NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 08/08/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique           Brèves de Maths

      

Mathématiques

 

Débutants

Facteurs

Exercices

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Calculs

Calcul mental

 

Enseignement

Brevet 01

  Bac2018 n°4 N

Bac2018 n°4 S

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Exercice n°4A – Équation (spécialité)

>>> Exercice n°4B – Équation (spécialité)

 

>>> Programmation de la recherche selon l’exercice

>>> programmation d’une recherche systématique

 

 

 

NOMBRES PUISSANTS JUMEAUX

 

Recherche des nombres consécutifs simultanément puissants. D’abord comme corrigé d’un exercice du baccalauréat 2018, puis recherche par programmation.

 

Baccalauréat S 2018

Une pétition très suivie a été émise protestant contre la difficulté du quatrième exercice, jugé infaisable, et contre le troisième considéré comme hors-programme.

Cet exercice "n°4 - Spécialité" a semblé trop abstrait et, surtout, comportant des notions telles que la ligne brisée jugées hors programme.

Baccalauréat S

Session 2018

Mathématiques

Spécialité

Exercice n°4

Voir EnseignementIndex

 

 

Exercice n°4A – Équation (spécialité)

On considère l’équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :

x² – 8y² = 1  (E)

1) Déterminer un couple solution (x ; y) où x et y sont deux entiers naturels.

Ne pas hésiter à  prendre y = 0 en premier ; alors ; x = 1 convient, et :

(x ; y) = (1 ; 0)

2) On considère la matrice

On définit les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) par :

x0 = 1 et y0 = 0

et pour les entiers naturels n :

 2a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) est solution de l’équation E.

Produit avec matrice

 

Ce qui donne

Ou encore

Pour n = 1

Propriété vérifiée (initialisation de la démo par récurrence)

(égal circonflexe veut dire : correspond à)

Supposons la relation vraie pour n et calculons pour n + 1 (hérédité)

 

 

Développement

Qui conduit à 1 en reportant notre hypothèse

Initialisation  + hérédité

Le couple (xn ; yn) est bien solution de l’équation E quel que soit n à partir de 0.

 

2b) En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel n, on a xn+1 > xn.

Calcul de l’accroissement en x en fonction de x et y.

Les valeurs de x étant positives, il faut sans doute montrer que c’est vrai pour y.

Valeur de la différence

Avec xn positif, reste à montrer que yn est positif

La récurrence montre que l’on ajoute systématiquement une valeur positive : yn+1 est positif et, entraine que xn+1 l’est aussi.

y0 = 0

 

3) En déduire que l’équation (E) admet une infinité de couples de solutions

Tous les couples obtenus par cette récurrence sont solutions. La suite xn est strictement croissante. Alors :

Il y a une infinité de solutions.

 

 

Exercice n°4B – Équation (spécialité)

Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p² divise n.

1) Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.

L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

1, 2, 3 non

4 = 2² oui

5 non

6 = 2x 3 non

7 non

8 = 2 x 2² oui

9 = 3² oui

 

Voir Liste des nombres puissants

(4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, …)

Soit a et b deux entiers naturels.

Montrer que l’entier naturel n = a2b3 est un nombre puissant.

Les exposants des facteurs premiers des nombres puissants sont égaux ou supérieurs à 2.

Les nombre a et b se décomposent en facteurs premiers (théorème fondamental de l'arithmétique

a2 = p12 . p22 . p32

b3 = q13 . q23 . q33

Tous les facteurs en

pi2 sont évidemment divisibles par pi2

qj3 = qj2 . qj   sont  divisibles par qj2

Les nombres en n = a2b3

Sont divisibles par le carré de tous leurs facteurs premiers, ils sont puissants.

 

3) Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) définie dans la partie A, alors x² – 1 et x² sont des entiers consécutifs puissants.

Équation

x² – 8y² = 1  (E)

Solutions

(x0 ; y0) = (1 ; 0)

et

xn est puissant :

xn+1 est puissant :

Puissant si:

 

 

4) Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.

Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.

 

On a déjà montré qu’il y a une infinité de solutions en xn.

 

On vient de démontrer que si (x ; y) est un couple solution, il satisfait l’équation E

Alors, il existe une infinité de nombres  x² et x² - 1 solution

Couple puissant supérieur à 2018

(9 800; 9 801)

Tableau de calcul

de xn et yn avec la définition donnée en partie A :

  x := 3x + 8y

  y :=   x + 3y

 

n

0

1

2

3

4

xn

1

3

17

99

577

yn

0

1

6

35

204

xn2

1

9

289

9 801

332 929

xn2

1

32

172

34.112

5772

xn2 – 1

0

8

288

9 800

332 928

xn2 – 1

0

23

25.32

23.52.72

27.32.172

 

 

Programmation Maple des formules vues ci-dessus

Commentaires

Initialisation des valeurs de x et y.

Lancement de la boucle d’exploration en i.

Calcul des nouvelles valeurs de x et y en fonction des anciennes.

Impression des valeurs désirées (Voir le tableau ci-dessous).

Mise à jour des valeurs de x et y. Opération indispensable pour x, car l’ancienne valeur de x est utilisée pour calculer la nouvelle valeur de y.

Fin de boucle avec do à l’envers.

 

Tableau issu du programme ci-dessus après mise en forme

 

Programme poduisant x²

 

Valeurs de la liste des x² successifs jusqu’à 20 nombres

 

1, 9, 289, 9801, 332929, 11309769, 384199201, 13051463049, 443365544449, 15061377048201, 511643454094369, 17380816062160329, 590436102659356801, 20057446674355970889, 681362750825443653409, 23146276081390728245001, 786292024016459316676609, 26710782540478226038759689, 907380314352243226001152801, 30824219905435791458000435529, 1047116096470464666346013655169

 

 

Programmation Maple d’une recherche systématique

Commentaires

Sous-programme de recherche des exposants des facteurs de n : Expo(n).

Dans F, on place le deuxième terme des facteurs obtenus avec ifactors (une particularité de Maple).

Création d’une liste qui énumère les exposants des facteurs (le deuxième élément du ième facteur).

 

Sous-programme de détection d’un nombre puissant P= 1 si puissant).

Ne reçoit les exposants des facteurs de n.

P est mis à 1 et sera descendu à 0 si l’un des exposants est inférieur à 2.

 

Programme principal de recherche des nombres puissants consécutifs.

Boucle de recherche sur n.

Pour chacun, test si lui et son successeur son puissants.

Si oui, le nombre le plus grand est ajouté à la liste qui sera imprimée.

 

Résultats

Ce programme de recherche exhaustif montre la formule indiquée ci-dessus identifie des nombres doublement puissants, mais pas tous.

Par exemple 676 = 22.13. et 675 = 33.52

 

Liste (en rouge, les nouveaux)

9, 289, 676, 9 801, 12 168, 235 225,

332 929, 465 125, 1 825 201 …

 

 

 

 

 

 

Suite

Voir haut de page

Voir

*      CalculIndex

*    Calculs avec des racines cubiques

*    Nombres puissants

*      Surface, aire

Site

*    Nombres puissants au bac S – Images des mathématiques – CNRS

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ARITALGE/Bac18S4s.htm