NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Logique

LOGIQUE

& PARADOXES

 

Glossaire

Logique

 

 

INDEX

 

Logique

 

Classiques

Menteur

Les trois dieux

Achille

 

Sommaire de cette page

Introduction

>>> Menteurs et Véridiques

>>> Niveaux de raisonnement logique

 

Énigmes

>>> Les jumeaux

>>> Le prisonnier et les portes

>>> Qui dit vrai?

>>> Quel est le coupable?

>>> Quel jour de la semaine?

 

 

>>> English corner – Smullyan et les jumeaux

>>> Paradoxe

 

 

 

 

PARLER VRAI

OU MENTIR

 

Il existe de nombreuses énigmes impliquant

*    des gens qui disent la vérité (les véridiques ou les francs) et

*    d'autres qui ne peuvent s'empêcher de mentir (les menteurs).

Certains de ces problèmes ne sont pas évidents à résoudre. Il est important de bien poser les hypothèses.

 

 

Dans Don Quichotte:

À la frontière d'un pays, il faut dire la vérité sinon c'est la pendaison  

Q - Pourquoi venez-vous ?

R - Pour être pendu ! …

Voir Pensées & humour / Interdictions

 

 

 

Pour se lancer … une énigme archi-classique

 

Deux copains dont l'un est menteur et l'autre est véridique.

Si je leur dit: "ton copain dit la vérité, n'est-ce pas?".

Que croyez-vous qu'il me réponde?

*    Le véridique dit vrai, il confirme que son copain ne dit pas la vérité; il répond: "NON, il ne dit pas la vérité"

*    Le menteur sait que son copain dit la vérité mais annonce l'inverse; il répond: "NON, il ne dit pas la vérité".

 

Cette question ne permet pas de détecter qui est qui, car les deux répondent non. Quelle est la question qui pourrait détecteur la qualité de chacun?

Ce serait: "si je demandais à votre copain s'il est menteur, quelle serait a réponse?"

*    Le véridique (V) dit vrai, logiquement son copain devrait dire qu'il est le menteur, mais comme il est menteur, il va répondre NON.

*    Le menteur (M) sait que son copain n'est pas le véridique. Il devrait répondre NON, mais comme il est le menteur il répond l'inverse: OUI.

Celui qui répond OUI est le menteur et celui qui répond NON est le véridique.

 

 

 

Niveaux de raisonnement logique

 

Une personne

 

Deux personnes

 

 

 

 

Deux personnes vous interpellent

Parmi deux personnes, véridiques ou menteuses,  l'une dit: "Au moins l'un de nous est menteur". Déduction?

Si la personne était menteuse, son affirmation serait vraie; il serait donc védique. Contradiction, donc pas possible.

Donc la personne est véridique et l'autre est menteuse.

 

 

Énigmes

 

Les trois groupes

 

Situation

 

Dans la salle: 20 personnes

Trois catégories: les adeptes de cinéma, ceux de musique et ceux de sport.

Ils y ceux qui disent toujours la vérité et ceux qui mentent.

 

 

Combien sont menteurs?

 

Sondage: quel est votre passion? Cocher oui ou non pour chaque rubrique:

 

12 cochent cinéma,

  5 musique, et

  8 sports

 

Voir Solution

 

 

 

Les jumeaux?

 

Situation

 

Albert est véridique lorsqu'il est joyeux, menteur autrement.

 

Bernard est menteur lorsqu'il est joyeux, menteur autrement.

 

 

 

 

 

Systématiquement l'un est joyeux lorsque l'autre est triste.

 

Énigme

 

Comment reconnaître Albert et Bernard à coup sûr?

 

Voir Solution

 

Le PRISONNIER et les PORTES

 

Situation

 

Deux gardiens de prison:

L'un dit la vérité, et

L'autre ment toujours.

 

 

Deux portes en face du prisonnier:

l'une donne la liberté, et

l'autre la prison.

 

 

Énigme

 

Le prisonnier a une chance de se retrouver libre en choisissant la bonne porte

Pour cela, il a le droit de poser une question unique aux gardiens.

 

Il en existe effectivement au moins une qui lui donnera la liberté

Laquelle ?

 

Voir Solution / Le dilemme du prisonnier

 

 

 

Qui dit vrai?

 

Situation

 

Deux personnes Albert et Bernard

 

 

 

L'un (Véridique) dit toujours la vérité et l'autre (Menteur) ment toujours.

 

 

Énigme

 

Cédric interroge Albert mais ne comprend rien à ce qu'il dit.

Il interroge Bernard qui répond: " Albert dit qu'il ne ment pas".

Qui est le Véridique?

 

Voir Solution

 

 

Quel est le coupable?

 

Situation

 

Le coupable est menteur et les deux autres disent la vérité.

 

 

 

Conversation

 

Albert:     Bernard est coupable.

Bernard: Chloé est coupable.

Chloé:     Bernard ment.

 

Énigme: Qui est le coupable?

 

Voir Solution

 

 

Quel jour de la semaine?

 

Situation

 

Albert est menteur en début de semaine: lundi, mardi et mercredi.

 

Bernard est menteur en fin de semaine: jeudi, vendredi et samedi

 

 

 

 

Corinne entend cette conversation:

 

Albert:    tiens, hier j'ai menti!

Bernard: comme c'est drôle, moi aussi!

 

Énigme

 

Quel jour de la semaine sommes –nous, ce jour-là?

 

Voir Solution

 

 

 

 

 

Les trois groupes – Solution

 

Situation

 

Dans la salle: 20 personnes.

Trois catégories: les adeptes de cinéma, ceux de musique et ceux de sport.

Ils y ceux qui disent toujours la vérité et ceux qui mentent.

 

 

D'après le sondage, combien sont menteurs?

 

Sondage: quelle est votre passion? Cocher oui ou non pour chaque rubrique:

 

12 cochent cinéma,

  5 musique, et

  8 sport.

 

 

Solution

Chacun donne trois réponses dont une positive et deux négatives.

Sauf le menteur qui donne deux positives et une négative. Autrement-dit, le menteur introduit une réponse positive en trop.

 

 

 

Quantité de personnes: 20

Quantité de Oui: 12 + 5 + 8 = 25

Quantité de Oui en trop: 25 – 20 = 5

 

Il y a 5 menteurs dans l'assistance.

Retour / Voir Lapins et canards

 

 

Les jumeaux – Solution

 

Situation

 

Albert est véridique lorsqu'il est joyeux, menteur autrement.

 

Bernard est menteur lorsqu'il est joyeux, véridique autrement.

 

 

 

Systématiquement l'un est joyeux lorsque l'autre est triste.

 

Énigme

Comment reconnaître Albert et Bernard à coup sûr?

 

Solution

Tableau montrant la situation générale.

 

 

 

On pose la question: es-tu joyeux?

Dans les deux cas, Albert est celui qui répond oui et Bernard, celui qui répond non.

 

 

Retour

 

 

 

Le PRISONNIER et les PORTES – Solution

 

"Si je demandais à votre collègue

si cette porte (il en montre une) donne la liberté

Que me dirait-il ?"

 

Réponse du gardien et choix du prisonnier

 

Si le gardien dit: mon collègue dirait c'est la porte de la prison

le prisonnier choisit alors la porte désignée.

 

Si le gardien dit: mon collègue dirait c'est la porte de la liberté

le prisonnier choisit alors l'autre porte.

 

 

 

 

Explications

 

Rapide

L'information depuis la désignation de la porte jusqu'à l'oreille du prisonnier passe par deux cerveaux dont l'un dit la vérité et l'autre ment.

Donc, l'information qui arrivera au prisonnier sera toujours un mensonge. Il devra inverser la proposition qui lui est indiquée:

Si la réponse est "Liberté", c'est en fait "Prison".  Il faut choisir l'autre porte.

Si la réponse est "Prison",  c'est en fait "Liberté". Il faut la choisir.

 

 

Détaillée

Deux cas:

ou le collègue montre la porte de la liberté,

ou il montre celle de la prison.

Le message passe par deux cerveaux: le collègue puis le gardien qui est interrogé

ou le collègue dit la vérité ou il ment;

puis, ou le gardien dit la vérité ou il ment.

Soit quatre possibilités.

Le diagramme suivant montre tous ces cas et donne la solution.

 

 

Il dit prison, c'est la porte liberté, il faut la prendre;

Il dit liberté, c'est en fait prison, il faut prendre l'autre porte.

 

 Retour

 

 

 

Qui dit vrai? – Solution

 

Analysons les deux cas possibles et vérifions quel est le scénario plausible.

On montre l'attitude de chacun selon l'hypothèse qu'il est Véridique ou Menteur. On ajoute une colonne centrale pour bien indiquer ce que dit Albert selon Bernard.

 

Scénario 1

Bernard

Menteur

donc, Albert à dit

Albert

Véridique

Albert dit qu'il ne ment pas.

 

 

M  Ce message n'est pas celui qui a été dit.

Je suis le Menteur.

V  il ne peut dire que: je suis le Véridique.

Scénario incohérent.

Scénario 2

 

 

Bernard

Véridique

donc, Albert à dit

Albert

Menteur

Albert dit qu'il ne ment pas.

 

 

V  C'est bien le message reçu.

Je ne mens pas

Je suis le véridique.

M  il ment en disant

qu'il est le Véridique.

Scénario cohérent.

C'est Bernard le VÉRIDIQUE.

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Quel est le coupable? – Solution

 

Solution – Mise en table de vérité

 

Exemple de lecture: Si A est le menteur  (m), alors son propos est faux et ce n'est pas Bernard (pas B) qui est le coupable.

 

Personne

A

B

C

État et Déclaration

État

Déc.

État

Déc.

État

Dec.

Albert:     Bernard est coupable.

m

pas B

v

oui B

v

oui B

Bernard: Chloé est coupable.

v

oui C

m

pas C

v

oui C

Chloé:     Bernard ment.

v

pas C

v

pas C

m

pas C

 

En observant les trois colonnes "déclarations", seule celle ou B est le menteur est cohérente: Albert affirme que Bernard est le menteur et les deux autres disent que ce n'est pas Chloé, ce qui est juste.

Bernard est le menteur.

 

Retour

 

 

Jour de la semaine – Solution

 

Que cherchons-nous, en fait?

 

Cette énigme est très classique. Notre but ici est de la décortiquer pour mettre au point une méthode de résolution systématique.

 

Nous allons voir que cette énigme est posée avec deux locuteurs:

*    le premier va permettre de déterminer deux jours possibles de la semaine

*    le second, également.

Parmi ces deux paires de jours, l'un est commun et constitue la solution de l'énigme.

 

Que cherchons-nous dans cette énigme? Nous cherchons une cohérence logique dans les propos des deux locuteurs:

*    selon leur état (menteur ou véridique) le jour où ils parlent,

*    confrontée à leur état la veille.

 

Exemple (explications à suivre sur l'illustration ci-dessous)

*    Dimanche Albert qui, ce jour-là, dit la vérité affirme: "hier, j'ai menti", ce qui, dans sa bouche, est donc vrai: il a bel et bien menti samedi!

*    Or hier, samedi, c'était un jour de vérité. Il ne peut pas avoir menti un jour de vérité.

*    Les deux affirmations sont incompatibles.

*    Conclusion: nous ne sommes pas un dimanche.

 

Illustration

Cette situation est logiquement impossible, nous ne sommes pas un dimanche.

 

Examen des jours de la semaine

 

En jaune le locuteur dit la vérité, il est "véridique".

En vert, les jours où le discours est cohérent.

 

Exemple de lecture: Albert le lundi dit qu'il a menti hier; puisqu'il est menteur le lundi, nous devons prendre la négation de son affirmation: "hier dimanche, j'ai dit vrai". Or dimanche est un de ses jours de vérité. Son propos est logique. Le jour cherché peut très bien être le lundi.

 

Parmi les deux possibilités pour Albert et pour Bernard, seul le jeudi est un jour commun. Le jour cherché est le jeudi.

 

Merci à Mathias Z. pour sa pertinence à propos de cette énigme

Retour

 

 

 

English corner – Twins

 

Suppose there are two identical twin brothers, one who always lies and the other who always tells the truth.

*    Now, the truth teller is also totally accurate in all his beliefs; all true propositions he believes to be true and all false propositions he believes to be false.

*    The lying brother is totally inaccurate in his beliefs; all true propositions he believes to be false, and all false propositions he believes to be true.

The interesting thing is that each brother will give the same answer to the same question.

For example, suppose you ask whether two plus two equals four.

*      The accurate truth teller knows that it is and will truthfully answer yes.

*      The inaccurate liar will believe that two plus two does not equal four (since he is inaccurate) and will then lie and say that it does; he will also answer yes. 

 

 

Supposez qu'il existe une paire de jumeaux dont l'un ment toujours et l'autre dit toujours la vérité.

*    Alors, toutes les pensées du véridique sont pertinentes; pour lui, toutes les propositions vraies sont  vraies et toutes les propositions fausses sont fausses.

*    Son frère menteur a des pensées incorrectes; pour lui, toutes les propositions vraies sont  fausses et toutes les propositions fausses sont vraies.

Il est intéressant de noter que chaque frère donnera la même réponse à la même question.

Par exemple, si vous demandez si deux plus deux égal quatre.

*    Le véridique sait pertinemment que c'est vrai et répondra honnêtement oui.

*    Le menteur incorrectement va croire que deux plus deux n'est pas égal à quatre (puisqu'il incorrect) and il va mentir et dire que c'est vrai; il va répondre oui également.

Extrait d'un texte de Smullyan (par cut-the-knot.org)

 

 

Paradoxe

On pose la question: "est-ce que tu es le véridique?" à un menteur.

En son for intérieur, le menteur ne pense pas correctement, il se croit le véridique. Lorsqu'il va se prononcer, il va inverser la réponse et répondre : non! je ne suis pas le véridique, je suis le menteur. Or étant effectivement le menteur, il ne ment nullement en disant cela, il est donc un véridique. Paradoxe?

En général, on considère que chacun y compris le menteur est conscient de son état. En l'occurrence, le menteur sait qu'il ment et va répondre faussement: oui, je suis le véridique. On évite de propager le mensonge à deux reprises: une fois dans la tête et une fois en paroles.

 

Raymond Smullyan (1919-2017)

Mathématicien et logicien américain. Auteur des livres:

*      Le livre qui rend fou;

*      Quel est le titre de ce livre?

*      Les énigmes de Shéhérazade, etc.

 

 

 

 

Voir

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Sites

*    Jeux mathématiques et logiques de Bibm@th

*    Raymond Smullyan - Wikipédia

Livres

*      Jeux et stratégie de Sciences et Vie – Accès à tous les numéros (Par exemple, dans le n°1, les énigmes logiques commencent à la page 88).

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