NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

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Triangle

 

 

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Brocard

Cercles et triangles

Équilatéral 345

 

Sommaire de cette page

>>> Problème du carré dans un triangle

>>> Calculs

>>> Valeurs

>>> Cas du triangle équilatéral

>>> Problème du triangle maximum dans un carré

>>> Problème du carré maximum dans triangle

>>>  Problème du triangle minimum

 

 

 

 

 

CARRÉS et TRIANGLES

 

1) Aire du carré inscrit dans un triangle isocèle?

    Exemple de calcul simple mais qui mérite attention.

    Ne pas se perdre dans les facteurs 2, par exemple!  >>>

 

2) Quelle est la taille maximale d'un triangle

    positionné à l'intérieur d'un carré?

    Ne pas s'embarquer dans des calculs compliqués!   >>>

 

3) Un carré d'aire maximale dans un triangle à choisir

     mais d'aire unitaire  >>>

 

4) Un triangle d'aire minimale dans un repère >>>

Anglais: Largest inscribed square

 

 

 

Problème

Données

 

*  Un triangle isocèle

-       base de longueur a

-       côtés de longueur b

-       hauteur h

-       aire totale = 2T = aire des deux triangles rectangles

*  Un carré inscrit

-       côté de longueur c

-       aire Ac

*  Le carré dans le triangle découpe

-       un triangle en haut formé de deux triangles rectangle d'aire T1

-       deux triangles rectangles en bas d'aire T2


 
Figure

Problème

 

Connaissant les longueurs a et b des côtés du triangle, trouvez la longueur c du côté  du carré inscrit.

Principe du calcul

 

Il consiste à égaler l'aire du grand triangle à la somme des aires des figures qui le compose: le carré et les 2 x 2 triangles rectangles.

 

Ce problème fait partie de l'héritage arabe.

Il a été décrit par le célèbre mathématicien Al-Khwarizmi (780-850).

Cité par Ahmed Djebbar – L'algèbre arabe, genèse d'un art - Vuibert

 

 

 

 

Calculs

Étapes calcul

Littéral

Numérique

a = 60 ; b = 50

*   Calcul de la longueur de la hauteur (Pythagore)

h² = b² – (a/2)²

h² = 50² – 30² = 1600

h = 40

*   Aire du grand triangle isocèle

2T = ½ h x a = ha/2

2T = ½ x 40 x 60 = 1200

*   Aire triangles du haut

2T1 = ½ (h – c) x c

       = hc/2 – c²/2

2T1 = 20c – c²/2

*   Aire triangles du bas

2T2 = 2 { ½ c x (a/2 –c/2) }

       =ac/2 – c²/2

2T2 = 30c – c²/2

*   Aire du carré

Ca = c²

 

*   Égalité des aires

2 T = Ca + 2T1 + 2T2

 

ha/2 = c² + hc/2 – c²/2 + ac/2 – c²/2

ha/2 = hc/2 + ac/2

ha = hc + ac

1200 = c² + 20c – c²/2 + 30c – c²/2

1200 = 20c + 30c  = 50 c

c = 1200 / 50 = 24

 

*   Résultat

c = 40 x 60 / (40 + 60) = 24

 

 

Valeurs entières

*  Les valeurs entières jusqu'à

a < 1000

b < 1000



*  Les multiples sont indiqués pour les premières valeurs.

 

 

 

Cas du triangle équilatéral

 

Le plus grand carré dans le triangle équilatéral

 

de notre formule au triangle équilatéral

Avec la hauteur h =  /2 a

 

 

 

Comparaison

Le rectangle construit à partir des perpendiculaires issues des points milieux de deux côtés conduit à une aire très proche du maximum. L'écart est seulement de 0,001, soit 5 ‰.

 

Le plus grand triangle équilatéral dans le carré

 

C'est un triangle incliné de 15° et dont le côté mesure:

Et l'aire:

 

Note:

 

Voir Angle de 15°

 

 

 

 

Le triangle max. dans un carré

 

*    Nous disposons d'un carré unité, quelle est l'aire maximale du triangle logé dans ce carré?

 

*    Une première idée consiste à dessiner le triangle rectangle et isocèle avec ses trois sommets communs à trois sommets du carré.

Son aire est égale à la moitié de celle du carré.

 

*    Est-ce le maximum?
La réponse est oui!

 

Note: le plus grand carré dans un triangle d'aire unité est un problème qui n'a pas de sens. Dans un triangle très effilé, il n'y aurait même pas la place pour un tout petit carré. >>>


 

L'aire du triangle est le demi-produit des longueurs de d'un côté et de la hauteur attenante.

 

 

Cas de gauche: tout triangle dessiné à l'intérieur sera toujours plus petit qu'un triangle inscrit. Il suffit de le faire grossir par homothétie (zoom) pour toucher l'un des côtés du carré.

 

Cas de droite: le triangle est inscrit, ses sommets sont situés sur les côtés du carré. Il suffit de faire glisser l'un des sommets vers un sommet du carré pour faire grossir le triangle.

 

Cas du bas: Considérons le cas du triangle inscrit donc un sommet est commun avec le carré. Pouvons-nous le faire grossir au-delà du demi-carré?

 

 

L'aire du triangle grandit lorsqu'on plaque ses sommets sur les côtés du carré, et même plus si l'un des sommets est sur un sommet du carré.

 

*    Partageons le carré, et par là même le triangle en deux par AH.

*    Aire de ABD = ½ AD . h

*    Aire de ACD = ½ AD . k

*    Aire de ABC = ½ AD . (h + k) = AD

 

 

*    L'aire du triangle ABC est maximale si la longueur AD est maximale et égale à 1.

*    Dans ce cas, D est en H et B est sur le sommet du carré.

 

*    L'aire du triangle est égale à la moitié de celle du carré.

*    Ce qui constitue un maximum.

 

 

 

 

Carré max. dans triangle unité

 

*    Ici nous considérons un triangle d'aire unité à notre convenance pour qu'il accommode le plus grand carré possible. Quelle est la forme du triangle?

*    On montre qu'il s'agit de la figure ci-contre:

*    triangle rectangle isocèle de mesure:

*    carré logé dans l'angle droit.

 

Calculs

Aire triangle: 2 x ½ x 1 x 1 = 1

Aire du carré:

 


Cette configuration maximalise l'aire du carré (1/2) pour un triangle à choisir d'aire unité. La démonstration n'est pas simple.

 

 

 

Triangle minimum

 

*    Un système d'axes (O,x,y) et un point M. trouvez quelle est la droite PQ passant par M qui minimise l'aire du triangle 1.

*    La solution consiste à dessiner l'image miroir: système d'axes (O', x', y') qui met en évidence le triangle 2, de même aire que le triangle 1.

*    Avec les deux petits triangles qui dépassent sur les côtés, l'aire sommée des deux triangles dépasse toujours celle du rectangle.

*    Le seul cas où cette aire est égale à celle du rectangle (et pas possible d'obtenir moins moins) est le cas où  PQ est la diagonale du rectangle

*    Alors, l'aire minimale est moitié de celle du rectangle.

 

 

 

 

 

Suite

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Livre

*    Problems for mathematicians young and old by Paul Halmos – The Mathematical Association of America.

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