NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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GÉOMÉTRIE 

Quadrilatère

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Carré dans carré

Rectangle dans rectangle

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Trapèze

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Triangle dans le carré

 

Sommaire de cette page

>>> Approche numérique

>>> Bilan

 

 

 

Rectangle inscrit dans un rectangle

 

Connaissant certaines dimensions, calculez les autres.

Attention, pas si simple! équation du quatrième degré à résoudre.

 

 

Approche numérique

 

Problème

Un rectangle 16 x 12.

Un rectangle inscrit dont la largeur vaut 4.

Trouvez la valeur de x et la longueur L de ce rectangle.

 

Mesures (pour ordre de grandeur et vérification des calculs)

x = 2,2  y = 3,5   et L = 16,3

 

Remarque: similitude

Le triangle rectangle (x, y, 4) à été reporté dans le grand triangle rectangle (figuré en blanc) pour mieux apprécier les rapports de similitude.

 

 

 

La similitude des triangles permet d'écrire:

16x – x² = 12y – y²

Avec le théorème de Pythagore:

y² = 4² – x²

En remplaçant:

16x – x² = 12y – 16 + x²

En isolant y:

– 2x²+ 16x + 16 = 12y

En élevant au carré et avec la valeur de y²

(– 2x²+ 16x + 16)² = 12² (4² - x²)

Soit l'équation du quatrième degré:

4x4 – 64x3 + 336x2 + 512x – 2048 = 0

Avec calculette, logiciel mathématique ou tableur

Quatre solutions dont une négative et deux complexes à rejeter.

x = 2,104 859 071 586 42 …

Valeur de y

y² = 16 – x² => y = 3,401406810…

Longueur du rectangle central

L² = (14 – x)² + (12 – y

L   = 16,34046347…

 

Possibilité de trouver la solution à l'équation avec tableur.

 

On procède par approche progressive (plus ou moins: dichotomie)

 

 

Bilan

Inutile de donner la formule littérale. Il s'agit d'une équation du quatrième degré. Autant la calculer directement avec les valeurs numériques.

Il existe d'autres problèmes intéressants du même type:

*    Conditions pour qu'un rectangle soit inscriptible dans un autre;

*    Dimensions maximales d'un rectangle inscrit dans un autre plus grand.

*    Rectangle dans le triangle rectangle, dans l'ellipse …

 

 

  

 

Suite

*    Constructions élémentaires: rectangle

*    Le terrain de basket

*    Losange

*    Pavage avec des rectangles

*    QuadrilatèresJuniors

*    Rectangle - Coordonnées intersection

*   Rectangle d'or (1/2)

*    Rectangle d'or (2/2)

*    Rectangle et colinéarité

*   Rectangles dans le cube

*    Rectangles emboîtés

Voir

*    Allumettes

*    Carré

*    Construction à la règle et au compas

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