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Édition du: 09/02/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Construction Géométrie	Rectangles et disques
	Cercles dans le rectangle	Densité de disques	Empilement des sphères
	Rectangle dans le cercle	Rectangles évidés

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Rectangle évidé par des cercles
	Sommaire de cette page >>> Rectangle, quart et demi-cercles >>> Rectangle évidé par des cercles	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Rectangle, quart et demi-cercles		haut
Problème très simple à condition de ne pas s'embarquer dans des calculs trop tôt.
Construction Un rectangle de dimensions (L et x). Un quart de cercle construit sur sa longueur et un demi cercle tel que montré sur la figure. Quelle est la valeur de x pour que les aires A et B soient égales ? Pistes Notons C la zone circulaire blanche : B + C = demi-cercle de diamètre x + L. A + C = quart de cercle de rayon L. Nous devons obtenir A + C = B + C, avec C commun aux deux côtés de l'égalité. Calculs Aires : A + C = ¼ π L² A + B = ½ π (½ (L + x))² En comparant les égalités (fois 8 pour faciliter les calculs): 2π L² = π (L² + 2Lx + x²) x² + 2Lx – L² = 0 (x + L)² – 2L² = 0 x + L = √2 L x = (√2 – 1) L = 0,4142... L	Figure initiale avec L = 1 Figure avec notations

Rectangle évidé par des cercles		haut
Comment résoudre ce problème de géométrie où une seule mesure est connue ? Se souvenir qu’en un point de tangence, le rayon du cercle est perpendiculaire à la tangente. Alors, si deux rayons aboutissent au même point de tangence, ils sont situés sur la même droite.
Construction Un rectangle dont le grand côté mesure 8 cm. Un demi cercle est tracé avec le petit côté comme diamètre. Un quart de cercle occupe la partie droite du rectangle. Quelle est l’aire de la zone verte ? Calcul de r (Voir la figure du bas) Nommons r le rayon du demi-cercle ; celui du quart de cercle sera égal à 2r. Si F est le point de tangence des deux cercles, EF est un rayon et BF aussi pour l’autre cercle. Ces deux rayons sont colinéaires. Les points E, F et B sont alignés. Avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABE : (3r)² = r² + 8² 8r² = 8² r² = 8² / 8 = 8 Calcul de l’aire Aire du rectangle : 8 × 2r = 16r Aire du demi-cercle : 1/2 π r² Aire du quart de cercle : 1/4 π (2r)² = π r² Aire verte : A = 16r – 3/2 π r² Avec r² = 8 = 2√2 A = 32√2 – 12 π = 7,555 722 ...	Figure initiale Figure avec notations

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