NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Découverte des quadrilatères

 

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

Pavage de Penrose

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

Polygones

 

Sommaire de cette page

>>> Losange

>>> Formules

>>> Exemples

>>> Cercle inscrit

>>> Losange dans le rectangle – Construction

>>> Losange dans le triangle – Construction

>>> Cercle inscrit

>>> Voisins

>>> Losange doré

>>> Anglais

 

 

 

 

LOSANGE

 

Un parallélogramme + : quatre côtés de même longueur.

ou un carré :  angles égaux deux à deux, droits ou pas.

 

Ancien nom:    rhombe (aujourd'hui: un losange quelconque, non carré)

Anglais:            rhombus or rhomb

Espagnol:        rombo

Voir Place du losange dans la famille des quadrilatères

 

 

Logo-Renault-2008-350.jpg

Renault est la marque au losange.

Voir Voitures

 

 

 

LOSANGE

 

*    Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si l'une des propositions suivante est satisfaite:

 

*      Ses quatre côté ont même longueur.

*      Ses diagonales sont bissectrices des angles internes.

*      Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

*      Parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur.

*      Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

*      Parallélogramme avec une diagonale bissectrice d'un angle interne.

 

 

Le losange: un carré aplati !

 

 

Voir Pythagore

 

 

 

Propriétés

 

*    Le losange est une figure plane.

*    Le losange est formé de quatre triangles rectangles identiques accolés.

*    Les côté opposés sont parallèles.

*    Les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu.

*    Elles sont les bissectrices de ses angles.

*    Chacune est la médiatrice de l'autre.

*    Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

*    Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.

*    Deux angles adjacents ajoutés forment un angle plat (180°).

*    Toute droite passant par le milieu de deux côtés opposés partage la surface en deux parties égales.

*    La somme du carré des côtés égal la somme des carrés des diagonales: 4a² = d² + h²

*    Le losange possède un cercle inscrit: tangent aux quatre côtés.

 

*    À la fois: parallélogramme et pseudo-carré (cerf-volant; anglais kite).

*    Il lui faut peu de chose pour devenir carré: diagonales de même longueur, ou un angle droit.

 

 

 

Géométrie – Formules

 

*    Aire du losange: demi-produit des longueurs des diagonales.

*    Visible en composant l'un des deux rectangles de même aire.

 

Voir Aire et volume du rhomboèdre / Application au demi-cercle inscrit dans le triangle isocèle

 

 

 

Exemples

 

Exemple de losange résolu

D est le diamètre du cercle inscrit: D = 2r.

Figure en principe à l'échelle pour un grossissement-image de 100%.

 

Cas de losanges entiers ou rationnels

*    Les valeurs de a, h et de sont entières si a, h/2 et d/2 forment un triplet de Pythagore.

*    Par exemple: avec le triplet (3, 4, 5) => a = 5, h = 6 et d = 8 ou leurs multiples (75, 90 et 120 ci-dessous).

*    Quelques exemples:

  

 

 

Cercle inscrit

*    Un losange possède toujours un cercle inscrit.

*    Son centre est le centre du losange O, le point d'intersection des diagonales.

*    Le rayon est la hauteur des triangles rectangles générateurs du losange.

*    Le calcul est un bon exercice avec les identités trigonométriques des angles moitiés (ou doubles)

*    Dans l'un des triangles rectangles (de côté OB, par exemple).

*    Remplacement h par sa valeur en fonction de bêta (tableau ci-dessus).

*    Avec: sin 2A  =  2 sin A . cos A =>

Cette relation a été utilisée également pour exprimer l'aire du losange en fonction de alpha et bêta (voir le tableau).

*    Les angles alpha et bêta sont supplémentaires (180°); leur sinus sont égaux

*    La hauteur HB du losange est parallèle au diamètre R1R2 du cercle inscrit. Elle mesure 2r.

*    L'aire du losange est égale au produit de la base (a), par la hauteur (h) comme pour tous les parallélogrammes: A = 2 a r.

*    L'aire vaut également ½ h d. En rapprochant ces deux expressions de l'aire, il vient une relation entre les quatre paramètres du losange.

 

 

Construction du losange dans le rectangle

 

Problème

Construire un losange dans un rectangle donné.

Seule chose à se rappeler: les diagonales d'un losange se coupent à angle droit en leur milieu.

 

Construction

1.    Rectangle jaune.

2.    Ses deux diagonales dont l'une sera celle du losange et l'autre (pointillés) sert à construire le point milieu.

3.    Perpendiculaire en ce point milieu à l'autre diagonale (verte).

4.    Segments bleus depuis les intersections de la perpendiculaire avec le rectangle et rejoignant les sommets.

5.    Le losange est tracé (surface bleue).

 

Justification

L'une des diagonales du nouveau quadrilatère est coupée en son milieu. L'autre diagonale, limitée par des parallèles, l'est aussi.

Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et coupées en leur milieu est un losange (propriété n°4 ci-dessus).

 

 

Autre méthode plus performante

Via la construction de la médiatrice d'une des diagonales (AC).

 

Construction

1.    Rectangle ABCD.

2.    Cercles (A, AC) et (C, CA). Intersections E et F

3.    Segment EF. Intersections G et H.

4.    Losange en AGCH.

Construction précédente en pointillés verts.

 

Justification

Le point I, pied de la médiatrice de AC, est le milieu de AC: IA = IC.

Les droites AH et CG sont parallèles. Une sécante passant par I, milieu de la sécante AC, découpe des segments égaux, comme IH  = IG.

 Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et coupées en leur milieu est un losange (propriété n°4 ci-dessus).

 

 

Côté du losange

 

AB = L; AD = l;

AC = d; 

          d² = L² + 

c = AG = AH

 

Formule

Exemples

 

Construction du losange dans le triangle

 

Construire un losange inscrit dans le triangle ABC.

 

Construction

1.    Construire la bissectrice de l'angle BAC. Intersection D.

2.    Construire, la médiatrice de AD. Intersections E et G.

3.    Le losange est en AEDF.

 

Justification

La perpendiculaire EF à la bissectrice AD découpe des segments égaux: GE = GF.

Les points E et F sont à égales distances des points A et D: EA = ED = FA FD.

Le quadrilatère est un losange.

 

 

Cercle inscrit

Construire le cercle inscrit dans le losange

 

Construction

1.    Losange ABCD

2.    Ses diagonales et leur intersection E.

3.    Perpendiculaire à AD passant par E. Intersection F.

4.    Cercle (E, EF).

 

Les quatre segments du type EF sont des rayons du cercle.

 

 

VOISINS 

Français

Anglais

Commentaires

Rhombe

*  Ancien nom français du losange.

*  Latin rhombus : losange; fuseau d'airain dont on se servait dans les enchantements.

*  Grec rhombos.

*  Le mot est passé en anglais et a été conservé.

 

Subtilité
Rhombe = tout losange à l'exception du carré.

Losange

Rhombus

*  Gaulois lausa: pierre plate.

*  Provençal lauza: pierre plate servant de couverture des toits (lave).

Rhomboèdre

Rhombohedron

*  Polyèdre à 6 faces losange.

*  Parallélépipède dont les côtés ont même longueur.

Rhombique

Rhombohedral

*  Cristal en forme de losange.

*  Parallélépipède dont les faces sont des losanges.

Rhomboïde

Rhomboid

*  Ancien nom du parallélogramme.

*  Nom d'un muscle du dos en forme de losange.

Rhomboïdal

Rhomboidal

*  Polyèdres dont les faces sont des parallélogrammes.

 

 

Pavage de Penrose

 

 

*    Ce pavage de Penrose (1974) est réalisé en combinant des losanges de deux tailles.

*    Il est basé sur le décagone comportant cinq petits losanges et cinq grands.

*    La proportion de losanges de grande taille par rapport aux losanges de petite taille tend vers le nombre d'or. 

 

*    La principale propriété de ce pavage: il n'est pas régulier (pas périodique). Ce pavage concentre le plus grand nombre de valeurs angulaires dans un espace réduit.

 

*    Ce type de pavage de Penrose a été utilisé dans la fabrication d'un rasoir électrique par la société Braun, suite à une recherche selon la méthode TRIZ. Cette disposition favorise la saisie d'un maximum de poils, quel que soit l'angle formé entre les poils et la peau.

 

 

 

Losange doré

Construction

Un triangle rectangle (1, 2, ) sert de support à la construction d'un losange de côté .

 

Angle en A

      = arctan (2)

      = 63,434948…°

 

Calcul

Petite diagonale

  = 2² + ( - 1)² = 4 + 5 – 2 +1 = 10 – 2

Grande diagonale

D² = 2² + (  + 1)² = 4 + 5 + 2  + 1 =  10 + 2

Rapport des carrés

 

Rapport des diagonales

                   Le nombre d'or

 

Voir Carré du nombre d'or

 

 

 

English corner

 

*    Rhombus: a quadrilateral all of whose sides have the same length.

Notez la tournure anglaise

*    Several rhombi.

*    As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height. The base is simply any side length a, and the height D is the perpendicular distance between any two non-adjacent sides.

 

 

 

Suite

*    Calcul dans le losange (angles)

*    Rectangle

*    Rhomboèdre

*    Multiplications en losange

*    Construction du losange à 45°

*    Faire 7 losanges avec 12 allumettes

*    Découverte des quadrilatèresJuniors

Voir

*    GéométrieIndex

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*    Polygone

*    Quadrilatère

*    Tangram

*    Trigonométrie – Identités remarquables

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