NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Chaos

 

Débutants

Général

Chaos et Attracteurs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Chaos

 

Fractales

Chaos

Types d'Attracteurs

Stabilité

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Conditions initiales

>>> Le chaos en bref

>>> Trois types de systèmes dynamiques

>>> Chaos – Définition et applications

>>> Attracteur étrange

>>> Dédoublement

>>> Applications

 

 

 

 

Théorie du CHAOS

 

Attracteur, turbulence… Où tout dépend des conditions initiales.

 

Attention, cette théorie ne dit pas: petites causes, grands effets! Mais: petites variations dans les données de départ entraînent des comportements imprédictibles.

 

Plus positivement: cette théorie affirme que, même si des événements sont divergents, au final et statistiquement, ils s'accumulent sur un noyau de trajectoires nommé attracteur.

 

Voir ce qu'en disait Lorenz

 

 

 

Approche – Expérience du crayon

 

*    Un crayon en équilibre sur sa pointe: si on parvient à le mettre en équilibre, le moindre changement va précipiter le crayon dans sa chute. Sa vitesse de chute va doubler à chaque instant: mouvement exponentiel. Et, il est impossible de prévoir l'endroit de sa chute.

 

*    Même chose pour un ballon posé au sommet d'une pointe en montagne. Dans quelle direction va-t-elle rouler ?
 

 

 

CONDITIONS INITIALES

 

Dépendance

 

Un petit changement des conditions initiales conduit à un tel changement de l'évolution ultérieure du système que les prédictions à long terme deviennent complètement vaines.

 

Preuve par

 

Jacques Hadamard fin du XIXe siècle puis Pierre Duhem en 1906 et Henri Poincaré en 1908.

 

Poincaré

 

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement.

Extrait de Science et méthode

 

 

Effet papillon

 

La météorologie est très dépendante des conditions initiales. Selon Lorenz:

 

Le battement des ailes de papillon aura pour effet après quelque temps de changer complètement l'état de l'atmosphère terrestre.

 

Voir Équations de Navier-Stokes

 

 LE CHAOS en bref

Dès 1899, H. Poincaré émettait l’hypothèse que d’infimes incertitudes sur l’état initial d’un système sont amplifiées au cours du temps, de sorte qu’il est impossible de prévoir l’évolution du système à long terme.

À partir des années 60 de nombreux scientifiques ont repris cette hypothèse. Edward Lorenz, sous la terminologie d’"effet papillon", l’illustre ainsi : le vol d’un papillon provoque un déplacement d’air qui, dans six mois ou un an, aura une influence sur le temps à un endroit de la planète.

Avec l’aide prépondérante de l’ordinateur, l’étude mathématique de certains systèmes dynamiques d’équations a permis de simuler de tels phénomènes qui vont à l’encontre de l’opinion de nombreux scientifiques qui pensaient, avant Edward Lorenz, que des causes simples entraînent des effets simples.

La solution de tels systèmes est attirée par un attracteur étrange géométriquement très complexe (objet fractal) et l’évolution de la solution vers cet attracteur a un comportement erratique imprévisible. De plus, elle est très sensible aux conditions initiales : d’infimes modifications de ces dernières provoque une évolution très différente de la solution vers l’attracteur.

On dit que le comportement de la solution est chaotique ou que le système engendre le chaos. Ce chaos, qui reflète le manque d’information sur l’attracteur et sur l’évolution de la solution, est néanmoins déterministe puisque engendré par un système d’équations parfaitement connu.

L’étude du chaos, en plein essor actuellement, s’appuie à la fois sur des théories mathématiques puissantes et sur les observations de simulations en laboratoire ou sur ordinateurs et intéresse pratiquement toutes les branches des sciences (physique, chimie, géologie, économie, sociologie, psychologie...).

Source: Théorie ergodique et applications – Emmanuel Rousseau et Nathalie Voisin - 2007

 

 

 

Trois types de systèmes dynamiques selon leur comportement

 

Déterministes

Chaotiques

Aléatoires ou stochastiques

Évolution

Connue

Errance autour d'attracteurs

Au hasard

Équation

Lois connues

Lois à la fois déterministes et aléatoires

Aucune

Prédiction

Oui

Impossible à long terme

Impossible

Comportement

Simple

Complexe

Complexe

 

 

Chaos – Définition et Applications

 

CHAOS: Évolution temporelle avec dépendance sensitive aux conditions initiales.

 

C'est Jim Yorke, un mathématicien de l'Université du Maryland qui donna le nom de "chaos"

 

Les deux grands scientifiques du domaine: Edwards Lorenz et David Ruelle.

 

Applications en:

*    Hydrodynamique

*    Turbulence atmosphérique

*    Météorologie

*    Gravitation et particules, molécules …

*    Astéroïdes

*    Économie

 

 

 

ATTRACTEUR ÉTRANGE

 

Oscillateur classique

 

*    Un objet oscillant d'un point à gauche G vers un point à droite D.

*    Représentons ce mouvement sur un axe en x: segment rouge GD sur l'axe x.

*    Mettons en ordonnée (axe y), la valeur de la vitesse à tout instant: cercle rouge sur le système d'axes x / y.

*    Un oscillateur classique décrit "gentiment" la boucle, sans cesse, en repassant au même endroit du diagramme.

 

 

Attracteur étrange

 

*    On peut imaginer des oscillateurs ayant des diagrammes différents, des modes différents.

*    Tout cela se superpose, jusqu'à donner des boucles de fonctionnement étrange

*      Plus il y a d'oscillateurs, et plus il y a de couplage entre eux, plus on peut s'attendre à voir du chaos.

*    L'attracteur étrange correspond à de telles situations, en trois dimensions

*       Trouvé par Edward Lorenz, un météorologue du MIT en étudiant les mouvements de convection d'air chaud et froid dans les couches de l'atmosphère.

*       Dans ce cas, on trouve deux systèmes de boucles qui s'interpénètrent: le mouvement sur ces boucles est quasiment imprédictible.

 

 

 

Propriété des attracteurs étranges

 

*    Le nombre de tours sur un groupe ou sur l'autre est erratique, difficile à prédire:

le chaos

*    L'évolution temporelle dépend de

manière sensitive des conditions initiales

*    Les attracteurs étranges révèlent un

spectre continu de fréquences

 

*    Ces attracteurs ne sont pas des courbes ou des surfaces lisses, mais des

fractales

*    Ils sont caractéristiques des phénomènes de

 

turbulence

 

 

DÉDOUBLEMENT – Constante de Feigenbaum

 

*    En 1975, Mitchell Feigenbaum découvre un fait assez curieux ! Quand on change les forces sur un système on peut voir apparaître un phénomène de dédoublement de la période.

Voir Loi logistique

 

*    Ces dédoublement peuvent se produire de manière répétée avec des périodes 2, 4, 8, 16 fois … plus longues.

*    Si on note A1, A2, A3, A4 … les valeurs de la force appliquée lorsque le dédoublement apparaît, on observe la relation suivante:

*    Lorsqu'on dépasse la zone de ces dédoublements, on pénètre dans la zone de chaos.

 

 

Illustrations avec le diagramme des bifurcations ou carte de la loi logistique

 

 

 

Voir Nombres de Feigenbaum / Coefficients d'étirement / Loi logistique

 

Zooms sur le diagramme de Feigenbaum (nature fractale)

 

Images extraites de The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (Vidéo en anglais)

 

 

 

Suite

*         Attracteur

*         Théorie de Ramsey

*         Théorie ergodique

*         Historique de la théorie du chaos

Voir

*         Algorithmes du monde de 2014

*         Catastrophes

*         Chaos Logistique

*         Complexité

*         Crises des maths

*         Croissance chaotique

*         Équations de Navier-Stokes

*         Fractales

*         Les trois corps

*         Lorenz

*         Lune

*         Notions de la physique moderne

*         SciencesIndex

Livre

*           Hasard et Chaos de David Ruelle – Odile Jacobs – 1991

*         Le chaos dans le système solaireIvar Peterson

CD

*         La théorie du Chaos – Étienne Ghys (CNRS) – 2011

Sites

*           La théorie du chaos

*           Chaos – Une aventure mathématique – 9 splendides vidéo en français

*           Chaos group

*           Les nombres de Feigenbaum – Wikipédia

*           Les nombres de Feigenbaum – complexe.jimbo.com

*           L'effet papillon – Georget Sébastion – 2000

*           Fiegenbaum constant – Wolfram MathWorld

*           The logistic map and chaos - Elmer G; Wiens

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Chaos/Chaos.htm