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SANGAKUS Cercles et géométrie
Initialement les Sangakus
sont des tablettes votives utilisées dans les temples japonais. On y trouve
des énigmes
géométriques qui sont devenues des exercices ou énigmes appréciées des
amateurs de géométrie. Sangaku veut dire tablettes mathématiques. Période: 1639 à 1854. On
connait encore de l'ordre de 800 tablettes. Trois centres d'intérêt:
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Triangle somme et différence Un
triangle rectangle dont l'hypoténuse est égale à la somme de deux longueurs
(R et r), alors qu'un des côtés vaut la différence des longueurs. Alors, le
troisième côté vaut deux fois la moyenne
géométrique des longueurs R et r. Vu autrement: deux cercles adjacents sur un sol plat; le carré de
la distance au sol (AB) est égal à quatre fois le produit des rayons des
cercles. |
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AB² = (R + r)² – (R – r)² = R² + 2Rr + r² – R² + 2Rr – r² = 4Rr |
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Voir Autres
triangles rectangles
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Application
des résultats précédents:
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La
réponse à cette énigme Internet
est donc:
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Voir Moyenne
harmonique
Merci à Marc H. pour sa
contribution
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Triangle
rectangle b = 15 et c = 8. L'hypoténuse
vaut alors: a² = 15²
+ 8² = 289 et a = 17. L'hypoténuse
est un diamètre du cercle circonscrit
au triangle rectangle et vaut donc 17. Pour
calculer le rayon du cercle inscrit,
on va utiliser l'aire du triangle rectangle: A = 15 x 8 = 60. Les trois
hauteurs découpent trois triangles dont les aires sont:
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Problème Sur cette
figure, montrer que le rayon du cercle orange est le double de celui du
cercle vert. Solution Essentiellement le théorème
de Pythagore dans les triangles rectangles, et Théorème de
Thalès pour un rapport d'homothétie. |
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Figures et notations
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Problème Quatre
cercles tangents deux à deux et chacun tangent à un grand cercle. Quel est
le rapport entre le rayon des cercles internes, grand sur petit ? Solution Les centres des quatre cercles forment un carré.
Les diagonales se croisent à angle droit. Le triangle AEB est droit en E. Théorème
de Pythagore Choix de la valeur positive:
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Si r = 1 alors R = 2,4142… AB = 2R = 4,8284… Diamètre = AC + 2R = 11,6568… |
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Calcul direct (sans équation) AB = 2R = AN + NM + MB Dans IEJ:
IJ² = 2r² Dans AIN:
R² = AN² + NI² = 2 AN² En remplaçant dans AB
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Problème Un triangle
rectangle (2a, 2b, 2R) inscrit dans un demi-cercle de rayon R. Deux
petits cercles (r et r') inscrits dans les segments
de cercle. Relations
entre les trois diamètres ? Solution |
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Relations liées au rayon du grand cercle |
R = b +
2v = a + 2w |
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(Attention aux notations en moitié de côté) |
2u = 2a + 2b – 2R u = a + b – R u = R – 2w + R – 2v – R u = R – 2(v + w) R = u +
2(v + w) |
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Retour aux côtés du triangle |
b = R – 2v = u + 2(v + w) – 2v = u + 2w a = R – 2w = u + 2(v + w) – 2w = u + 2v |
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(2R)² = (2a)² + (2b)² R² – a² + b² = 0 (u + 2(v + w))² = (u + 2v)² + (u + 2w)² |
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Développement effectué |
u² = 8 v.w |
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Un carré
est découpé en quatre triangles rectangles et un carré central. Les cercles inscrits
sont tous identiques. Quel est
leur rayon rapporté au côté du carré ? Dans le triangle rectangle du bas, les distances
aux points de tangences sont égales: Théorème de Pythagore: Côté du carré:
c = u + v Grand côté oblique du triangle rectangle: u = v +
2r Leur somme: c + u = u + v + v + 2r => v = c/2 – r Leur différence:
c – u = u + v – v – 2r => u = c/2 + r En reprenant la somme des carrés: Racine positive:
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Le côté du carré c = 5,46 r Côté du triangle rectangle: 0,5 c et 0,8666… c Angles 30° et 60° C'est un triangle
rectangle 30, 60 |
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Anglais: Five incircles in a square
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Ce Sangaku est présenté par Pickover dans son livre.
Il est dû au jeune (11 ans) Kinjiro Takasaka (1873). Rapport entre les diamètres de deux petits cercles: le rouge (en bas)
et le vert (en haut):
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Voir Le calcul
de la formule par Géry Huvent
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Suite |
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Arbelos ·
Carré et deux cercles tangents ·
Puissance d'un point par
rapport à un cercle |
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Voir |
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Cercle
– Index ·
Cône ·
Diamètre ·
Géométrie – Vocabulaire ·
Sphère |
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DicoNombre |
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Nombre
0,5858… |
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Livres |
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Quand les Sangakus s'invitent à la table –
Tangente n°158 – Mai et juin 2014 ·
Sangaku, le mystère des énigmes
géométriques japonaises – Géry Huvent – Dunod · Mysteries of the equilateral triangle – Brian J.
McCartin – Figure 4.32 · The Maths Book – Clifford A. Pickover – Sangaku
Geometry – Page 198 ·
Modern Sangaku – Jean Constant – Hermay NM
– 2018 - Sangakus artistiques |
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Sites |
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Sangaku – Wikipédia · Wasan – Gery Huvent – 2009 – Nombreux exemples de Sangakus · L'éventail de la Geisha – Géry Huvent – 2009 · Sugaku – Géry Huvent · Olympiades académiques 2008 – Descartes et les Mathématiques · 11) Sangakus : 2 cercles tangents dans un carré – Mathieu Morinière ·
Sangaku – Cut
The Knot – Réflexions et Index d'accès à de nombreux Sangakus ·
Sangaku Journal of Mathematics –
Quantité d'exemples de Sangakus |
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