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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

SPHÈRE

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

Géométrie

 

 

Général

Aire et volume

Volumes proches

Empilements

Calotte …

Et cube

Sphère terrestre

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Kissing numbers

>>> Trois types de réseaux

>>> Historique 

>>> Mécanique des sphères

>>> Pouliquen et Weidman

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

EMPILEMENT DES SPHÈRES

Conjecture de Kepler

 

Les oranges empilée sur l'étal de l'épicier. Vous voyez … C'est simple! Eh bien, non! Trouver quel est l'empilement optimal est un véritable casse-tête pour les mathématiciens. Un problème qui a longtemps résisté aux calculs.

 

Historique (résumé)

1611 – Johannes Kepler émet sa conjecture: l'empilement de l'épicier est le plus dense possible.

1831 – Gauss démontre que cet empilement est le plus dense des empilements réguliers. Et s'il en existait un irrégulier plus dense?

1998 – Thomas Hales démontre que non, mais personne ne peut la vérifier complètement.

2014 – Il fournit la preuve formelle de la conjecture.

2016 – Maryna Viazovska a résolu le problème de l'empilement optimal des sphères en dimension 8 et 24.

Suite de l'historique >>>

Voir Lois de Kepler / Preuve des quatre couleurs / Actualités 2016

 

attention.png Ce sujet est hyper-foisonnant et cette page ne constitue qu'un aperçu.

 

 

Devinette

Quelle est la caisse la plus lourde ?

Celle avec une boule de rayon R ou celle avec 5 x 5 x 5 billes de rayon r = R/5 ?

Boule et billes sont du même métal.

Solution

 

 

 

Approche

*    Dans le plan (deux dimensions):

*    avec l'arrangement rectangulaire (orange), une sphère en touche quatre autres; cet arrangement n'est pas optimal.

*    avec l'arrangement hexagonal (rouge), une sphère en touche six autres. C'est mieux!

 

Note: deux types de problèmes proches:

*      l'empilement des disques ou des sphères, et

*      combien de disques ou de sphères peuvent en toucher une autre.   Voir Kissing numbers

 

 

 

 

 

 

*    Pour passer en trois dimensions, on ajoute:

*    trois sphères au-dessus et

*    trois sphères en-dessous.

 

*    Ce qui conduit à:

*    une sphère centrale est entourée de douze sphères identiques;

*    chaque sphère extérieure touche la sphère centrale et quatre autres.

 

Source image du bas Mathworld

 

*    La densité d'empilement (d) est le rapport entre le volume des sphères identiques et celui de la boite les contenant. C'est, en fait, le pourcentage d'espace occupé par les sphères (les boules).

*    La densité maximale (dmax) fut conjecturée par Kepler et démontrée par Hale.

*    Pour éviter les effets de bord, on considère un tas idéal prolongé à l'infini.

*    Par contre, l’équation de l’empilement des sphères est toujours inconnue.

 

 

Kepler et ses successeurs connaissent exactement cette valeur de la densité de l'empilement de l'épicier (cubique à face centrées)

 

Le probléme est de montrer qu'il n'en existe pas d'autres plus performant en densité. Régilers ou totament irréguliers.

 

KISSING NUMBERS

*    Combien de sphères identiques au maximum peuvent se ranger autour d'une sphère du même type?

 

*      On a longtemps hésité entre:

*      12 (partisan: Newton)  et

*      13 (partisan: Gregory).
C'est 12, démontré en 1953

 

*      Le tableau donne les "nombres caressants" (kissing numbers) pour les dimensions suivantes: quantité maximale d'hypersphères voisines d'une hypersphère.

 

Kissing number selon la dimension de l'espace

 

 

 

Trois types de réseaux pour un empilement en trois dimensions

 

                 Cubique  /  Cubique à faces centrées  /  Hexagonal

 

Densités

 

 

  

 

Mécanique des Sphères

Densité des disques dans le plan (rectangulaire):

Densité des disques dans le plan (hexagonal:

Constante de l’état désordonné compact:

Constante universelle de la mécanique des sphères:

Densité des oranges déversées sans précaution dans une grande boîte:

0,55

Densité prises par les oranges dans son carton, en secouant:

Comparable à l'état désordonné compact, analogue à l’état liquide.

0,6366

État du verre:

> 0,64

Densité maximale d’empilement des sphères:

Comparable à l'état du cristal.

0,74

 

  Densité du cube à faces centrées

Voir Densité des disques

 

 

 

HISTORIQUE

Thomas Hariott

1606

L'assistant de Walter Raleigh se pose le problème de l'empilement des boulets de canons. Cet astronome correspond avec Kepler.

Johannes Kepler

(1571-1639)

1611

Conjecture que l'empilement optimum est celui des oranges sur l'étalage de l'épicier; soit une disposition cubique à faces centrées.

La densité serait alors 0,740…

Il existe une infinité d'empilements ayant cette densité.

À l'origine, Kepler s'intéressait aux flocons de neige. Il écrit un article qui s'avérera utile en cristallographie: le flocon de neige à six branches. En réalité, il pense que la nature produit les arrangements les plus efficaces comme pour le flocon ou encore les alvéoles des abeilles.

Newton et Gregory

1690

Polémique pour savoir combien de sphères identiques peut-on mettre autour d'une sphère. Problème résolu en 1953.

Lagrange

1773

Prouve que l'arrangement hexagonal des disques est minimal avec une densité de Pi / rac(12) pour un arrangement régulier (réseau)

Carl Friedrich Gauss

1831

Prouve que la conjecture de Kepler est juste pour un arrangement régulier de sphères. Reste à prouver qu'aucun arrangement irrégulier n'est encore plus dense.

Auguste Bravais

1848

Prouve qu'il n'existe que 14 réseaux distincts en trois dimensions

Alex Thue (1863-1922)

1892 et 1910

Il aurait démontré que l'arrangement hexagonal est le plus efficace des arrangements de disques, régulier ou irrégulier. Preuve jugée pas assez rigoureuse pour être retenue.

David Hilbert

1900

En fait, cette conjecture de Kepler devient  le 18e  de ses 24 problèmes.

Laszlo Fejes Toth

1940

Prouve que l'arrangement hexagonal des disques est le plus dense de tous, réguliers ou irrégulier.

Rankin

1947

Meilleure solution connue: d = 0,828.

Fejes Toth

1953

Il utilise la décomposition de Voronoï, une construction géométrique classique, et ramène le problème à une question d'optimisation d'une fonction non linéaire à près de 150 variables. Solution impossible à calculer même avec les ordinateurs les plus puissants.

Kurt Schütte et

Bartel Leendert van der Waerden

1953

Preuve que seules 12 et pas 13 sphères identiques peuvent se placer autour d'une sphère. (Sphere kissing problem).

C'est 24 en 4D. La preuve date de 2003 par Musin qui trouve également les valeurs pour 5D et 24D.

Les valeurs pour les empilements d'hypersphères sont connues pour les dimensions 1 à 8 et pour 24

François Le Lionnais

1958

Dans son ouvrage "Les nombres remarquables", il donne 0,779 635 570 0.. =  comme étant le meilleur majorant en 1994, valeur trouvée en 1958 par C.A. Rogers

David Scott

1960

Il évalue la densité de l’état désordonné compact avec des billes huilées dans un cylindre.

Buckminster Fuller

1975

Prétend détenir la preuve. Il s'agit du rangement en cube à face centrée sans démontrer que c'est la plus grande des densités.

D.J. Muder

1988

1993

 

d < 0,77 836…

d < 0,77 3055...
Ce qui veut dire que l'empilement de l'épicier avec d = 0,740… est proche de ce maximum potentiel.

Wu-Yi Hsiang

1991

Annonce qu'il a la solution. Elle fortement critiquée, notamment par Hales qui est déjà au travail sur ce sujet. Elle ne sera pas validée.

Les Woodcock

1997

Prouve que l’empilement le plus stable est la forme "cubique à face centrée", vision scientifique de l’empilement de l’épicier.

Les sphères de la 3e couche sont bien à la verticale de celles de la première.

Olivier Pouliquen & Patrick Weidman

1997

Ils dépassent le seuil des 0,64 pour s’approcher du 0,74 (En fait 0,70)

Ils déplacent les billes dans la boîte par un lent mouvement de cisaillement répété très longtemps.

 

Principe du dispositif de Pouliquen et Weidman:

Boîte à fond plat fixe; Côtés pivotants sur charnières fixées au fond; Billes en vrac dedans; Mouvements de va et vient très lents; Les billes prennent progressivement leur empilement le plus dense.

 

 

Thomas Hales

1998

Université de Michigan

Prouve la conjecture de Kepler.

Comme pour les 4 couleurs, il termine la démonstration en épluchant avec un ordinateur les 5094 cas particuliers qui lui restaient.

Il utilise une construction voisine de celle de Toth; Méthodes combinatoires plus indirectes avec classification et utilisant la programmation linéaire, les graphes planaires et une utilisation intensive de l'ordinateur.

La démonstration implique 300 pages de texte, 40 000 lignes de code (programme) et 3 Goctets de mémoire.

Thomas Hales

et son équipe

10 août 2014

Université de Pittsburgh

On dit qu'une équipe de douze mathématiciens aurait donné leur verdict après quatre ans de vérification: la démonstration est probablement juste à 99%. Il n'est pas possible d'assurer qu'aucune faille ne s'y est glissée.

En 2003, Hales décide de lancer son projet Flyspeck mettant en œuvre un assistant de preuve par ordinateur. Il avait évalué l'effort à 20 hommes-an.

En 2014, annonce officielle de la réussite de ce projet: la conjecture de Kepler est formellement démontrée.

Maryna Viazovska et al.

Henry Cohn et al.

Mars 2016

Si le problème d'empilement des sphères à trois dimensions a été résolu en 1998, celui à 8 et 24 dimensions vient d'être résolu en 2016.

Avec 8 dimensions, la structure optimale est décrite par le groupe de symétrie  de Lie (E8) et avec 24, c'est le groupe de Leech. Ces groupes sont impliqués dans les codes auto-correcteurs d'erreurs.

 

 

 

English corner

 

*    The densest sphere packing a Kepler's conjecture or the Kepler's problem. The stacking of solid spheres in pyramids; the cannonball packing.

*      Not solved until very recently (2014) by Thomas Hales by making extensive use of computer calculations.

*      Density of packing: total area or volume of the objects being packed divided by the total area or volume of the container. In this calculation the method of limits should be applied assuming that the container boundary tends to infinity.

*      The classic sphere-packing problem: find the densest packing of equal spheres in the three dimensional space (d).

*      Kepler's conjecture: d = Pi / Rac(18) = 074...
 

Voir Anglais

 

 

Devinette – Solution

Solution avec calcul

Volume de la boule rouge:

Volume des billes bleues:

 

Solution avec raisonnement (sans calcul)

Imaginons que chaque petite bille soit dans une petite caisse cubique. Leur empilement reconstitue exactement la grande caisse contenant la boule rouge.

 

Bilan

Boule et billes ont même volume; même masse et même poids.

Avec des microbilles sphériques de rayon un milliard de fois plus petit, ce serait la même chose !

Retour

 

 

Suite

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*    Éléments de cristallographie – Voir le réseau cubique à face centrée et ses coupes.

*    Kepler conjecture – Mathworld – Eric Weisstein

*    Sphere packing – Mathworld – Eric Weisstein

*    Kissing number – Mathworld – Eric Weisstein

*    What's the densest sphere packing in a million dimensions? – Henry Cohn, Microsoft Research New England – 2014 (pdf, anglais)

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