NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Quantité

>>> Premiers quadrillages

>>> Quantité

 

 

 

Quantité de carrés

dans le quadrillage d'un rectangle

 

1) Dénombrer les parallélogrammes dans un quadrillage quelconque.

2) Compter systématiquement les carrés dans un quadrillage régulier et indiquer le périmètre complet de ces carrés.

 

 

 

Quantité de parallélogrammes dans un quadrillage

 

Deux séries de trois lignes parallèles forment des parallélogrammes.

Combien ? Peut-être 5 ? Non: 9 !

 

Les parallélogrammes sont formés par un couple de droites horizontales non confondues et un couple de droites obliques non confondues.

*      Une droite horizontale parmi 3 étant choisie, il reste 2 possibilités pour la seconde. Mais, en comptant de cette manière, on doublonne. Bilan: 3 x 2 / 2 = 3 couples

*      Même chose en vertical: 3 couples

*      Bilan: 3 x 3 = 9 parallélogrammes

 

 

Quantité de parallélogrammes

*    4  petits

*    1 grand

*    2 moyens en longueur

*    2 moyens en hauteur

 

Combien de rectangles dans cette figure ?

 

Même raisonnement:

*      Une droite horizontale parmi 7 étant choisie, il reste 6 possibilités pour la seconde. Mais, en comptant de cette manière, on doublonne. Bilan: 7 x 6 / 2 = 21 couples

*      Même chose en vertical: 21 couples

*      Bilan: 21 x 21 = 441 parallélogrammes

 

 

L'idée du décompte: en choisissant la droite du bord, chacune des autres droites définit une nouvelle taille de rectangle, en horizontal comme en vertical.

Voir Brève n°383 / Base du dénombrement

 

 

 Premiers quadrillages

 

*      Nom du rectangle: Rn-k en longueur puis largeur;

*      Q: quantité de carrés dans le rectangle;

*      P: périmètre de tous ces carrés.

 

R1-1 / Q = 1 / P = 4

 

R2-1 / Q = 2 / P = 8

R2-2 / Q = 5 / P = 16+8 = 24

 

 

R3-1 / Q = 3 / P = 12

R3-2 / Q = 8 / P = 24+16 = 40

R3-3 / Q = 14 /

       P = 36+32+12 = 80

 

 

R4-1 / Q = 4 / P = 16

R4-2 / Q = 11 /

     P = 32+24 = 56

R4-3 / Q = 20 /

     P = 48+48+24 = 120

R4-4 / Q = 30 /

     P = 64+72+48+16 = 200

         

 

 

Quantité

 

Formule de calcul

 

P = 3 T(n-k) = 2k3 .n + 6k2 .n + k2 + 4k .n + 2k – k4 – 2k3

 

Table de 1 à 20            Lire P et non Q dans l'en-tête

 

Voir 2016  = Q (9-7)

  

 

Suite

*   Rectangles dans le rectangle

*    Carrés et rectangles sur l'échiquier

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*    Carrés avec allumettes

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