NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX Construction Géométrie	Cercles dans le rectangle		Densité de disques	Empilement des sphères
	Rectangle dans le cercle
		Sommaire de cette page >>> Cercles dans la boite rectangulaire >>> Deux cercles dans le rectangle >>> Deux cercles de même taille >>> Rectangle et cercle tangent >>> Rectangle et cinq cercles >>> Intersection cercle-rectangle

Voir Propriétés fondamentales des triangles

Cercles et Rectangle

Combien de cercles peut-on ranger dans un rectangle ? Quel type de rangement ?

Quel est le rayon des cercles inscriptibles dans le rectangle ?

le premier est tangent à trois côtés, et

le deuxième tangent à ce cercle et à deux côtés du rectangle.

Cercles dans la boite rectangulaire
Empilement rectangulaire Taille de la boite rectangulaire contenant q = h.k disques de rayon R. Note: sans confusion possible, on peut omettre les points de la multiplication.	Illustration Application numérique h = 2 rangées; k = 4 colonnes; q = 8 disques R = 1 H = 2 x 2 x 1 = 4; K = 2 x 4 x 1 = 8 ARect = 4 x 8 = 32 ADisk = 3,14 x 8 x 1² = 25,1327… Ratio: 78,53 %
Empilement triangulaire (h est impair) Empilement de h rangées de disques avec h = 2h' + 1 Dans ce cas, les centres des cercles forment un treillis de triangles équilatéraux. Hauteur de chaque triangle: Taille de la boite rectangulaire contenant q = h.k cercles de rayon R. Note: les triangles équilatéraux en pointillés indiquent comment construire cette figure.	Illustration Application numérique h = 3; h' = 1; k = 4; q = 4 x 2 + 3 x 1 = 11 H = (2 x 1,73 + 2) x 1 = 5,4641… K = 2 x 4 x 1 = 8 ARect = 8 x 5,46… = 43,7128… ADisk = 3,14 x 11 x 1² = 34,5575… Ratio: 79,055 %
Empilement triangulaire (h est pair) Traitement semblable.	Pour les applications numériques, voir le calculateur en ligne indiqué. Le tableau suivant montre quelques ratios en comparant les deux types de remplissage.
Exemples avec Rectangle de dimensions H et K données Note: en rangement triangulaire, la quantité de disques n'est pas égale à hk, car les rangées intermédiaires comptent un disque en moins.

Illustrations de quelques cas (4; 8 => 7), (10; 10 => 23), (10; 11 => 25), (11; 11 => 30) et (10,66; 11 => 30)
Programme Maple	But Pour H, K et R donnés, indiquer la quantité de cercle en rangée (h), en colonne (k) et totale (Q). Commentaires Simple calcul des formules ci-dessus en tenant compte des effets de seuil à l'aide de l'instruction floor (plancher). Résultats Ce calcul illustre le cas limite illustré en dernière image ci-dessus avec H en valeur limite pour six rangées: H = 2 + 5√3 = 10,6602540…

Merci à Jérome Isoré pour l'idée de cette entrée

Deux cercles dans le rectangle
Défi On dispose d'un rectangle de 16 x 10. Un cercle de rayon 5 est inscrit, tangent à trois côtés. Quelle le rayon du cercle le plus grand que l'on peut loger dans l'espace libre ? Observation Le second cercle est tangent au grand et aux deux côtés du rectangle.
Alignement L, K, I, H
Application numérique
Seule la plus petite racine est conforme à l'épure
Relation littérale et équation

Un troisième cercle dans le rectangle Ses dimensions: 10 x 6,2228… Calcul du rayon du nouveau cercle: 1,9553…

Deux cercles de même taille
La boite rectangulaire mesure 20 x 16. Quelle est le rayon des deux cercles identiques les plus grands logeant dans cette boite ? La géométrie est visible sur ce dessin. Nous allons calculer les dimensions du triangle rectangle JOO': OO' = 2R JO = 2R sin JO' = 2R cos En exprimant les dimensions du rectangle: H = 20 = R + 2R sin + R K = 20 = R + 2R cos + R
En isolant les lignes trigonométriques et en prenant les carrés.		(2R sin )² = (H – 2R)² (2R cos )² = (K – 2R)²
En sommant et en développant à gauche, sachant que sin² + cos² = 1 Soit, une équation du second degré à résoudre.		4R² = (H – 2R)² + (K – 2R)² 4R² – 4KR + H² + K² – 4HR = 0
Application numérique avec H = 16 et K = 20. Seule la solution avec R le plus petit est compatible.		4R² – 144R – 656 = 0 R = 5,35089… et R = 30,649…

Rectangle et cercle tangent
Défi On a un rectangle rose: H = 10 e K = 20. Quel est le rayon du cercle tangent aux côtés prolongés et passant par le sommet opposé du rectangle ? Calcul R² = (R – H)² + (R – K)² R² = R² – 2RH + H² + R² – 2RK + K² R² – 2(H + K) R + H² + K² = 0 Application numérique R² – 60R + 500 = 0 R = 50 et R = 10 La solution attendue pour R = 50. Mais une seconde solution recevable avec R = 10, le petit cercle bleu. Solution évidente qui permet de vérifier le calcul.

Rectangle et cinq cercles
Sur cette figure déterminer le rapport H/K. Dans le triangle rectangle AOB: AO = K/2 OB = H/2 – R AB = Rayon cercle vert + R = H/2 + R Théorème de Pythagore: (K/2)² + (H/2 – R)² = (H/2 + R)² K²/4 – 2HR = 0 R = 1/8 K² / H Sur le segment central vertical, sachant que BB' est le diamètre du cercle bleu = K: H = K + 2R => 2R = H – K En remplaçant: Division par H² et en posant x = K/H: x = 0,8284… ou – 4,8284… Ce qui donne:

Intersection – Critère de détection

Un cercle coupe un rectangle si:

son centre est interne au rectangle, ou

si la distance de son centre à un des côté est inférieure au rayon.

Suite	Rectangle dans le cercle Densité de disques Empilement des sphères
Voir	Cercle DicoMot Losange et son cercle inscrit Sangakus Triangle – Index Triangles et carrés
Site	Circles within a rectangle – The Engineering TooBox – Calculateur en ligne Circles and Semicircles in Rectangle – Cut-The-Knot Archimedes Laboratory Project™
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/CercRect.htm