NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/03/2023

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths 

    

Maths en se divertissant

 

Débutants

Général

BRÈVES de MATHS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Brèves

 

Atlas des maths

 

Page 1

Page 10

Page 20

Page 30

Page 40

Page 50

Page 20 (380-399)

Page 21 (400-419)

Page 22 (420-439)

Page 23 (440-459)

Page 24 (460-479)

Page 25 (480-499)

Page 26 (500-519)

Page 27 (520-539)

Page 28 (540-559)

Page 29 (560-579)

 

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 21

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

400.            Syllogismes

 

Énoncé classique

Tout homme est mortel

Socrate est un homme

Socrate est mortel

Aristote

(Ou du moins prêté à Aristote)

 

Forme générique

Tout  B est A

C est B

Alors C est A

Type Barbara

Le type le plus classique

 

Illustration

Brèves associées

>>>  Algorithmes

>>> Intelligence articicielle

Pour en savoir plus

>>> Les 14 types de syllogismes

>>> Carte postale 3224

 

 

 

401.            Racine de 2 triple

 

Que vaut:

 

 

Formation d'un entier à partir de nombres irrationnels

 

Brèves associées

>>> Racine cubique jusqu'à deux chiffres

>>> Puissance de 2 – Échiquier

>>> Carrés des nombres en 5

Pour en savoir plus

>>> Racines de 2 à étages

>>> Nombres irrationnels

>>> Carte postale 3225

 

 

402.            Sinus et cosinus & un DEMI

Partage de la tarte en six parts égales – Astuce

Pour partager une tarte en six, je partage d'abord en 2 selon, disons, la ligne verticale de la figure.

Je repère le milieu du rayon supérieur et mentalement,  je dessine une horizontale qui coupe le bord de la tarte en un point que je note

Je découpe selon un rayon qui aboutit à ce repère.

Brèves associées

>>> Valeurs trigonométriques

>>> Mesurer les angles

>>> Lignes trigonométriques

Pour en savoir plus

>>> Le cas ½  en trigonométrie

>>> Trigonométrie

>>> Terrain de jeu de la trigonométrie

 

 

 

403.            Actualités 2018

 

Découverte d'un nouveau nombre premier, le plus grand avec 1,5 million de chiffres en plus du précédent record.

Stephen Hawking (1942-2108): décès

 

Robert Langlands: prix Abel

 

Brèves associées

>>> Conjecture Birch et Swinnerton-Dyer

Pour en savoir plus

>>> Actualités 2018

>>> Inventions

 

 

404.            Nombres somme de carrés

Formulation mathématique et en anglais

Théorème des quatre carrés de Lagrange

Un entier naturel m peut s'écrire comme la somme de quatre carrés (au plus) s'il est positif ou nul.

25 = 5²

26 = 5² + 1²

27 = 5² + 1² + 1²

28 = 5² + 1² + 1² + 1²

29 = 5² + 2²

Théorème des trois carrés de Fermat

Ci-dessus, attribué à tord à Legendre, lequel caractérisera plutôt les résidus quadratiques.

Tout entier naturel m peut s'écrire comme la somme de trois carrés s'il est positif ou nul et s'il n'est pas de la forme 4a (8k + 7) avec a et k des entiers relatifs.

Somme de 3 carrés

25, 26, 27, 29, 30, 32, …

Somme de 4 carrés

28, 31, 39, 47 …

Théorème de Fermat démontré par Euler

Tout nombre premier supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux carrés si le reste de sa division par 4 est égale à 1 (p congru à 1 modulo 4).

11 = 2 x 4 + 3  NON

13 = 3 x 4 + 1  OUI

       et 13 = 3² + 2²

Brèves associées

>>> Somme des inverses des carrés

>>> Calcul du carré des nombres à trois chiffres

Pour en savoir plus

>>> Théorème de Lagrange (4 carrés)

>>> Théorème de Fermat (3 carrés)

>>> Théorème de Fermat (2 carrés)

 

 

405.            Types de pseudo-premiers

 

Deux critères pour classer les nombres pseudo-premiers de Fermat (FPP):

La valeur de la base a & le type de condition de Fermat, forte ou faible

 

Explications sur la page Primalité des nombres

Brèves associées

>>> Nombres pseudo-premiers – Introduction

>>> Petit théorème de Fermat

Pour en savoir plus

>>> Primalité des nombres

>>> Nombres pseudo-premiers

>>> Nombres de Carmichael

 

 

406.            Château et douves

Énigme

Un  jardinet  est entouré d'eau. Vous désirez vous rendre au centre et vous ne disposez pas de cette planche de 5 m qui vous le permettrait.

EN revanche, vous avisez un tas de planches, mais toutes nettement plus courtes que 5 mètres.

Réussirez-vous à rejoindre le jardinet ?

 

Solution

Brèves associées

>>> Fortin et ses gardes

>>> Trois souris sur triangle

Pour en savoir plus

>>> Château et douves – Calculs

>>> Puits et les deux barres

 

 

407.            Palintiples

 

Devinette

Quel nombre de quatre chiffres se retourne lorsque multiplié par 4 ?

What 4-digit number reverses its digits

when multiplied by4 ?

 

 

Palintiple

Un palintiple est un nombre qui est égal à k fois son retourné avec k > 1.

Le plus petit non trivial est 8712 dont le retourné 2178 vaut un quart de 8712.

 

 

 

Réponse

2178 x 4 = 8712

 

Quelques palintiples

Brèves associées

>>> Palindromes

Pour en savoir plus

>>> Palintiples

>>> Nombre 8 712

 

 

408.            Nombres polis

Définition

Un nombre poli ou escalier est un nombre qui peut s'écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs.

 

Exemple: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

= 4 + 5 + 6 = 7 + 8

 

Propriétés

Les nombres polis ou en escaliers ou trapézoïdaux sont en fait tous les nombres entiers, sauf 1 et les puissances de 2.

 

On calcule le degré de politesse d'un nombre un peu comme on calcule la quantité de diviseurs d'un nombre.

 

Nombres polis jusqu'à 14

Le nombre 15 est 3-poli

Brèves associées

>>> Nombres géométriques

>>> Nombres sandwiches

Pour en savoir plus

>>> Nombres polis – Introduction

>>> Nombres polis – Développement

>>> Quantité de diviseurs

 

 

409.            Nombres fluets (skinny numbers)

Un nombre fluet (skinny number) est un nombre sans création de retenue dans la multiplication par lui-même, c'est-à-dire, lorsqu'il est mis au carré.

Le nombre 13 est fluet alors que 14 ne l'est pas du fait que dans la multiplication on trouve 4 x 4 = 16.

 

Un nombre fluet comporte:

*      Jamais de 4;

*      Un seul 3, mais alors sans 2;

*      Des 2 mais alors sans 3;

*    Un 2 ou deux 2, mais jamais trois 2;

*    Des 0 et des 1 sans restrictions.

 

Nombres fluets jusqu'à 1000

1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31, 100, 101, 102, 103, 110, 111, 112, 113, 120, 121, 122, 130, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 300, 301, 310, 311, 1000.

Brèves associées

>>> Nombres auto-descriptifs

>>> Nombres de Harshad

Pour en savoir plus

>>> Nombre fluets

>>> Nombres à motifs

 

 

410.            Hexagone magique

Énigme

Énigme de niveau école primaire.

 

Placez les nombres de 1 à 6 dans cet hexagone de sorte que la somme de deux nombres consécutifs soit toujours 6, 7 ou 8.

 

Quelle est la valeur de x ?

 

Note: le 1 est déjà placé, mais il pourrait être n'importe où.

 

Solution

À partir du 1 déjà placé, pour atteindre 6, 7 ou 8, on a le choix entre 5 et 6 seulement. L'un va en haut du 5, l'autre en bas.

Nombres qui restent: 2, 3 et 4.

 

Après le 6, seul le 2 convient pour faire la somme 8; en effet, 3 et 4 sont trop grands.

Avec le 3 et le 4 qui restent, seul le 4 convient après le 2.

 

Soit deux solutions, dans un sens ou l'autre:

[1, 5, 3, 4, 2, 6, 1] ou  [1, 6, 2, 4, 3, 5, 1].

 

Brèves associées

>>> Séquence miroir

>>> Lapins et canards

Pour en savoir plus

>>> Hexagones magiques

>>> Carrés magiques – Index

 

 

411.            Périmètre du rectangle divisé

Énigme

On donne la figure de gauche. Les nombres indiquent le périmètre des rectangles internes.

Avec ces seules indications, retrouver le périmètre du grand rectangle.

 

Solution

Plaquons les rectangles sur les bords comme sur la figure de droite.

On observe que chaque côté des rectangles internes contribuent aux côtés du grand rectangle.

Attention, les largeurs des bandes, contribuent 4 fois alors qu'on en a besoin que de 2. Deux fois ces segments représentent le périmètre du rectangle central.

Il suffit alors d'ajouter le périmètre des rectangles internes et retrancher celui du rectangle central (ici un carré).

  

Brèves associées

>>> Rectangle partagé

>>> Les neuf points en un seul trait

Pour en savoir plus

>>> Périmètre

>>> Énigmes périmètres et aires

>>> Périmètre et autres énigmes

 

 

412.            Égalité en 71 à rectifier

 

Rectifier cette égalité en ajoutant un seul point

Solution

Brèves associées

>>> Dix en chiffres

>>> Nombre deviné ABC = k . A.B.C

Pour en savoir plus

>>> Nombre 71

>>> Jeux et énigmes – Index

 

 

413.            Série avec exponentielle

Quelle est la valeur limite de E ?

Passons à l'écriture fractionnaire:

Produit à somme des exposants:

Avec la limite de cette suite

Brèves associées

>>> Suite de Sherlock Holmes

>>> Fraction et série infinie

Pour en savoir plus

>>> Série avec exponentielles

>>> Série harmonique

 

 

414.            Nombres avec carrés

 

Première succession de quatre nombres avec facteurs carrés

242 = 2  x 112

243 = 32 x 33 = 35

244 = 22 x 61

245 = 5  x 72

Pour cinq

844 =   22 x 211

845 = 132 x   5

846 =   32 x 94

847 = 112 x   7

848 =   42 x 53

 

 

Liste des plus petites suites de k nombres avec des carrés

[1, 4], [2, 8], [3, 48],
[4, 242], [5, 844],
[6, 22020]

 

Les suivants dans l'ordre

217070, 1092747, 8870024, 221167422, 221167422, 47255689915, 82462576220, 1043460553364, 79180770078548, 3215226335143218, 23742453640900972, 125781000834058568, …

Brèves associées

>>> Nombres carrés

>>> Nombres sans facteurs carrés

Pour en savoir plus

>>> Nombres avec carrés – Records

>>> Nombres avec cubes – Records

 

 

415.            Somme de puissances

 

Formule générale

 

Cas des puissances de 2

 

 

Exemples

40 + 41 + 42 + 43 + 44 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
= (45 – 1) / (4 – 1) – 1 = 1023 / 3 = 341

 

 

1 + 10 + 100  + 1 000 = 1 111
= (104 – 1) / (10 – 1) = 10 000 / 9 = 1 111

 

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 1 024 = 2 048 – 1 = 2 047

 

Valeur de a en horizontal et de n en vertical

 

Nombres de ce tableau jusqu'à 1111. Ils sont 37.

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 21, 31, 40, 43, 57, 63, 73, 85, 91, 111, 121, 127, 156, 255, 259, 341, 364, 400, 511, 585, 781, 820, 1023, 1093, 1111.

 

Brèves associées

>>> Carré = Somme de cubes

>>> Carré et cube à la fois

Pour en savoir plus

>>> Sommes à des puissances successives

 

 

416.            Numération romaine médiévale

 

Numération curieuse utilisée au Moyen Âge. Elle mêle les chiffres romains classiques avec des multiples de 20 (système vigésimal). Elle est à l'origine de notre curieux quatre-vingts.

L'illustration montre la notation classique des Romains (LXXX) pour le nombre 80. En bas, en bleu, les trois versions médiévales, la plus courante étant (IIIIXX) qui est la plus déroutante.

 

Avec cette numération:

IIIIXXX = IIIIXXX = 4 x 20 + 10 = 90

XIIIXXXIIII = XIIIXXXIIII = 13 x 20 + 14 = 274

 

Nombre 80 en chiffres romains

 

Brèves associées

>>> Chiffres romains

>>> Chiffres et nombres

Pour en savoir plus

>>> Numération romaine médiévale

>>> Numération romaine

>>> Numération base 20

>>> Notre quatre-vingts – Pourquoi ?

>>> Nombre 80

 

 

417.            Carré magique des moyennes

 

En bleu sur la périphérie du carré, les nombres indiqués sont des contraintes.

Chaque nombre dans le carré central est la moyenne des quatre nombres qui l'entoure.

 

 

 

Généralisation à une grille d'ordre quelconque et à des contraintes (valeurs sur le pourtour) quelconques.

Application à la propagation de la chaleur dans les matériaux.

Brèves associées

>>> Carré magique 3 x 3

>>> Carré magique à la demande

Pour en savoir plus

>>> Carré magique des moyennes

>>> Carrés magiques – Index

 

 

418.            Triangle de Leibniz

Triangle formé à partir des nombres (fractions) de la série harmonique.

Chaque ligne est constituée des inverses des termes du triangle de Pascal divisés par le numéro de la ligne (à partir de 1).

Chaque terme est la somme des deux du dessous.

Brèves associées

>>> Triangle de Pascal

>>> Combinaisons de 7 parmi 15

Pour en savoir plus

>>> Triangle de Leibniz

>>> Série harmonique

 

 

419.            Divisibilité de An – Bn

 

 

an – bn est toujours divisible par (a – b)

Ex: 7n – 3n divisible par 7 – 3 = 4

       7n – 6n divisible par 7 – 6 = 1, et par 13 si n est pair.

 

Cas où b = 1; où il est question de repdigits

Le développement montre qu'un nombre à une puissance auquel on soustrait un, est un nombre composé; et, il s'écrit comme un repdigit dans la base puissance moins un. C'est un nombre brésilien.

 

Brèves associées

>>> Divisibilité des carrés et cubes

>>> Divisibilité du produit de nombres

Pour en savoir plus

>>> Divisibilité de An – Bn

>>> Nombre brésilien

>>> Repdigit

 

 

 

Château et douves - Solution

Avec deux planches de 4,75 mètres, ça marche en les disposant comme indiqué.

 

Retour

 

 

 

Rectifier cette égalité en ajoutant un seul point – Solution

Retour

 

 

 

Retour

*         Brèves de maths – Page 20

Suite

*         Brèves de maths – Page 22

Voir

*         Voir liens en haut de page

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/aBreves/Breve21.htm