NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Découverte des quadrilatères

 

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

Pavage de Penrose

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Losange

>>> Formules

>>> Exemples

>>> Cercle inscrit

>>> Voisins 

 

 

 

 

LOSANGE

 

Un parallélogramme + : quatre côtés de même longueur.

ou un carré :  angles égaux deux à deux, mais pas droits.

 

Ancien nom:    rhombe

Anglais:            rhombus or rhomb

Espagnol:        rombo

Voir Place du losange dans la famille des quadrilatères

 

 

Logo-Renault-2008-350.jpg

Renault est la marque au losange.

Voir Voitures

 

 

 

LOSANGE

 

*    Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si l'une des propositions suivante est satisfaite:

 

*      Ses quatre côté ont même longueur.

*      Ses diagonales sont bissectrices des angles internes.

*      Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

*      Parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur.

*      Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

*      Parallélogramme avec une diagonale bissectrice d'un angle interne.

 

Le losange: un carré aplati !

 

 

Voir Pythagore

 

Propriétés

 

*    Le losange est une figure plane.

*    Le losange est formé de quatre triangles rectangles identiques accolés.

*    Les côté opposés sont parallèles.

*    Les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu.

*    Elles sont les bissectrices de ses angles.

*    Chacune est la médiatrice de l'autre.

*    Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

*    Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.

*    Deux angles adjacents ajoutés forment un angle plat (180°).

*    Toute droite passant par le milieu de deux côtés opposés partage la surface en deux parties égales.

*    La somme du carré des côtés égal la somme des carrés des diagonales: 4a² = d² + h²

*    Le losange possède un cercle inscrit: tangent aux quatre côtés.

 

*    À la fois: parallélogramme et pseudo-carré (cerf-volant; anglais kite).

*    Il lui faut peu de chose pour devenir carré: diagonales de même longueur, ou un angle droit.

 

 

 

 

Géométrie – Formules

 

*    Aire du losange: demi-produit des longueurs des diagonales.

*    Visible en composant l'un des deux rectangles de même aire.

 

 

  

 

Exemples

 

Exemple de losange résolu

D est le diamètre du cercle inscrit: D = 2r.

Figure en principe à l'échelle pour un grossissement-image de 100%.

 

Cas de losanges entiers ou rationnels

*    Les valeurs de a, h et de sont entières si a, h/2 et d/2 forment un triplet de Pythagore.

*    Par exemple: avec le triplet (3, 4, 5) => a = 5, h = 6 et d = 8 ou leurs multiples (75, 90 et 120 ci-dessous).

*    Quelques exemples:

  

 

 

Cercle inscrit

*    Un losange possède toujours un cercle inscrit.

*    Son centre est le centre du losange O, le point d'intersection des diagonales.

*    Le rayon est la hauteur des triangles rectangles générateurs du losange.

*    Le calcul est un bon exercice avec les identités trigonométriques des angles moitiés (ou doubles)

*    Dans l'un des triangles rectangles (de côté OB, par exemple).

*    Remplacement h par sa valeur en fonction de bêta (tableau ci-dessus).

*    Avec: sin 2A  =  2 sin A . cos A =>

Cette relation a été utilisée également pour exprimer l'aire du losange en fonction de alpha et bêta (voir le tableau).

*    Les angles alpha et bêta sont supplémentaires (180°); leur sinus sont égaux

*    La hauteur HB du losange est parallèle au diamètre R1R2 du cercle inscrit. Elle mesure 2r.

*    L'aire du losange est égale au produit de la base (a), par la hauteur (h) comme pour tous les parallélogrammes: A = 2 a r.

*    L'aire vaut également ½ h d. En rapprochant ces deux expressions de l'aire, il vient une relation entre les quatre paramètres du losange.

 

 

VOISINS 

Français

Anglais

Commentaires

Rhombe

*  Ancien nom français du losange

*  Latin rhombus : losange; fuseau d'airain dont on se servait dans les enchantements

*  Grec rhombos

*  Le mot est passé en anglais et a été conservé

Losange

Rhombus

*  Gaulois lausa: pierre plate

*  Provençal lauza: pierre plate servant de couverture des toits (lave)

Rhomboèdre

Rhombohedron

*  Polyèdre à 6 faces losange

*  Parallélépipède dont les côtés ont même longueur

Rhombique

Rhombohedral

*  Cristal en forme de losange

*  Parallélépipède dont les faces sont des losanges

Rhomboïde

Rhomboid

*  Ancien nom du parallélogramme

*  Nom d'un muscle du dos en forme de losange

Rhomboïdal

Rhomboidal

*  Polyèdres dont les faces sont des parallélogrammes

 

 

Pavage de Penrose

 

*    Ce pavage de Penrose (1974) est réalisé en combinant des losanges de deux tailles.

*    Il est basé sur le décagone comportant cinq petits losanges et cinq grands.

*    La proportion de losanges de grande taille par rapport aux losanges de petite taille tend vers le nombre d'or. 

 

*    La principale propriété de ce pavage: il n'est pas régulier (pas périodique).

 

 

 

English corner

 

*    Rhombus: a quadrilateral all of whose sides have the same length.

Notez la tournure anglaise

*    Several rhombi.

*    As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height. The base is simply any side length a, and the height D is the perpendicular distance between any two non-adjacent sides.

 

 

 

Suite

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