freiné par l'air, et retombe fatalement dans l'atmosphère tout en se consumant.

D'ailleurs, une coiffe thermique habille le nez du lanceur jusqu'à ces altitudes. Elle est larguée ensuite.

 

 

 

 

VITESSE DE LIBÉRATION (Escape velocity)

 

Deuxième vitesse cosmique

Vitesse de libération d'un objet quittant la Terre.

À cette vitesse et au-delà, le corps échappe définitivement à l'attraction gravitationnelle de l'astre en suivant une parabole puis, pour de plus grandes vitesses, une hyperbole.

C’est la vitesse qu’un objet doit atteindre afin de s’affranchir de l’attraction gravitationnelle de la Terre d’où il est parti.

Sortir du champ gravitationnel d’une plus grosse planète nécessite une plus grande vitesse de libération.

 

VC1 sur Terre

= 11,186 km/s

= 44 270 km/h

 

 

Photo: Ariane 5

au décollage

Avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération, le corps s'éloigne; il pourra être soumis à la gravité d'autres astres.

 

Le lanceur utilise son énergie pour accélérer et atteindre progressivement la vitesse de libération.

 

Pourrait-on obtenir le même résultat en utilisant une sorte de canon qui impulse cette vitesse d'un coup à la Jules Verne dans le roman De la Terre à la Lune ?

 

Effet

*       le corps s'éloigne,

*       sa vitesse décroît, mais reste suffisante pour dépasser le point de non-retour,

*       la gravité de la Terre n'est plus suffisante pour le retenir,

*       l'objet entame un voyage spatial.

 

Le phénomène de libération est responsable du fait que certaines planètes ont perdu leur atmosphère. Il est aussi à l'origine de la formation des trous noirs.

Formulation

Il faut faire intervenir le principe de conservation d'énergie en considérant que le système Terre-lanceur est un système fermé.

 

Énergie potentielle

+ Énergie cinétique  = K

Énergie cinétique

Énergie potentielle

Elle est négative, tendant à ramener l'objet vers la Terre. Elle est nulle à l'infini.

Condition de la libération

Le lanceur atteint la vitesse minimale qui lui permet d'échapper à la gravitation de la Terre.

EC = 0 Le lanceur poursuit son chemin à l'infini.

EP = 0 Le lanceur n'est plus attiré par la Terre

Conservation de l'énergie

Calcul de la vitesse de libération

À rapprocher de la vitesse orbitale

 

Les deux sont dans le rapport 1,414…

 

Pour la Terre: 7,9 x 1, 414 = 11, 2 km/s.

En pratique

 

Pour pouvoir échapper à l’attraction de la Terre, une sonde doit bénéficier d’une impulsion suffisante: la vitesse de libération est la vitesse minimale théorique que doit atteindre un corps à une altitude donnée pour s’éloigner définitivement de la Terre.

A partir de la surface, s’il n‘y avait pas d’atmosphère, un boulet de canon devrait ainsi être projeté verticalement à la vitesse de 11,2 km/s pour ne plus jamais retomber. En pratique, la vitesse de libération, communiquée à la sonde par le lanceur, est calculée en fonction de l’altitude au point d’injection. À 36 000 km d’altitude, elle ne vaut ainsi plus que 4,3 km/s.

Extrait  de Quitter la Terre – Cnes

 

 

Vitesse de libération d'autres astres (à leur surface)

Astre

km/h

km/s

Commentaires

Lune

8 568

2,38

Vitesse maximum d'un avion: plus de 3 530 km/h (Mach + de 3,2) – Lockheed SR-71 Blackbird (Merle)

Terre

40 270

11,186

Vitesse qui permettrait de faire le tour de la Terre (Équateur) en une heure.

Vitesse record d'un engin spatial: 50 000 km/h – Sonde New Horizons (exploration de Pluton)

Mars

18 000

5

Jupiter

2 424 230

60,20

 

Soleil

2,223 106

617,5

Soit: 57 fois celle de la Terre, mais 0,2 % la vitesse de la lumière. La lumière n'a pas de peine à s'échapper du Soleil.

500 Soleils

108

300 000

Astre d'un diamètre 500 fois supérieur au Soleil,

Soit, la taille de l'orbite de Jupiter.

Voir Calcul de la vitesse de libération

 

 

TROUS NOIRS

 

Trou noir: un astre, suffisamment grand ou dense pour que sa vitesse de libération dépasse celle de la lumière, retiendrait les particules de lumière!

Cette conclusion a été imaginé séparément par :

 

Michell (anglais) - 1783

Pierre Laplace (français) - 1796

 

500 fois le diamètre du Soleil
avec la densité du Soleil.

Non-luminiferous bodies

 

"Mais ce sont des considérations qui dépassent mon propos, et je m'arrête là."

 

250 fois le diamètre du Soleil

avec la densité de la Terre.

Les corps obscurs.

 

Il retire cette notion de sa dernière publication (1808). A cette époque on dit que la lumière ne serait pas faite de particules, mais se comporterait comme une onde! (Young et Fresnel).

 

 

Bilan

On comprend mieux le gigantisme des lanceurs utilisés pour atteindre ces vitesses cosmiques. Une fusée comprend en général trois étages: le premier amène le tout à une vitesse V1. Le deuxième lui communique une vitesse V2 supplémentaire et le dernier lui ajoute encore V3. Soit la somme des trois vitesses.

 

Le premier satellite artificiel fut Spoutnik, lancé en 1957 par l'URSS. Il pesait 83,6 kg. En 1965, la France lance son premier engin: Astérix.

 

Merci à Olivier C. pour ses conseils précieux

 

 

 

Suite

*    Vitesse de libération

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Diconombre

*    Nombre 11,2

*    Nombre 60

*    40 000 km

 

Sites

*      Orbitographie – Calcul des trajectoires

*      La mécanique spatiale simplifiée – Capcom Espace

*      Vitesse cosmique – Wikipédia

*      Vitesse orbitale – Wikipédia

*      Vitesse de libération – Jean-Pierre Martin

*      Calculate Escape Velocity – Rob Wigand – Stanford

*      Le Vol de la fusée – Stabilité et Trajectoire – Planète Science

*    Cours complets de mécanique spatiale – Robert Guiziou

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