NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

Diamètre

Inscrit

Circonscrit

Introduction

Périmètre

Inscrit (suite)

Exinscrits

Puissance

Sangakus

Deux cercles

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle rectangle Sangaku

>>> Les trois cercles tangente entre eux et au sol

>>> Triangle rectangle et ses cercles inscrit / circonscrit

>>> Les six cercles

>>> Trois cercles et un triangle

>>> Cinq cercles dans un carré

>>> Sangaku de Takasaka – Éventail de la Geisha

 

 

 

 

SANGAKUS

Cercles et géométrie

 

Initialement les Sangakus sont des tablettes votives utilisées dans les temples japonais. On y trouve des énigmes géométriques qui sont devenues des exercices ou énigmes appréciées des amateurs de géométrie.

Sangaku veut dire tablettes mathématiques. Période: 1639 à 1854. On connait encore de l'ordre de 800 tablettes.

 

 

 

 

Triangle rectangle Sangaku

 

Triangle somme et différence

Un triangle rectangle dont l'hypoténuse est égale à la somme de deux longueurs (R et r), alors qu'un des côtés vaut la différence des longueurs.

Alors, le troisième côté vaut deux fois la moyenne géométrique des longueurs R et r.

 

Vu autrement: deux cercles adjacents sur un sol plat; le carré de la distance au sol (AB) est égal à quatre fois le produit des rayons des cercles.

 

 

 

Théorème de Pythagore

AB² = (R + r)² – (R – r)² = R² + 2Rr + r² – R² + 2Rr – r² = 4Rr

Voir Autres triangles rectangles

 

 

Les trois cercles tangente entre eux et au sol

 

Application des résultats précédents:

AB = AC  + CB

 

 

 

 

Voir Moyenne harmonique

 

 

 

Triangle rectangle et ses cercles inscrit / circonscrit

 

Triangle rectangle b = 15 et c = 8.

L'hypoténuse vaut alors:

a² = 15² + 8² = 289 et a = 17.

L'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit au triangle rectangle et vaut donc 17.

 

Pour calculer le rayon du cercle inscrit, on va utiliser l'aire du triangle rectangle: A = 15 x 8 = 60.

Les trois hauteurs découpent trois triangles dont les aires sont:

 

 

Les six cercles

 

Problème

Quatre cercles tangents deux à deux et chacun tangent à un grand cercle.

Quel est le rapport entre le rayon des cercles internes, grand sur petit ?

 

Solution

Les centres des quatre cercles forment un carré. Les diagonales se croisent à angle droit. Le triangle AEB est droit en E.

 

Théorème de Pythagore
AB² = AE² + BE²
(2R)² = (R + r)² + (R + r)²
4R² = 2R² + 4Rr + 2r²
R² – 2Rr – r² = 0

Équation du deuxième degré
 

 

Choix de la valeur positive:

 

Si r  = 1 alors R = 2,4142…

AB = 2R = 4,8284…
AC = 2R + 2 = 6,8284…

Diamètre = AC + 2R = 11,6568…

 

 

Calcul direct (sans équation)

 

AB = 2R = AN + NM + MB

Dans IEJ:     IJ² = 2r²

Dans AIN:   R² = AN² + NI² = 2 AN² 

 

En remplaçant dans AB


 

 

 

Trois cercles et un triangle

Problème

Un triangle rectangle (2a, 2b, 2R) inscrit dans un demi-cercle de rayon R.

Deux petits cercles (r et r') inscrits dans les segments de cercle.

Relations entre les trois diamètres ?

 

Solution

Relations liées au rayon du grand cercle

R = b + 2v = a + 2w

Rayon du cercle inscrit

(Attention aux notations en moitié de côté)

2u = 2a + 2b – 2R

u = a + b – R

u = R – 2w + R – 2v – R

u = R – 2(v + w)

R = u + 2(v + w)

Retour aux côtés du triangle

b = R – 2v = u + 2(v + w) – 2v = u + 2w

a = R – 2w = u + 2(v + w) – 2w = u + 2v

Théorème de Pythagore

(2R)² = (2a)² + (2b)²

R² – a² + b² = 0

(u + 2(v + w))² = (u + 2v)² + (u + 2w)²

Développement effectué

u² = 8 v.w

 

 

 

Cinq cercles dans un carré

 

Un carré est découpé en quatre triangles rectangles et un carré central. Les cercles inscrits sont tous identiques.

Quel est leur rayon rapporté au côté du carré ?

 

Dans le triangle rectangle du bas, les distances aux points de tangences sont égales:
(u = u; v = v et r = r)

Théorème de Pythagore:
(u + v)² = (u + r)² + (v + r)²

 

Côté du carré:  c = u + v

Grand côté oblique du triangle rectangle: u = v + 2r

Leur somme: c + u = u + v + v + 2r       => v = c/2 – r

Leur différence:  c – u = u + v – v – 2r => u = c/2 + r

 

En reprenant la somme des carrés:
c² = (c/2 + r + r)² + (c/2 – r + r)²
=> 8r² + 4cr – c² = 0

Racine positive:

 

 

 

Le côté du carré c =  5,46 r

Côté du triangle rectangle: 0,5 c et 0,8666… c

Angles 30° et 60°

C'est un triangle rectangle 30, 60

 

Anglais: Five incircles in a square

 

 

Sangaku de Takasaka – Éventail de la Geisha

 

Ce Sangaku est présenté par Pickover dans son livre. Il est dû au jeune (11 ans) Kinjiro Takasaka (1873).

 

Rapport entre les diamètres de deux petits cercles: le rouge (en bas) et le vert (en haut): 

 

Voir Le calcul de la formule par Géry Huvent

 

 

 

 

Suite

*    Arbelos

*    Carré et deux cercles tangents

*    Chaine de Pappus

*    Rayon du cercle circonscrit

*    Cercle inscrit

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

Voir

*    Cercles et triangles

*    CercleIndex

*    GéométrieVocabulaire

*    Bissectrices

*    Sphère

*    Cône

DicoNombre

*    Nombre 0,5858…

Livres

*      Quand les Sangakus s'invitent à la table – Tangente n°158 – Mai et juin 2014

*      Sangaku, le mystère des énigmes géométriques japonaises – Géry Huvent – Dunod

*    Mysteries of the equilateral triangle – Brian J. McCartin – Figure 4.32

*    The Maths Book – Clifford A. Pickover – Sangaku Geometry – Page 198

*    Modern Sangaku – Jean Constant – Hermay NM – 2018  - Sangakus artistiques

Sites

*      Sangaku – Wikipédia

*      Wasan – Gery Huvent – 2009 – Nombreux exemples de Sangakus

*      L'éventail de la Geisha – Géry Huvent - 2009

*      Olympiades académiques 2008 – Descartes et les Mathématiques

*      11) Sangakus : 2 cercles tangents dans un carré – Mathieu Morinière

*       Sangaku – Cut The Knot – Réflexions et Index d'accès à de nombreux Sangakus

*       Sangaku Journal of Mathematics – Quantité d'exemples de Sangakus

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Sangakus.htm