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Sommaire de cette page

>>> Valide ou non: vrai / faux

>>> Éléments de connexion logique

>>> Propositions

>>> Raisonnement déductif

>>> Raisonnement par l’absurde

>>> Raisonnement inductif

>>> Raisonnement par récurrence

>>> Implication

 

 

 

 

LOGIQUE FORMELLE

ou logique du raisonnement

 

Logique des déductions:

" Si c'est la saison et s'il pleut,

alors je vais cueillir des champignons "

 

La logique formelle cherche à déterminer si un raisonnement est valide ou non.

 

   symbole de déduction: on en déduit que, donc…

 Anglais: Symbolic logic

 

 

En un scandaleux raccourci: la logique de premier ordre est un langage formel mathématique utilisant des propositions appelées prédicats liées par des connecteurs (ou opérateurs) logiques comme et, ou, si. La logique fournit des résultats déductifs vrais ou faux en combinant des propositions déterminées vraies ou fausses.

Yannick Grannec – La Déesse des petites victoires

Voir Pensées & humour

 

 

 

VALIDE OU NON: VRAI / FAUX

 

Raisonnement valide

Si le fleuve monte (A), ma maison est inondée (B).

Le fleuve monte (A).

Déduction: ma maison est inondée (B).

Cette déduction est valide.



Si A alors B

A

  B

Vrai

 

Raisonnement NON valide

Si le fleuve monte, ma maison est inondée.

ma maison est inondée.

Déduction: le fleuve monte.

Il y a peut être d'autres raisons (un déluge!).

 

 

Si A alors B

B

 A

Faux

 

Raisonnement NON valide

Chirac est Président ou Jospin Premier Ministre.

Déduction: Chirac est Président.

On ne peut pas en tirer une conclusion, donc:

 

 

A ou B

 A

Faux

 

Raisonnement valide

Chirac est Président ou c'est Jospin.

Ce n'est pas Jospin.

Déduction: Chirac est Président.

 

A ou B

 B

 A

Vrai

 

  

 

ÉLÉMENTS DE CONNEXION LOGIQUE

Voir Connecteurs

 

 

 

PROPOSITIONS

 

*    Une proposition est une phrase contenant une affirmation, vraie ou fausse.

 

*    La nuit tous les chats sont gris.

*    Les chevaux sont des équidés.

*    La vérité sort de la bouche des enfants.

*    Je suis un menteur.

*    an + bn  = cn n’existe pas pour n > 2 (Fermat-Wiles)

 

*    La logique est l’étude de l’enchaînement de propositions par raisonnement.

*    Un raisonnement est une suite de propositions liées par des conditions logiques qui aboutissent à une conclusion.
 

 

 

RAISONNEMENT DÉDUCTIF

 

*    Analogie avec enquête policière.

*    Avec des indices, ou des hypothèses, de déductions en déductions, on essaie de résoudre l’énigme ou, en maths, de démontrer la propriété étudiée.

*    Du général au particulier.

 

Voir Exemple: enquête concernant les trois hôtels

 

 

RAISONNEMENT par l’ABSURDE

Reductio ad absurdum

 

*    On suppose que la conclusion est fausse (le théorème est faux), et

On démontre que cela conduit à une contradiction.

 

Exemples

*    Célèbre démonstration (simple) d’Euclide prouvant qu’il y aune infinité de nombre premiers. On suppose donc comme hypothèse que cette assertion est fausse: il y a une quantité finie de nombres premiers.

*    Démonstration de Niels Abel concernant les équations quintiques.

 

Voir q et r sont uniques dans la division /  Humour Absurde

 

 

 

 

RAISONNEMENT INDUCTIF

 

*    Par généralisation ou par extrapolation

Du particulier au général.

 

*    Comme le ph ysicien qui observe les faits et en tire une loi générale.

 

*    Le raisonnement par récurrence est inductif.
 

 

RAISONNEMENT par RÉCURRENCE

 

*    S’applique aux propositions qui ont des successeurs (n, n + 1, n + 2 ...);
Comme c'est le cas pour les nombres entiers.

 

*    Il comprend deux étapes :

*      On démontre que la propriété est vraie au début, pour n = 1, par exemple;

*      Puis, on démontre que, si elle vraie pour n, alors elle est vraie pour n = n  + 1.

*    En effet, par phénomène de cascade :

Si la propriété est vraie pour 1,
elle l’est aussi pour 2, puis pour 3 …

Elle donc vraie pour tout n.

 

Exemple

 

Proposition

1 + 2 + 3 … + n = n (n + 1) / 2

Étape 1

Vraie pour 1 ?

1 = 1 (1 + 1) / 2

C’est vrai !

Étape 2

Suite ?

Si admise pour n, est-elle vraie pour n+1 ?

Vraie (hypothèse)

1 + 2 + 3 … + n =

n (n + 1) / 2

Ajoute n+1 à chaque membre

1 + 2 + 3 … + n + (n + 1) =

n (n + 1) / 2 + (n + 1)

Même dénominateur

 

n (n + 1) / 2 + 2 (n + 1) / 2

Ce que l’on cherche à prouver

 

(n + 1) (n + 2) / 2

Suite sur le raisonnement par récurrence / Voir Addition de Gauss

 

 

 

 

IMPLICATION

 

Mode de raisonnement

 

 La proposition suivante:

Une proposition A implique une proposition B

Notée: A => B

n’est fausse que si A est vraie et B est fausse.

 

Table de vérité

 

 

Exemple

« Il pleut => la route est mouillée »  est une proposition vraie.

 

 

Mots-clés

*      Si … alors

*      Il suffit que …

*      Il faut que…

*      Il faut et il suffit que…

*      La condition est nécessaire et suffisante

 

 

Deux possibilités de démonstration :

On  part de A et on aboutit à B.

 

ou

Contraposition

On démontre que si B n’est pas vraie,

alors A n’est pas vraie.

 

Voir Implication logique

 

 

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