NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/08/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Rectangle
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LOSANGE

Un parallélogramme + : quatre côtés de même longueur.

ou un carré – : angles égaux deux à deux, mais pas droits.

Ancien nom: rhombe

Anglais: rhombus or rhomb

Espagnol: rombo

Voir Place du losange dans la famille des quadrilatères

Renault est la marque au losange.

Voir Voitures

LOSANGE
Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si l'une des propositions suivante est satisfaite: Ses quatre côté ont même longueur. Ses diagonales sont bissectrices des angles internes. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur. Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Parallélogramme avec une diagonale bissectrice d'un angle interne.	Le losange: un carré aplati ! Voir Pythagore
Propriétés Le losange est une figure plane. Le losange est formé de quatre triangles rectangles identiques accolés. Les côté opposés sont parallèles. Les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu. Elles sont les bissectrices de ses angles. Chacune est la médiatrice de l'autre. Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux. Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales. Deux angles adjacents ajoutés forment un angle plat (180°). Toute droite passant par le milieu de deux côtés opposés partage la surface en deux parties égales. La somme du carré des côtés égal la somme des carrés des diagonales: 4a² = d² + h² Le losange possède un cercle inscrit: tangent aux quatre côtés. À la fois: parallélogramme et pseudo-carré (cerf-volant; anglais kite). Il lui faut peu de chose pour devenir carré: diagonales de même longueur, ou un angle droit.

Géométrie – Formules
Aire du losange: demi-produit des longueurs des diagonales. Visible en composant l'un des deux rectangles de même aire.

Exemples
Exemple de losange résolu D est le diamètre du cercle inscrit: D = 2r. Figure en principe à l'échelle pour un grossissement-image de 100%. Cas de losanges entiers ou rationnels Les valeurs de a, h et de sont entières si a, h/2 et d/2 forment un triplet de Pythagore. Par exemple: avec le triplet (3, 4, 5) => a = 5, h = 6 et d = 8 ou leurs multiples (75, 90 et 120 ci-dessous). Quelques exemples:

Cercle inscrit
Un losange possède toujours un cercle inscrit. Son centre est le centre du losange O, le point d'intersection des diagonales. Le rayon est la hauteur des triangles rectangles générateurs du losange. Le calcul est un bon exercice avec les identités trigonométriques des angles moitiés (ou doubles)
Dans l'un des triangles rectangles (de côté OB, par exemple).
Remplacement h par sa valeur en fonction de bêta (tableau ci-dessus).
Avec: sin 2A = 2 sin A . cos A => Cette relation a été utilisée également pour exprimer l'aire du losange en fonction de alpha et bêta (voir le tableau).
Les angles alpha et bêta sont supplémentaires (180°); leur sinus sont égaux
La hauteur HB du losange est parallèle au diamètre R1R2 du cercle inscrit. Elle mesure 2r. L'aire du losange est égale au produit de la base (a), par la hauteur (h) comme pour tous les parallélogrammes: A = 2 a r. L'aire vaut également ½ h d. En rapprochant ces deux expressions de l'aire, il vient une relation entre les quatre paramètres du losange.

VOISINS
Français	Anglais	Commentaires
Rhombe		Ancien nom français du losange Latin rhombus : losange; fuseau d'airain dont on se servait dans les enchantements Grec rhombos Le mot est passé en anglais et a été conservé
Losange	Rhombus	Gaulois lausa: pierre plate Provençal lauza: pierre plate servant de couverture des toits (lave)
Rhomboèdre	Rhombohedron	Polyèdre à 6 faces losange Parallélépipède dont les côtés ont même longueur
Rhombique	Rhombohedral	Cristal en forme de losange Parallélépipède dont les faces sont des losanges
Rhomboïde	Rhomboid	Ancien nom du parallélogramme Nom d'un muscle du dos en forme de losange
Rhomboïdal	Rhomboidal	Polyèdres dont les faces sont des parallélogrammes

Pavage de Penrose
Ce pavage de Penrose (1974) est réalisé en combinant des losanges de deux tailles. Il est basé sur le décagone comportant cinq petits losanges et cinq grands. La proportion de losanges de grande taille par rapport aux losanges de petite taille tend vers le nombre d'or. La principale propriété de ce pavage: il n'est pas régulier (pas périodique).

English corner
Rhombus: a quadrilateral all of whose sides have the same length. Notez la tournure anglaise Several rhombi. As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height. The base is simply any side length a, and the height D is the perpendicular distance between any two non-adjacent sides.

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Voir	Géométrie – Index Jeux – Index Polygone Quadrilatère Tangram Trigonométrie – Identités remarquables
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