NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Géométrie

Muscle trapèze

Anglais: trapezius

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Données dans le trapèze

>>> Trapèze isocèle

>>> Trapèze isocèle et cercle inscrit

>>> Théorème du trapèze

>>> Bimédiane

>>> Diagonales

>>> Partage de la grande base

>>> Trapèze et triangle équilatéral

 

 

 

 

TRAPÈZE

 

Quadrilatère plan dont deux côtes (exactement) sont parallèles, appelés bases du trapèze.

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°

 

Trapèze isocèle: les deux côtés non parallèles sont de même longueur.

Trapèze rectangle: il a un angle droit.

Américain: Trapezoid / Anglais: Trapezium

Du grec trapézion: petite table; et table vient de tetras, quatre et péza, pied.

 

Cousins

 

Données dans le trapèze

 

Aire

 

Angles

A + B + C + D = 360°

A + D = B + C = 180°

 

 

Notation: longueur de AB  = a; etc.

Démonstration géométrique du calcul de l'aire

Le trapèze dupliquer et découpé, assemblé à l'original, forme un rectangle contenant deux fois le trapèze.

 

 

Justification algébrique

 

AT = AR – T1 – T2

     = GH – ½ (G – c)H –  ½  (G – a)H

     = GH – ½ GH + ½ cH – ½ GH + ½ aH

     = ½ (a + c) H 

 

Conséquence

Tous ces trapèzes, dont les côtés sont sur les mêmes parallèles et ont les mêmes dimensions, ont une aire identique.

Voir Calcul par intégration de l'aire du trapèze / Calcul analytique de l'aire du triangle

 

 

 

 

Trapèze isocèle

 

Caractérisation ou condition nécessaire et suffisante pour qu'un trapèze soit isocèle:

*    Deux angles adjacents à une même base sont égaux.

*    Les côtés non parallèles sont de même longueur.

*    Les deux diagonales ont même mesure.

*    Les angles des diagonales par rapport à la base sont égaux.

*    Les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze.

*    Si le trapèze est isocèle, les angles opposés sont supplémentaires.

 

 

Relations dans le trapèze isocèle

Avec un exemple numérique

 

Voir Triangle isocèle / Centre de gravité du trapèze isocèle / Trapèze isocèle en démonstration

 

 

 

Trapèze isocèle et cercle inscrit

Problème

Un cercle de centre O et de diamètre 10 cm.

Un trapèze isocèle ABCD circonscrit dont l'aire est 100 cm².

 

Donnez la longueur des côtés AD = BC  = x.

 

Solution

 

Aire du trapèze:

A = ½ EG (AB + DC) = 5 (AB + CD)

Avec les triangles marqués par les pointillés, égaux deux à deux (angle droit, côté commun et côtés égaux à R).

AB + CD = AE + EB + DG + GC

              = AH + BF + HD + FC

              = AD + BC

En remplaçant:

A = 100 = 5 (AD + BC) = 5 . 2x

x = 10 cm

Si AD = BC = EG = 10 cm, alors:

ABCD est un carré de 10 cm de côté

et son aire est bien 100 cm².

 

 

 

Alignement: théorème du trapèze

 

 

 

Théorème

 

 Les quatre points m, n, s, et t liés au trapèze sont alignés.

 

Démonstration

 

 

Homothétie de centre

s

avec les parallèles

AB et DC

L'image de

A étant C

Celle de

B est D

Globalement

AB devient CD

Leurs milieux sont aussi homothétiques

n devient t

Et alignés sur le centre d'homothétie

n, s et t sont alignés

Homothétie de centre

m

avec les parallèles

AB et DC

Globalement

AB devient DC

Leurs milieux sont aussi homothétiques

n devient t

Et alignés sur le centre d'homothétie

n, m et t sont alignés

Bilan

n, m, s et t sont alignés

 

 

 

Médianes

 

Première médiane

*    La médiane classique du trapèze relie les points milieux des côtés non par parallèles.

*    Théorème de la médiane du trapèze:

 

MN est parallèle aux bases AB et CD.

MN = ½ (AB + CD)

 

*    Pour le démontrer, il suffit d'appliquer le théorème des points milieux dans le triangle pour ABD et BCD:

MP = ½ AB et PN = ½ CD

*    La somme donne le résultat.

 

 

English: The median of a trapezoid is parallel to the bases and equal to one-half the sum of the bases.

 

*    Cette médiane partage le trapèze en deux petits trapèzes de même hauteur, dont les aires sont les suivantes:

 

Seconde médiane

*    Les bases sont coupées en leur milieu. MM' est la seconde médiane du trapèze.
Les trapèzes AMM'D et BMM'C, ont même aire (même hauteur et bases égales).
 


 

*    Les deux "demi" trapèzes ont même aire (cf. ci-dessus).

*    Les deux triangles rouges ont même aire (même hauteur et base égale à c/2).

*    Les deux triangles bleus ont même aire (même hauteur et base égale à a/2).

*    Par différences, les triangles verts ont même aire.

 

 

Voir Médiane

 

 

 

 

Avec les diagonales

 

*    Du fait des côtés parallèles AB et CD, les triangles APB et CPD sont semblables, et les diagonales se coupent dans les mêmes proportions:

 

Relation entre diagonale P et Q et les côtés

 

P² + Q² = 2ac + b² + d²

Avec P = p + p' et Q = q + q'

 


 

 

*    Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement si le produit des aires des triangles formés par une diagonale est égal au produit des aires des triangles formés par l'autre diagonale.

(V + U) (S + T) = (V + S) (U + T)

*    En développant

VS + VT + US + UT = VU + VT + SU + ST

VS +  UT = VU + ST

V (S – U) = T (S – U)

(V – T) (S – U) = 0

*    Or V = T, ce qui valide l'affirmation.

 

 

 

Partage de la grande base

 

 



Exemple numérique

 

*    La longueur de chacun des quatre cotés est connue.

*    Application des formules pour calculer p et q.

*    Application de Pythagore pour calculer la hauteur.

 

*    Le calcul direct de la hauteur, connaissant les quatre côtés, s'effectue en utilisant cette formule du type de celle de Héron:

 

 

*     Vérification numérique:

 

 

Trapèze et triangle équilatéral

 

La découpe du trapèze

La figure montre la découpe de ce trapèze isocèle en trois triangles équilatéraux identiques.

Comment le découper en quatre pièces identiques ?

 

Réponse

Deux solutions (exposées ci-dessous) avec quatre trapèzes.

 

Première possibilité

Quatre trapèzes rectangles (a, a/8, h, a/2), avec :

 

 

Deuxième possibilité

Quatre trapèzes isocèles (a, a/2, a/2, a/2).

 

Ces quatre pièces et les quatre précédentes ont la même aire (t)

 

 

 

Aire du grand trapèze : 1,23 x 8² = 83,14...

(Vérification en comptant les carreaux ; 12 x 7 = 84).

 

 

Trapèzes bovins

 

 

 

Suite

*        Centre de gravité du trapèze isocèle

*         Rectangle

*         Trapèze converti en hexagone

*         Triangles

*         Parallélogramme

Voir

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DicoNombre

*         Nombre 4

Site

*         Characterizations of trapezoids (.pdf, anglais)

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