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22 Novembre 2025

 

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Sondages

>>> Paradoxe de Condorcet

>>> Mariage 

>>> Élection impossible

>>> Conclusions

 

 

 

 

PARADOXES & ÉLECTIONS

 

Il n'existe pas d'élections idéales !

 

 

Chacun sa méthode

Un homme de droite déclarait fièrement:

- Je donne un gros pourboire aux chauffeurs de taxi en leur disant de voter à droite.

Ma méthode est différente dit son collègue:

- Je leur donne un pourboire vraiment dérisoire en leur demandant de voter à gauche.

 

Politique du pire?

Quand on fait un mauvais choix, on est toujours tenté de s’en tirer avec un choix pire encore.

Cardinal de Retz

Voir Pensées & humour

 

 

 

SONDAGES – Exemple

 

Situation

 

André, Brigitte et Charles se présentent aux élections:

*      Un sondage dit que 2/3 des électeurs préfèrent A à B; et que

*                                         2/3                         préfèrent B à C

 

Est-ce que A a plus de chances que C d'être élu? Eh bien, non. Pas nécessairement.
 

Classement des sondés (par exemple)

 

1/3 donne l'ordre

A

B

C

1/3 donne l'ordre

B

C

A

1/3 donne l'ordre

C

A

B

 

Vision de chacun

 

 

 

 

PARADOXE DE CONDORCET

OU PARADOXE D'ARROW

Exemple célèbre de NON transitivité

 

 

A  B   et   B  C :

Avec l'exemple ci-dessus, on ne peut pas conclure que:    A  C

 

 

Kenneth Arrow, co-prix Nobel d'économie, a démontré avec ce paradoxe, et d'autres considérations logiques qu'un système électoral parfaitement démocratique est en principe impossible. Ce paradoxe est fréquent chaque fois que l'on doit choisir parmi trois possibilités selon trois critères.


 

 

 

MARIAGE

 

La demande en mariage

 

 

En tenant compte successivement de ces critères, elle préfère A à B,   B à C  et C à A .

Voir Famille / Mariage

 

Le restaurant

 

 

Trois tartes

Trois critères

 

*    aux pommes

*    fraîcheur

Un client fait son choix sur la base de 2 critères à chaque fois.

*    aux myrtilles

*    taille

*    aux cerises

*    goût

 

Selon ces critères, il préfère pommes à myrtilles, myrtilles à cerises et cerises à pommes ...

 

Leçon

 

Attention aux études de marché,

les premiers sondages peuvent être trompeurs !

 

 

 

ÉLECTION IMPOSSIBLE

 

Situation

 

A > B > C

A > C > B

B > A > C

B > C > A

C > A > B

C > B > A

0

23

0

19

2

16

 

Avec ces résultats de vote pour les candidats A, B et C, on peut imaginer plusieurs scrutins:

 

Élections

Il est remarquable que selon le choix on peut faire élire l'un des 3 au choix.

 

 

 

Plus étrange encore!

Prenons une autre série de votes:

 

A > B > C

A > C > B

B > A > C

B > C > A

C > A > B

C > B > A

9

10

10

12

12

7

 

Résultats

 

 

A > B > C

A > C > B

B > A > C

B > C > A

C > A > B

C > B > A

 

 

9

10

10

12

12

7

 

A contre B

9

10

12

31

A contre C

9

10

10

29

B contre A

10

12

7

29

B contre C

9

10

12

31

C contre A

12

12

7

31

C contre B

10

12

7

29

 

 

 

Duels

A bat B

B bat C

C bat A

 

31 à 29

31 à 29

31 à 29

 

Aucune décision possible!!!

 

Condorcet proposait de s'en sortir en éliminant celui avec le ballottage le plus serré. Voici une idée qui donnerait B gagnant.

 

A > B > C

A > C > B

B > A > C

B > C > A

C > A > B

C > B > A

9

10

10

12

12

7

19

22

19

 

 

 

 

 

Plus complexe

La situation se complique encore lorsqu'on ajoute des seuils de déclenchements.

*      Un système à plusieurs tours engendre ce phénomène.

*      Cinq tours donnent un seuil de l'ordre de 75%.

*      Ce qui signifie que, malgré tous les tours tant que la population reste à 25% " pour " et, malgré les 75% " contre ", c'est la minorité qui gagne.

*      Mais dès que les " contre " dépassent de quelques % le seuil de 75, alors ils gagnent.

*      Il y a basculement brutal juste après le seuil.

 

Exemples

*      Régime communiste hongrois,

*      Grands électeurs au Sénat français,

*      Élections présidentielles aux États-Unis,

*      …

 

 

 

CONCLUSIONS

 

Le prix Nobel d'économie Kenneth Arrow a montré que:

 

Il n'existe pas de règle de choix social cohérente

avec les préférences individuelles.


 

Wilson généralise en 1972 et montre qu'il n'existe pas de procédure de vote réaliste qui soit non manipulable.

 

*      Mécanismes à basculement,

*      Manipulation des procédures à vote majoritaire,

*      Absence de procédures réalistes non manipulables ...

*      Le passage des préférences individuelles au choix collectifs est un casse-tête politique.

 

Les mathématiciens connaissent ces phénomènes d'agrégation et d'éviction qui font partie de la théorie du chaos.

 

 

 

 

 

 

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