NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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  Quadrilatères

 

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Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Quadrilatère

Carré

Triangles dans rectangle

Cercles dans le rectangle

Parallélogramme

Rectangle

Carrés dans rectangle

Rectangle dans rectangle

Losange

Trapèze

Triangle dans le carré

Pièce de puzzle

Rectangles – Énigmes

Rectangles – Énigmes

 

 

Sommaire de cette page

>>> Caractéristique

>>> Propriétés

>>> Point interne au rectangle

>>> Périmètre constant

>>> Compter les rectangles en ligne

>>> Compter les rectangles en surface

>>> Découpe du rectangle en anneau

>>> Drôle de diagonale

 

 

 

Devinette

Pour ce rectangle, on sait que le demi-périmètre vaut 27 et l'aire plus la différence entre longueur et largeur vaut 183.

Quelles sont les dimensions du rectangle ?

Solution

 

 

Caractéristiques

 

Rectangle

*    Parallélogramme dont les angles sont droits.
           Il suffit que l'un d'entre eux soit droit.

*    Quadrilatère dont les angles sont droits.
           Il suffit que trois d'entre eux soient droits.

*    Trapèze dont les angles sont droits.

           Il suffit que trois d'entre eux soient droits.

Mesures



Périmètre:           P  = 2 (L + l)

Aire:                     A  = L . l

Diagonale:          D² = L² + l²

Aire AOB, ou BOC, ou COD, ou DOA = L.l / 4  

 

Types de rectangles

*    Un carré est un rectangle dont les côtés ont tous même mesure.

*    Un rectangle doré est un rectangle dont le rapport longueur sur largeur vaut le nombre d'or.

 

Voir Rectangle dans le DicoMot Maths

 

Propriétés

 

*    Diagonales: elles se coupent en leur milieu (O) et elles ont même mesure. Réciproquement: un quadrilatère possédant cette propriété est un rectangle.

Les quatre triangles découpés par les diagonales ont la même aire, égale au quart de celle du rectangle >>>

*    Un rectangle est formé de:

*      deux triangles rectangles égaux réunis par leur hypoténuse.

*      quatre triangles isocèles, deux à deux égaux, réunis par leur sommet.

*    Un rectangle est inscriptible dans un cercle. Les diagonales sont des diamètres de ce cercle.

*    Rappel: Le triangle DAB, dont un des côtés est un diamètre et le sommet A est sur le cercle, alors l'angle en A est droit. Vrai pour les trois autres angles.

 

Point interne au rectangle

Le Point P est quelconque.

Propriété:

a² + b² = c² + d²

 

Démonstration avec Pythagore

a² + b² = u² + x² + v² + y²

c² + d² = x² + v² + u² + y²

Il y a bien égalité.

 

Autre interprétation : Aires bleues  =  Aires roses

Anglais : British flag theorem

 

 

Périmètre constant

 

*    Quel est le périmètre de ces figures (polygones) en bleu?
Quel est le plus grand: celui du rectangle ou celui de la figure bleue?

 

 

*    Observez que  toutes les marches d'escalier, en les projetant sur les côtés, reconstituent les côtes du rectangle. Le périmètre de ces figures (polygones à angles droits) est égal à celui du rectangle soit 2 (L + l).

 

 

Compter les rectangles en ligne

 

*    Combien forme-t-on de rectangles en mettant des rectangles identiques à la queue-leu-leu, comme des dominos.

*    En ajoutant un rectangle au premier, il y deux rectangles de base et un rectangle plus grand formé de la concaténation des deux.

*    Ici un rectangle de base mesure 3 en longueur. on note 13.

 

 

*    On observe que chaque fois qu'un rectangle est ajouté, il se crée 1 nouveau rectangle de chaque sorte existant et un nouveau couvrant l'ensemble.

*    La quantité de rectangle formé avec n rectangles de base est égale à la somme des nombres de 1 à n, soit: 1/2 n (n+1).

                     Exemple: pour n = 5 => 1/2 5 x  6   = 15

 

 

Compter les rectangles en surface

 

*    Combien forme-t-on de rectangles en mettant des rectangles identiques sur un  quadrillage.


 

 

*    L'observation ne permet pas d'induire la formule comme ci-dessus. La formulation fait appel à la théorie du dénombrement.

 

*    Soit L colonnes (verticales) et C lignes (horizontales) pour le rectangle considéré (marron).

*    Un rectangle (bleu) est formé avec deux lignes verticales et deux lignes horizontales.

*    Combien avons-nous de possibilités de choisir 2 lignes verticales parmi toutes les lignes du rectangle considéré (marron).

*    Ce rectangle possède L colonnes, soit L+1 lignes verticales. j'en choisis deux. Choix de 2 parmi L+1:

 

*    Même chose en horizontal

 

*    Les deux choix étant indépendant l'un de l'autre, la totalité des possibilités est égal au produit des possibilités.

 

 

*    Exemple: L = 2 et C = 3 => P = 1/4 x 3x2  x 3 x4 = 18

 

Quantité de rectangles selon les valeurs de L et C

Voir Quantité de rectangles sur l'échiquier (solution astucieuse par les diagonales)

 

 

 

La découpe du rectangle en anneau

 

Puzzle classique du billet de banque. Vous pariez que vous pouvez passer à travers le billet. Il suffit d'une paire de ciseaux. Conseil: évitez le billet qui serait alors détruit. Prenez une feuille de papier

 

1)     Prenez un rectangle de papier plus long que large.

2)     Pliez le en deux et

3)     Faites un petit trou au milieu (passage pour y placer les ciseaux)

4)     Coupez la pliure des deux côtés du petit trou jusqu'à environ 5 mm du bord. Vous avez ainsi coupé la pliure sans aller jusqu'au bout.

5)     Coupez comme indiqué: les coupes régulièrement espacées du haut à presque le bas et, alternées, des coupes vers le haut sans aller jusqu'au bout.

6)     Vous obtiendrez une grande guirlande dans laquelle vous pourrez vous glisser et gagner votre pari. 

 

 

Voir Énigmes et puzzles  / Magie

 

 

Drôle de diagonale

 

Énigme

Un rectangle 10 x 5.

Une diagonale brisée (8, x et 5) telle que EF est parallèle à AB. De plus, AF est parallèle à EC.

Avec ces données, la construction est unique. Mais quelle est la valeur de x = EF?

 

Solution

Comme souvent en géométrie, la solution passe par un tracé complémentaire. Ici, le triangle rectangle marqué par les pointillés verts.

Alors, le quadrilatère AFEG, dont les côtés sont parallèles deux à deux, est un parallélogramme.

Et: AF = GE => CG = 8 + 5 = 13

 

Dans le triangle rectangle GBC (vert), et avec le théorème de Pythagore:

 

GB² = GC² – BC² = 13² – 5² = 12²

GB = 12 = GA + AB = GA + 10

x = EF = GA = 12 – 10 = 2
 

 

Vous pouvez modifier les paramètres de cette énigme en conservant les relations suivantes:

 

AB = L,     BC = l    et d = d1 + d2

L < d

Valeurs entières si l et d font partie d'un triplet de Pythagore.

 

 

Devinette – Solution

Problème

Pour ce rectangle, on sait que le demi-périmètre vaut 27 et l'aire plus la différence entre longueur et largeur vaut 183.

Quelles sont les dimensions du rectangle ?

 

Solution

Finalement sont impliqués la somme, la différence et le produit des deux dimensions. On écrit les relations puis on calcule:

 

 

Demi-périmètre

x + y

 = 27

Avec l'aire

xy + (x – y)

= 183

Valeur de y

y

= 27 - x

Remplacement

(27-x)x + x -27 + x 

= 183

Calcul

27x – x² + 2x

= 210

Équation

x² – 29x + 210

= 0

Discriminant

29² - 4 x 1 x 210

= 1

Valeurs de x

x = (29+1)/2 = 15

y = 12

et de y

x = (29–1)/2 = 14

y = 13

Vérification

15x12 + (15-12) = 183

14x13 + (14-13) = 183

15+12 = 27

14+13 = 27

    

Autres valeurs avec a = x + y et b = xy + (x – y)

Les plus petites: (a, b) = (4, 5) => (x, y) = (3, 1)

Suivantes: (a, b) = (5, 7) => (x, y) = (3, 2) et (4, 1)

Avec 27, la plus petite: (a, b) = (27, 51) => (x, y) = (3, 24) et (26, 1)

Avec 183, la suivante: (a, b) = (33, 183) => (x, y) = (38, 25) et (27, 6)

   

Retour / Autres énigmes

 

Autres énigmes: renvois de liens

Rectangle entouré de carrés >>>

Aire du rectangle dans le triangle rectangle >>>

Rectangle coupé en deux parties égales >>>

Rectangle partagé >>>

 

  

 

Suite

*   Cercles dans le rectangle

*    Chèvre dans un champ rectangulaire

*    Conjecture du carré inscrit (ou de Toeplitz)

*    Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

*    Construction d'un rectangle passant par quatre points

*    Constructions élémentaires: rectangle

*    Le terrain de basket

*    Losange dans rectangle

*    Pavage avec des rectangles

*    Pavé droit

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*    Quizz géométrie Illustration

*    Rectangle - Coordonnées intersection

*   Rectangle dans quadrilatère cyclique

*   Rectangle d'or (1/2)

*    Rectangle d'or (2/2)

*    Rectangle et colinéarité

*   Rectangles dans le cube

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*    Triangle dans rectangle – Aires

Voir

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